山东省青岛第五十八中学2023-2024学年高二下学期期中数学试卷

山东省青岛五十八中2023-2024学年高二下学期期中数学试卷(解析版) 一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5＝21，a2+a4+a6＝36，则a6＝（　　） A．32 B．27 C．22 D．17 2．（5分）若随机变量ξ∼N（x，y），且，则（　　） A．y＜4 B．y＝4 C．x＜4 D．x＝4 3．（5分）函数f（x）与g（x）＝ax互为反函数，且g（x）过点（﹣2，4），则f（1）+f（2）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D． 4．（5分）某学习小组对一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7）进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为（2，m）．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据（4，6）误输成（6，4），将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数k＝（　　） A． B． C． D． 5．（5分）下列论述错误的是（　　） A．若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立 B．基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 C．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝2D（ξ）+1 D．若y关于x的经验回归方程为＝0.3﹣0.7x，则样本点（2，﹣3）的残差为﹣1.9 6．（5分）若曲线f（x）＝lnx+a在x＝1处的切线与曲线g（x）＝x2也相切，则a的值为（　　） A． B． C．1 D． 7．（5分）设{an}是公比不为1的无穷等比数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（5分）有穷数列a1，a2，a3，…a2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数，若a1+a2+a3+…+a2015＝426且（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3867，则有穷数列a1，a2，a3，…a2015中值为0的项数是（　　） A．1000 B．1015 C．1030 D．1045 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）等差数列{an}中，a1＞0，则下列命题正确的是（　　） A．若a3+a7＝4，则S9＝18 B．若a1+a2＝5，a3+a4＝9，则a7+a8＝17 C．若S15＞0，S25＜0，则＞ D．若S9＝S10，则S11＞0 （多选）10．（6分）某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（　　） A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄花的概率为 B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为 C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是 D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 （多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2（a为常数），则下列结论正确的有（　　） A．时，f（x）≥0恒成立 B．a＝1时，f（x）无极值 C．若f（x）有3个零点，则a的范围为 D．时，f（x）有唯一零点x0且 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（5分）的展开式中x3y2的系数为 　 　． 13．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x﹣1）为奇函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣x2，则 　 　． 14．（5分）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，…，依次进行．则从第n个盒子中取到红球的概率为 　 　． 四.解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知0＜a＜1，函数f（x）＝（x≠0）． （1）求f（x）的单调区间． （2）讨论方程f（x）＝a的根的个数． 16．（15分）已知数列{an}为等差数列，{bn}为公比为3的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4． （1）证明：a1＝3b1； （2）若集合M＝{k|bk＝am+a1，1≤m≤100}，求集合M中的元素个数． 17．（15分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． 参考数据： 1750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋯，（un，vn），其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． （1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；用分数表示） （2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值． 18．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣ln（ax）﹣1，a＞0． （Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥（a﹣1）x恒成立，求实数a的取值范围． 19．（17分）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中n∈N*），记第i次试验中的A种数目为随机变量Xi（i＝1，2，…，n）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． （1）已知E（Xi+Xj）＝E（Xi）+E（Xj），D（Xi+Xj）＝D（Xi）+D（Xj），证明：，； （2）该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi（i＝1，2…n），并计算了数据xi（i＝1，2…，n）的平均值和方差s2，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和s2分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求X1的分布列中概率值最大的随机事件{X1＝k}对应的随机变量的取值． 参考答案与试题解析 一.单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5＝21，a2+a4+a6＝36，则a6＝（　　） A．32 B．27 C．22 D．17 【分析】根据条件，得到a3＝7，a4＝12，进而可求得d＝5，即可求出结果． 【解答】解：因为a1+a3+a5＝3a3＝21，a2+a4+a6＝3a4＝36，得到a3＝7，a4＝12， 所以d＝12﹣7＝5，得到a6＝a3+3d＝7+15＝22． 故选：C． 【点评】本题考查等差数列的性质，属于基础题． 2．（5分）若随机变量ξ∼N（x，y），且，则（　　） A．y＜4 B．y＝4 C．x＜4 D．x＝4 【分析】根据题意，由正态分布的性质，即可得到结果． 【解答】解：因为随机变量ξ∼N（x，y），即x＝μ，y＝σ2， 且， 则，故D正确，C错误； 而y的大小无法判断，故AB错误． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题． 3．（5分）函数f（x）与g（x）＝ax互为反函数，且g（x）过点（﹣2，4），则f（1）+f（2）＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D． 【分析】把点代入可得a＝，进而可得g（x）＝x，故f（x）＝logx，代入可求值． 【解答】解：由题意指数函数g（x）＝ax的图象过点（﹣2，4）， 故可得4＝a﹣2，解得a＝或，故函数g（x）＝， 故其反函数f（x）＝logx， 故f（1）+f（2）＝log1+log2＝0﹣1＝﹣1 故选：A． 【点评】本题考查反函数，注意同底的指数函数和对数函数互为反函数，是基础题． 4．（5分）某学习小组对一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，7）进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为（2，m）．乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据（4，6）误输成（6，4），将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数k＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意，甲输入的（x1，y1）为（6，4），即可求得x2+x3+⋯+x7＝8以及y2+y3+⋯+y7＝52，然后将正确数据代入，即可求得样本中心点，代入回归直线即可得到结果． 【解答】解：由题意可得m＝3×2+2＝8，假设甲输入的（x1，y1）为（6，4）， 则6+x2+x3+⋯+x7＝2×7＝14，则x2+x3+⋯+x7＝8， 且4+y2+y3+⋯+y7＝7×8＝56，则y2+y3+⋯+y7＝52， 则改为正确数据时，4+x2+x3+⋯+x7＝12， 即， 因为6+y2+y3+⋯+y7＝58，即， 所以样本中心点为， 将点代入回归直线方程， 解得． 故选：D． 【点评】本题主要考查了线性回归方程的性质，属于中档题． 5．（5分）下列论述错误的是（　　） A．若随机事件A，B满足：，，，则事件A与B相互独立 B．基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立 C．若随机变量ξ，η满足η＝2ξ+1，则D（η）＝2D（ξ）+1 D．若y关于x的经验回归方程为＝0.3﹣0.7x，则样本点（2，﹣3）的残差为﹣1.9 【分析】根据和事件与独立事件的概率公式可判定A；根据独立性检验的基本思想可判定B；根据随机变量的方差性质可判定C；根据残差的定义可判定D． 【解答】解：对于A，由题意可知， 所以，所以事件A与B相互独立，即A正确； 对于B，由独立性检验的基本思想可知其正确； 对于C，由题意可知D（η）＝4D（ξ），故C错误； 对于D，将样本点（2，﹣3）代入＝0.3﹣0.7x中，得预测值为0.3﹣0.7×2＝﹣1.1， 所以﹣3﹣（﹣1.1）＝﹣1.9，故D正确． 故选：C． 【点评】本题考查了概率统计的相关应用，属于基础题． 6．（5分）若曲线f（x）＝lnx+a在x＝1处的切线与曲线g（x）＝x2也相切，则a的值为（　　） A． B． C．1 D． 【分析】利用导数求出函数f（x）＝lnx+a在点（1，f（1））处的切线方程，再设直线l与g（x）的切点，再由斜率与切点处的导数值相等列式求得a值． 【解答】解：由f（x）＝lnx+a，得f′（x）＝，则f′（1）＝1， 又f（1）＝a，∴函数f（x）＝lnx+a在点（1，f（1））处的切线l：y﹣a＝x﹣1， 即y＝x+a﹣1， 设直线y＝x+a﹣1与g（x）＝x2相切于（）， 则g′（x0）＝2x0，可得2x0＝1，则． ∴，解得a＝． 故选：B． 【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是基础题． 7．（5分）设{an}是公比不为1的无穷等比数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞1”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据题意，利用等比数列的通项与性质，对两个条件进行正反推理论证，可得所求结论． 【解答】解：根据题意，当{an}为递增数列时，例如a1＝﹣1，公比q＝，则， 此时{an}各项为负数，不存在正整数N0，当n＞N0时，an＞1，故充分性不成立． 若存在正整数N0，当n＞N0时，an＞1，则{an}各项为正数，可知首项a1＞0，公比q＞0， 当q∈（0，1）时，则{an}为递减数列，此时存在正整数N0，当n＞N0时，an＜1，不符合题意； 当q∈（1，+∞）时，则{an}为递增数列，必定存在正整数N0，当n＞N0时，an＞1． 因此，若存在正整数N0，当n＞N0时，an＞1，则可推出{an}为递增数列． 综上所述，“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞1”的必要不充分条件． 故选：B． 【点评】本题主要考查等比数列的通项与性质、充要条件的判断等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 8．（5分）有穷数列a1，a2，a3，…a2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数，若a1+a2+a3+…+a2015＝426且（a1+1）2+（a2+1）2+（a3+1）2+…+（a2015+1）2＝3867，则有穷数列a1，a2，a3，…a2015中值为0的项数是（　　） A．1000 B．1015 C．1030 D．1045 【分析】把展开，将a1+a2+a3+...+a2015＝426，代入化简得：，由于数列a1，a2，a3，…a2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数，然后经分析即可得解． 【解答】解：因为 ＝3867， 展开可得：＝3867， 因为a1+a2+a3+...+a2015＝426， 所以， 因为数列a1，a2，a3，…a2015中的每一项都是﹣1，0，1这三个数中的某一个数， 所以有穷数列a1，a2，a3……a2015中值为0的项数等于2015﹣1000＝1015． 故选：B． 【点评】本题考查了乘法公式化简求值、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） （多选）9．（6分）等差数列{an}中，a1＞0，则下列命题正确的是（　　） A．若a3+a7＝4，则S9＝18 B．若a1+a2＝5，a3+a4＝9，则a7+a8＝17 C．若S15＞0，S25＜0，则＞ D．若S9＝S10，则S11＞0 【分析】由已知结合等差数列的性质，等差数列的求和公式检验各选项即可判断． 【解答】解：若a3+a7＝4，则S9＝＝＝18，A正确； 若a1+a2＝5，a3+a4＝9，则a5+a6＝13，a7+a8＝17，B正确； 若S15＝＝15a8＞0，S25＝＝25a13＜0， 无法确定a9的正负，也无法判断与的正负，C错误； 若S9＝S10，则a10＝0， 因为a1＞0， 所以S11＝＝11a6＞0，D正确． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于中档题． （多选）10．（6分）某中药材盒中共有包装相同的7袋药材，其中党参有3袋，黄芪有4袋，从中取出两袋，下列说法正确的是（　　） A．若有放回抽取，则取出一袋党参一袋黄花的概率为 B．若有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为 C．若不放回抽取，则第2次取到党参的概率算法可以是 D．若不放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参一袋黄芪的概率为 【分析】对于A，利用相互独立事件概率乘法公式求解；对于B，利用条件概率公式求解；对于C，利用古典概型求解；对于D，利用条件概率公式求解． 【解答】解：对于A，∵是有放回抽取，抽到一袋党参的概率为，抽到一袋黄芪的概率为， ∴取出一袋党参一袋黄芪的概率为＝，故A正确； 对于B，第二次取出党参的概率为＝， 至少抽到一袋党参的概率为＝， ∴有放回抽取，则在至少取出一袋党参的条件下，第2次取出党参的概率为＝，故B正确； 对于C，∵不放回抽取，抽两次有种抽法，第二次抽到党参的取法为+，第二次取到党参的概率为：，故C错误； 对于D，至少取出一袋党参的概率为＝， 取到一袋党和一袋黄芪的概率为＝， ∴在至少取出一袋党参的条件下，取到一袋党参和一代黄芪的概率为＝，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查相互独立事件概率乘法公式、条件概率公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． （多选）11．（6分）已知函数f（x）＝ex﹣ax2（a为常数），则下列结论正确的有（　　） A．时，f（x）≥0恒成立 B．a＝1时，f（x）无极值 C．若f（x）有3个零点，则a的范围为 D．时，f（x）有唯一零点x0且 【分析】A选项，当时，二次求导得到函数单调性，结合得到A错误；B选项，a＝1时，二次求导得到函数单调性，得到B正确；C选项，当x＝0时，显然f（0）≠0，x≠0时，参变分离，记，求导得到其单调性，结合特殊点函数值得到a的范围为，C正确；D选项，二次求导得到函数单调性，结合零点存在性定理可知，存在唯一的x0，满足． 【解答】解：对于A，当时，，令g（x）＝f′（x），g′（x）＝ex﹣e， 令g′（x）＝ex﹣e＞0，则x＞1，f′（x）在（1，+∞）上单调递增，在（﹣∞，1）上单调递减， 故f′（x）≥f′（1）＝0， 所以f（x）在R上单调递增，，故A错误； 对于B，当a＝1时，f（x）＝ex﹣x2，f′（x）＝ex﹣2x，令m（x）＝f′（x），m′（x）＝ex﹣2， 令m′（x）＝ex﹣2＞0，则x＞ln2，令m′（x）＝ex﹣2＜0，解得x＜ln2， f′（x）在（ln2，+∞）上单调递增，在（﹣∞，ln2）上单调递减， 故f′（x）≥f′（ln2）＝2﹣2ln2＞0， 所以f（x）在R上单调递增，无极值，故B正确； 对于C，令f（x）＝ex﹣ax2＝0，当x＝0时，显然f（0）≠0， 故x＝0不是函数的零点， 当x≠0时，则，记，则， 令得x＜0或x＞2，令F′（x）＜0得0＜x＜2， 故在（﹣∞，0），（2，+∞）单调递增，在（0，2）单调递减，且， 且当x→+∞和x→0时，F（x）→+∞， 故f（x）有3个零点，则a的范围为，C正确， 对于D，当时，，f′（x）＝ex﹣x， 令h（x）＝f′（x），则h′（x）＝ex﹣1， 令h′（x）＝ex﹣1＞0，则x＞0，令h'（x）＜0，解得x＜0， 故f′（x）在（0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减，故f′（x）≥f′（0）＝1， 所以f（x）在R上单调递增，则此时f（x）至多只有一个零点x0， 又， 由零点存在性定理可知，存在唯一的x0，满足，选项D正确； 故选：BCD． 【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题． 三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（5分）的展开式中x3y2的系数为 　30　． 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得． 【解答】解：对于（x+2y）5，通项公式为， 则当k＝2时，， 当k＝1时，， 由， 得的展开式中x3y2的系数为30． 故答案为：30． 【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题． 13．（5分）设函数y＝f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x﹣1）为奇函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣x2，则 　﹣1　． 【分析】根据题意，由函数的对称性推导出函数f（x）是周期为8的周期函数，根据题中条件求出f（k）（k＝1，2，3，⋯，8）的值，结合函数的周期性可求得的值． 【解答】解：根据题意，因为函数y＝f（x）的定义域为R，且f（x+1）为偶函数，f（x﹣1）为奇函数， 则f（1﹣x）＝f（1+x），f（﹣x﹣1）＝﹣f（x﹣1）， 所以，函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，也关于点（﹣1，0）对称， 所以，f（﹣x）＝f（x+2），f（﹣x）＝﹣f（x﹣2）， 所以，f（x+2）＝﹣f（x﹣2），则f（x+8）＝﹣f（x+4）＝f（x）， 所以，函数f（x）是周期为8的周期函数， 当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝1﹣x2，则f（1）＝0，f（7）＝f（﹣1）＝0，f（8）＝f（0）＝1， f（2）＝f（0）＝1，f（3）＝f（﹣1）＝0，f（4）＝﹣f（﹣6）＝﹣f（2）＝﹣1， f（5）＝f（﹣3）＝﹣f（1）＝0，f（6）＝﹣f（﹣8）＝﹣f（0）＝﹣1， 所以，， 又因为2023＝8×253﹣1，所以，． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的对称性与周期性，属于中档题． 14．（5分）有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球和1个白球，其余盒子中均为1个红球和1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，…，依次进行．则从第n个盒子中取到红球的概率为 　+　． 【分析】设事件Ai表示“从第i个盒子中取到红球”（i＝1，2，3，…，n），由全概率公式可得P（An）＝P（An﹣1）P（An|An﹣1）+P（）P（An|）＝P（An﹣1），再构造等比数列，求出P（An）即可． 【解答】解：设事件Ai表示“从第i个盒子中取到红球”（i＝1，2，3，…，n）， 则P（An）＝P（An﹣1）P（An|An﹣1）+P（）P（An|）＝P（An﹣1）+[1﹣P（An﹣1）]＝P（An﹣1）， 所以P（An）﹣＝[P（An﹣1）﹣]， 则数列{P（An）﹣}是以P（A1）﹣＝﹣＝为首项，为公比的等比数列， 所以P（An）﹣＝＝， 所以P（An）＝+． 故答案为：+． 【点评】本题主要考查了全概率公式的应用，属于中档题． 四.解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知0＜a＜1，函数f（x）＝（x≠0）． （1）求f（x）的单调区间． （2）讨论方程f（x）＝a的根的个数． 【分析】（1）求导，利用导函数的符号可确定函数的单调区间． （2）利用函数的单调性，确定函数值的符号和最值，可确定方程零点的个数． 【解答】解：（1）因为． 所以，． 由f′（x）＞0⇒x＞1，又函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， 所以函数在（﹣∞，0）和（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增． （2）因为0＜a＜1，所以，当x＜0时，，方程f（x）＝a无解；当x＞0，函数在（0，1）上递减，在（1，+∞）递增， 所以，所以方程f（x）＝a无解． 综上可知，方程f（x）＝a的根的个数为0． 【点评】本题主要考查利用导数求单调性和根的个数，属于中档题． 16．（15分）已知数列{an}为等差数列，{bn}为公比为3的等比数列，且a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4． （1）证明：a1＝3b1； （2）若集合M＝{k|bk＝am+a1，1≤m≤100}，求集合M中的元素个数． 【分析】（1）直接由已知列方程组求解证明； （2）由bk＝am+a1，1≤m≤100，得2m＝3k﹣2，再由等式两边的奇偶性判定． 【解答】（1）证明：设数列{an}的公差为d， 由a2﹣b2＝a3﹣b3＝b4﹣a4， 得，解得， 即a1＝3b1； （2）解：由（1）知， ∴， ∵a1≠0，∴2m＝3k﹣2，而m∈N*，得2m是偶数，则k无正整数解， 故集合M中的元素个数为0． 【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的函数特性，考查运算求解能力，是中档题． 17．（15分）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛． 参考数据： 1750 0.37 0.55 参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），⋯，（un，vn），其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，． （1）赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据： x（天） 1 2 3 4 5 6 7 y（秒/题） 910 800 600 440 300 240 210 现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；用分数表示） （2）小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值． 【分析】（1）由，得出t，由参考公式求解出，从而求出y和x的回归方程； （2）根据随机变量X的可能取值逐一分析，当X＝3时，小明连胜3局或小红连胜3局；当X＝4时，小明前3局胜2局最后一局胜或小红前3局胜2局最后一局胜；当X＝5时，小明前4局胜2局最后一局胜或小红前4局胜2局最后一局胜；分别求出每个取值的概率．最后代入期望公式计算即可． 【解答】解：（1）因为，， 所以t， 因为，＝＝＝＝， 所以， 所以， 所以所求回归方程为； （2）随机变量X的所有可能取值为3，4，5， 则，，， 所以随机变量X的分布列为： X 3 4 5 P 所以E（X）＝3×＝． 【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题． 18．（17分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣ln（ax）﹣1，a＞0． （Ⅰ）当a＝1时，求函数f（x）的最小值； （Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥（a﹣1）x恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）将a＝1代入f（x）中，判断f（x）的单调性，再求出最小值即可； （Ⅱ）利用不等式性质可知，当0＜a≤1时，不等式恒成立，当a＞1时，判断f（x）的单调性，再结合不等式恒成立求出a的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣1的定义域为（0，+∞）， 求导得，显然函数f′（x）在（0，+∞）上单调递增，而f′（1）＝0， 则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（0，1）上单调递减， 当x＞1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（1，+∞）上单调递增， 所以当x＝1时，函数f（x）取得最小值f（1）＝0． （Ⅱ）函数f（x）＝ex﹣1﹣ln（ax）﹣1的定义域为（0，+∞）， 当0＜a≤1时，0＜ax≤x，ln（ax）≤lnx，则f（x）＝ex﹣1﹣ln（ax）﹣1≥ex﹣1﹣lnx﹣1， 由（Ⅰ）知，∀x∈（0，+∞），ex﹣1﹣lnx﹣1≥0，而（a﹣1）x≤0，所以ex﹣1﹣lnx﹣1≥（a﹣1）x， 因此f（x）≥（a﹣1）x恒成立，此时0＜a≤1； 当a＞1时，， 由（Ⅰ）知，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 则f（x）min＝f（1）＝﹣lna＜0，而（a﹣1）x＞0恒成立，不等式f（x）≥（a﹣1）x不恒成立， 所以实数a的取值范围是（0，1]． 【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的取值范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题． 19．（17分）某区域中的物种C有A种和B种两个亚种．为了调查该区域中这两个亚种的数目比例（A种数目比B种数目少），某生物研究小组设计了如下实验方案：①在该区域中有放回的捕捉50个物种C，统计其中A种数目，以此作为一次试验的结果；②重复进行这个试验n次（其中n∈N*），记第i次试验中的A种数目为随机变量Xi（i＝1，2，…，n）；③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该区域中A种数目为M，B种数目为N，每一次试验都相互独立． （1）已知E（Xi+Xj）＝E（Xi）+E（Xj），D（Xi+Xj）＝D（Xi）+D（Xj），证明：，； （2）该小组完成所有试验后，得到Xi的实际取值分别为xi（i＝1，2…n），并计算了数据xi（i＝1，2…，n）的平均值和方差s2，然后部分数据丢失，仅剩方差的数据． （ⅰ）请用和s2分别代替和，估算和； （ⅱ）在（ⅰ）的条件下，求X1的分布列中概率值最大的随机事件{X1＝k}对应的随机变量的取值． 【分析】（1）根据题意结合期望和方差的性质分析证明； （2）（i）根据（1）中结论结合二项分布的期望和方差公式求解； （ii）根据二项分布的概率公式列式运算求解即可． 【解答】解：（1）证明：由题意可知Xi（i＝1，2，…，n）均近似服从完全相同的二项分布， 则E（X1）＝E（X2）＝…＝E（Xn），D（X1）＝D（X2）＝…＝D（Xn）， 所以E（）＝E（）＝E（）＝＝＝E（X1）， D（）＝D（）＝D（）＝＝×nD（X1）＝D（X1）， 所以，； （2）（i）由（1）可知X1～B（50，）， 则X1的均值E（X1）＝，X1的方差D（X1）＝50×， 对于D（）＝＝， 解得＝或＝， 由题意可知，0≤M＜N，则0， 所以＝，＝E（）＝E（X1）＝＝15； （ii）由（i）可知，，则X1～B（50，0.3）， 则P（X1＝m）＝×0.3m×（1﹣0.3）50﹣m，m＝0，1，2，…，50， 由题意可知，， 解得14.3≤k≤15.3， 又因为且k∈N*， 所以k＝15， 所以X1的分布列中概率值最大的随机事件{X1＝k}对应的随机变量的取值为15． 【点评】本题主要考查了期望和方差的性质，考查了二项分布的概率公式，以及期望和方差公式，属于中档题． 学科网（北京）股份有限公司 $$