精品解析：上海市宝山区世外学校高中国内部2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

上海宝山世外学校高中国内部2023/2024学年第二学期 期中考试 高一数学 试卷 (考试时间: 120分钟 满分: 150分) 一. 填空题(本大题共有12题， 满分54分， 第1~6题每题4分， 第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知角的终边经过点，则______． 2. 复数的共轭复数的模是______. 3. 在复数范围内，方程x2﹣2x+2＝0的解为__． 4. 在中，，，若点满足，则________. 5. 已知，则___________． 6. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数___________． 7. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 8. 已知点，将绕原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为______ 9. 正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分 10. 如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为______（精确到）. 11. 在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______. 12. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为_________ 二、选择题(本大题共有4题， 满分18分， 第13、14题每题4分， 第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列说法正确的是（ ） A. 四边形一定是平面图形 B. 不在同一条直线上的三点确定一个平面 C. 梯形不一定是平面图形 D. 平面和平面一定有交线 14. 设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 过点的直线与函数的图像必有公共点 16. 给定方程：，给出下列4个结论： ①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解； ③该方程在内有且只有一个实数根； ④若是方程的实数根，则. 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知复数是纯虚数，是实数. （1）求； （2）若，求. 18. 已知平面内给定三个向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，且的面积，求a，b的值； （2）若，判断的形状． 20. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 21. 在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. （1）写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; （2）若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. （3）对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海宝山世外学校高中国内部2023/2024学年第二学期 期中考试 高一数学 试卷 (考试时间: 120分钟 满分: 150分) 一. 填空题(本大题共有12题， 满分54分， 第1~6题每题4分， 第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由终边上的点的坐标结合三角函数的定义即可求解. 【详解】因为角的终边经过点，所以. 故答案为：. 2. 复数的共轭复数的模是______. 【答案】 【解析】 【分析】现根据复数的除法运算花间，再根据共轭复数的定义及复数的莫的计算公式即可得解. 【详解】， 则复数的共轭复数为，模为. 故答案为：. 3. 在复数范围内，方程x2﹣2x+2＝0的解为__． 【答案】1+i或1﹣i 【解析】 【分析】利用求根公式求方程x2﹣2x+2＝0的解即可． 【详解】解：方程x2﹣2x+2＝0中，＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4， 所以该方程的解为x1＝＝1+i， x2＝＝1﹣i； 故答案为：1+i或1﹣i． 4. 在中，，，若点满足，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可 【详解】因为，所以－＝(－)，即＝＋， 故 故答案为： 5. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得 , 继而可求得 的值. 【详解】， ， . 故答案为: . 6. 关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用判别式与韦达定理得到的取值范围与的表达式，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】由题意可得，， ，， 解得或， 又，，． 故答案为：． 7. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且 ，则______(结果用数值表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式，结合数量积的定义式求解. 【详解】因为向量在向量方向上的投影向量为， 即，故， 故答案为： 8. 已知点，将绕原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数知识即可得到结果. 【详解】设，则 ，， 将绕原点逆时针旋转至，则的倾斜角为， 则， ∴点的纵坐标为， 故答案为 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 9. 正方体的6个面无限延展后把空间分成______个部分 【答案】 【解析】 【分析】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分，得到答案. 【详解】正方体的6个面无限延展后把空间分成个部分. 故答案为： 10. 如图，为计算湖泊岸边两景点与之间的距离，在岸上选取和两点，现测得，，，，，据以上条件可求得两景点与之间的距离为______（精确到）. 【答案】5.8 【解析】 【分析】在中，根据余弦定理求出，然后在，先求出，然后根据正弦定理，即可求出答案. 【详解】在中，有，，， 由余弦定理可得，， 即， 整理可得， 解得或（舍去）. 在中，有，，， 所以，. 由正弦定理可得， (km). 故答案为：. 11. 在中，，，若该三角形为钝角三角形，则边的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的性质可得，分类讨论，结合题意列式求解即可. 【详解】由三角形可得，解得， 若该三角形为钝角三角形，注意到， 则角为钝角或角为钝角，可得或， 即或，解得或， 故边的取值范围是. 故答案为：. 12. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为_________ 【答案】 【解析】 【分析】画图像可知，与交点为个，且和,和关于对称，所以，即可得出的值. 【详解】 由题意，做出图象，可得函数 和直线 的所有交点共计个，根据余弦函数的中心对称性可知， 直线 的所有交点共计个，根据余弦函数的中心对称性可知，和,和关于对称， ∴则 故答案为: . 二、选择题(本大题共有4题， 满分18分， 第13、14题每题4分， 第15、16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 下列说法正确的是（ ） A. 四边形一定是平面图形 B. 不在同一条直线上的三点确定一个平面 C. 梯形不一定是平面图形 D. 平面和平面一定有交线 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间元素的位置关系和三大公理及推论分别判断选项正误. 【详解】解：对于选项A,四边形不一定是平面图形,也可能是空间四边形,故A错误; 对于选项B,不共线的三点确定一个平面,故B正确; 对于选项C,梯形中，有一组对边平行,可以确定一个平面,故梯形一定是平面图形，C错误; 对于选项D,若平面和平面平行,则其没有交线,故D错误; 故选:B. 14. 设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】若，，则成立且不成立， 而若，则成立， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 15. 设函数，其中，，若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的图像关于直线对称 C. 在上单调递增 D. 过点的直线与函数的图像必有公共点 【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将函数化简，进而根据函数在处取得最大值求出参数，然后结合三角函数的图象和性质判断答案. 【详解】由题意，，，而函数在处取得最大值，所以，所以，，则. 对A，因为，即，A错误； 对B，因为，所以B错误； 对C，因为，所以函数在上单调递减，所以C错误； 对D，因为的最大值为，而，所以过点的直线与函数的图象必有公共点，D正确. 故选：D. 16. 给定方程：，给出下列4个结论： ①该方程没有小于0的实数解； ②该方程有无数个实数解； ③该方程在内有且只有一个实数根； ④若是方程的实数根，则. 其中正确结论的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：作函数和的图像，显然是增函数，且当时，，而是周期函数，且，，因此与的图像有无数个交点，即方程有无数个实数解，②正确；当时，，方程无解，也不是方程的解，④正确；从图像上看，时，两图像有一个交点，即方程有一解，因此①错，③正确．故选C． 考点：函数的零点，方程的解． 【名师点睛】本题考查函数图像的综合应用，考查数形结合思想．在解决方程的根的个数问题时，通常把方程根的个数与函数图像交点个数问题进行转化，转化时要注意简单化原则，本题直接作函数图像几乎不可能，可把方程的解转化为函数和的图像的交点问题，通过作出函数图像，观察结论，得出图像交点变化规律． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分)解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知复数是纯虚数，是实数. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设且，代入化简，然后由复数的分类求解； （2）由（1）代入求得，再由复数模的性质与定义计算． 【小问1详解】 设且. 则为实数， 所以，所以， 所以 ； 【小问2详解】 由（1），， 所以． 18. 已知平面内给定三个向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算与向量相等的性质即可得解； （2）利用向量数量积的坐标运算即可得解. 【小问1详解】 因为向量，，， 可得， 故有，， 则，； 【小问2详解】 因为，，， 所以， 解得， 故的取值范围是 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． （1）若，且的面积，求a，b的值； （2）若，判断的形状． 【答案】（1）； （2）是直角三角形或等腰三角形. 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理可得，由三角形面积得到，进而即得； （2）根据题中条件及两角和与差的正弦公式，得到，求出或，进而可得出结果. 【小问1详解】 因为，又余弦定理可得：， 即， 又的面积， 所以，因此，； 解得：； 【小问2详解】 因为， 所以， 即， 所以或， 因此或， 所以是直角三角形或等腰三角形. 20. 已知函数（其中常数）的最小正周期为． （1）求函数的表达式； （2）作出函数，的大致图象，并指出其单调递减区间； （3）将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若实数满足，且的最小值是，求的值． 【答案】（1）； （2）       单调递减区间为； （3），或. 【解析】 【分析】（1）根据降幂公式、辅助角公式，结合正弦二倍角公式、正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可； （2）利用五点作图法，结合函数图象进行求解即可； （3）根据正弦型函数的图象变换性质，结合正弦型函数的图象进行求解即可. 【小问1详解】 ， 因为的最小正周期为，且， 所以有，即； 【小问2详解】 列表如下： 函数，的大致图象如下图所示： 单调递减区间为； 【小问3详解】 由题意可知：， 因为， 所以中有一个为，另一个为， 因为的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，且的最小值是， 所以，或， 因此的值为，或. 21. 在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足 ， (其中表示正整数)的点P(x,y)称为函数的“正格点”. （1）写出当 时， 函数，图象上所有正格点的坐标; （2）若函数，，与函数的图象有正格点交点， 求m的值，并写出两个图象所有交点个数，需说明理由. （3）对于 (2) 中的m值和函数， 若当 当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）； （2） 作出两个函数图象．如图， 可知函数，与函数的图象只有一个“正格点”交点． ∴， 又可得． 根据图象可知，两个函数图象的所有交点个数为4个． （3） 【解析】 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图象，根据图象可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点的个数； (3)结合(2)的图象，分类讨论的情况. 【小问1详解】 因为，所以，所以函数的正格点为，…，，… 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 所以实数a的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $