2.5直线与圆、圆与圆的位置关系（九大常考题型）-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点2 弦长 直线被圆截得的弦长为的常用方法： 1.几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离）；②弦长公式： 2.代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点3 直线与圆相切 1.圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线;②过圆上一点，可以作圆的一条切线;③过圆内一点，不能作圆的切线 2.过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点4 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 知识点5 圆与圆的公共弦 1.圆与圆的公共弦:圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2.公共弦所在直线的方程 设:,:, 联立作差得到：即为两圆共线方程 3.公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 题型一 直线与圆的位置关系 1．直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 2．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 3．已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 4．已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．3 C．2 D．1 5．已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知圆经过，，三点， （i）则圆的标准方程为 ； （ii）若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 . 7．若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 题型二 直线与圆的相交问题 8．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴作为始边，角的终边与曲线相交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 10．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 11．已知直线与圆相交，若为直线与圆交点坐标，求k． 12．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 13．过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 14．过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为 ． 题型三 切线方程问题 15．过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 16．已知圆，直线过点，则“直线的方程为”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（    ） A． B． C．4 D． 18．过点作圆的切线l，求切线l的方程 19．已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 20．若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 21．已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 22．已知直角坐标平面上点和圆，一条光线从点射出经轴反射后与圆相切，求反射后的光线方程. 题型四 切线长问题 23．过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．3 24．若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 25．过点的直线与圆相切于点，则（    ） A．4 B．16 C． D．17 26．已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 28．设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 29．已知圆，圆的半径为，过直线上的动点作圆的切线，切线长始终相等，则圆的标准方程为 ． 30．已知圆C：，过直线上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当△ABC的面积最大时，点P的坐标为 ． 题型五 圆的弦长问题 31．直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 32．直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 33．已知圆，直线都经过原点，且，若与被圆所截得的弦长之比为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 34．（多选）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 35．直线与圆：交于，两点，若，则 . 36．已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 37．已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求. 38．设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 题型六 圆内接三角形问题 39．已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 40．已知点为圆上不同的四点，直线平分圆，直线把圆的周长分为3∶1的两部分，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C． D． 41．若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 . 42．已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 43．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 . 44．已知直线与圆相切. (1)求的值及圆的方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程. 45．已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 题型七 圆与圆的位置关系 46．已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 47．已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 48．（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 49．（多选）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 50．（多选）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（   ） A． B． C． D． 51．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 52．求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 题型八 两圆的公共弦问题 53．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 54．已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 55．已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 . 56．已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，切点分别为，求过切点的直线方程． 58．已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B． (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)求线段AB长度的最小值． 题型九 圆的公切线问题 59．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 61．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 62．圆与圆的公切线的方程为 ． 63．已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 64．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 65．为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点1 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为 图形 知识点2 弦长 直线被圆截得的弦长为的常用方法： 1.几何法（优先推荐） ①弦心距（圆心到直线的距离）；②弦长公式： 2.代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 弦长公式： 知识点3 直线与圆相切 1.圆的切线条数 ①过圆外一点，可以作圆的两条切线;②过圆上一点，可以作圆的一条切线;③过圆内一点，不能作圆的切线 2.过一点的圆的切线方程（） ①点在圆上 步骤一：求斜率：读出圆心，求斜率，记切线斜率为，则 步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点） ②点在圆外 记切线斜率为，利用点斜式写成切线方程；在利用圆心到切线的距离求出 （注意若此时求出的只有一个答案；那么需要另外同理切线为） 3.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； 知识点4 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表： 位置关系 几何法 代数法 图示 外离 外切 相交 内切 内含 知识点5 圆与圆的公共弦 1.圆与圆的公共弦:圆与圆相交得到的两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦. 2.公共弦所在直线的方程 设:,:, 联立作差得到：即为两圆共线方程 3.公共弦长的求法 代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长． 几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长． 题型一 直线与圆的位置关系 1．直线：与圆：的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【详解】由直线，可得直线过定点， 又由圆：，可得点在圆C上， 因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2. 故选：C. 2．已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离， 若点在圆上， 则，所以， 则直线与圆相切，故A正确; 若点在圆内， 则，所以， 则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外， 则，所以， 则直线与圆相交， 故C错误； 若点在直线上， 则，即，所以直线与圆相切， 故D正确， 故选：C． 3．已知直线，圆，则该动直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】因为直线，即， 当时，，解得， 所以直线表示过定点，且除去的直线， 将圆的方程化为标准方程为，因为，点在圆上， 所以直线与圆可能相交，可能相切，相切时直线为，不合题意， 所以直线与圆相交. 故选：C. 4．已知集合，集合，则的子集个数为（    ） A．8 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】集合A表示直线上的所有点的集合，集合B表示圆上所有点的集合， 因为圆心到直线的距离为，等于圆的半径，故直线与圆相切， 故中只有一个元素，故的子集个数为． 故选：C. 5．已知直线，圆，则“”是“直线上存在点，使点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由直线上存在点，使点在圆内，得直线与圆相交，即1， 解得，即， 因为不一定能得到，而可推出， 所以“1”是“直线上存在点，使点在圆内”的必要不充分条件. 故选：B 6．已知圆经过，，三点， （i）则圆的标准方程为 ； （ii）若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可设圆的方程为，其中， 则，解得， 圆的方程为， 即圆的标准方程为； 由题意知，直线的斜率为， 直线方程为，与的交点为， 所以直线关于对称的直线的斜率为， 故对称直线的方程为，即， 由知，圆心为，半径为2， 因为对称直线与圆有公共点， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：；. 7．若直线与圆相交，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】依题意，由圆的圆心到直线的距离， 解得，. 故答案为：. 题型二 直线与圆的相交问题 8．在平面直角坐标系中，以轴非负半轴作为始边，角的终边与曲线相交于点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知， 由知，由得， 即，， 故，整理得， 解得或（舍）， 于是， 故， 故选：A. 9．已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为 ． 【答案】 【详解】方程，可化为， 所以点为直线与圆的交点， 所以若点的坐标为，则点的坐标为， 所以直线的方程为， 故答案为：. 10．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】联立直线和圆，解得， 设圆的标准方程为，则有， 解得，所以圆的标准方程为. 故答案为：. 11．已知直线与圆相交，若为直线与圆交点坐标，求k． 【答案】1 【详解】由过定点，代入圆有，定点在圆外， 将直线代入圆并整理得：， 则，即， (x1,y1)、(x2,y2)为直线与圆的交点坐标， 所以，而， 由，则， 综上，. 12．已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以， 设，， 由，消去整理得，则，， 又，， 所以 . 故答案为：； 13．过原点的直线与圆交于两点，若，则直线的斜率为 . 【答案】或 【详解】当斜率不存在时，解得或， 因为且，即不满足，故舍去； 当直线的斜率存在时，设斜率为，则， 代入圆，得， 显然，设，， 则，， 因为，则，则，， 联立可得，解得或． 故答案为：或． 14．过点的直线为，为圆与轴正半轴的交点．若直线与圆交于两点，则直线的斜率之和为 ． 【答案】 【详解】由题意得：， 当直线斜率为时，与圆相切于点，不合题意； 设直线，， 由得：， 则，解得：， ，， ， 直线的斜率之和为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是采用设线法联立圆的方程得到韦达定理式，并化简得，再将韦达定理式代入计算即可. 题型三 切线方程问题 15．过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由条件知点在圆上，所以直线的斜率为切线的斜率为， 即直线方程为，整理得：直线与 直线平行，直线方程为，则直线与的距离为， 故选：A． 16．已知圆，直线过点，则“直线的方程为”是“直线与圆相切”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为圆可化为， 所以圆的圆心坐标是，半径为1． 当直线的斜率不存在时，直线的方程是，满足直线与圆相切； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 由圆心到直线的距离等于圆的半径，得，解得， 故直线的方程是． 综上所述，当直线的方程是或时，直线与圆相切， 则“直线的方程为”是“直线与圆相切”的充分不必要条件． 故选：A 17．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【详解】 若直线关于直线对称，则直线与直线的夹角相等， 则与垂直，所以等于圆心到直线的距离， 即. 故选：D 18．过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 19．已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【答案】 1 【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切， 则一定在圆上，可得， 解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为， 又直线斜率为，设该直线的斜率为， 显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为， 化简得直线方程为， 故答案为：1； 20．若点在圆上，则过的圆的切线方程为 . 【答案】 【详解】因为点在圆上， 所以过的圆的切线方程和垂直， 因为，，所以，所以切线方程斜率为， 所以切线方程为，即. 故答案为： 21．已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上． (1)求圆的标准方程； (2)求过点且与圆相切的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为， 又圆的半径为2，点在圆上，有， 解得（舍去）或， 故圆的标准方程为； （2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切； ②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为， 由题知，解得， 可得切线方程为，整理为， 由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.    22．已知直角坐标平面上点和圆，一条光线从点射出经轴反射后与圆相切，求反射后的光线方程. 【答案】或 【详解】由反射光线过点关于轴对称的点，且和圆相切， 设反射光线所在直线方程为，则圆心到直线的距离为1， 可得，整理得，解得或； 当直线斜率不存在时，直线为，显然不满足条件； 所以所求直线方程为或. 故答案为：或. 题型四 切线长问题 23．过点作圆的切线，A为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】A 【详解】由题意：，即. 设，则，代入，得. 因为关于的一元二次方程一定有解， 所以. 故选：A. 24．若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】依题意，记为坐标原点，连接，如图， 因为圆的圆心为，半径为，则， 又，所以， 因为点唯一，使得，所以直线与直线垂直， 所以，即. 故选：B． 25．过点的直线与圆相切于点，则（    ） A．4 B．16 C． D．17 【答案】B 【详解】圆，即圆的圆心为，半径， 点到圆心的距离，所以， . 故选：B 26．已知圆，点为直线上的一点，过作圆的切线，切点分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆的圆心，半径， 依题意，， 显然当取得最小值时，取得最小值， 的最小值即为点到直线的距离，即， 所以. 故选：B 27．由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 28．设P为直线上的动点，PA，PB为圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形的周长的最小值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】依题意，圆的圆心，半径， ，， 因此四边形的周长， 而，当且仅当垂直于直线时取等号， 所以四边形的周长的最小值为4. 故选：C 29．已知圆，圆的半径为，过直线上的动点作圆的切线，切线长始终相等，则圆的标准方程为 ． 【答案】或 【详解】设，切线长， 由已知可知两圆的半径分别为， 所以， 化简得， 由题意知，上式恒成立， 又， 所以， 解之得或， 则圆的标准方程为或. 故答案为：或 【点睛】思路点睛：根据切线始终相等设点P坐标与圆心坐标，由勾股定理建立等式关系（看成关于点P坐标的关系式），再由P在直线上得方程形式相同，解参数即可. 30．已知圆C：，过直线上点P引圆C的切线，切点为A，B，则当△ABC的面积最大时，点P的坐标为 ． 【答案】或 【详解】由题，所以时，最大， 由于PA，PB与圆相切，所以四边形PACB是正方形，此时， 又点P在直线上，所以设点，则， 解得或，所以点P的坐标为或. 故答案为：或. 题型五 圆的弦长问题 31．直线被圆所截得的弦长为（    ） A．2 B． C． D．10 【答案】C 【详解】圆即，故圆心为， 显然圆心在直线上， 故直线被圆所截得的弦即为圆的直径，长为. 故选：C． 32．直线，被圆截得最短弦的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线， 即，由，解得， 设，由于，所以在圆内， 圆的圆心为，半径，如图： 当时，最短，， 所以弦长的最小值为. 故选：C 33．已知圆，直线都经过原点，且，若与被圆所截得的弦长之比为，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得圆的圆心为，半径，显然直线的斜率存在，且不为0，设的斜率为，则直线的斜率为， 则直线的方程为：，直线的方程为：，记圆心到直线和的距离分别为， 则，，由题意可知，整理得，，所以，解得 故选：C 34．（多选）已知过点的直线和圆：，则（    ） A．直线与圆相交 B．直线被圆截得最短弦长为 C．直线与被圆截得的弦长为，的方程为 D．不存在这样的直线，使得圆上有3个点到直线的距离为2 【答案】ABD 【详解】解：因为圆：， 所以圆的圆心为，半径为4. 选项A：因为， 所以点在圆内，故直线与圆相交，选项A正确； 选项B：设圆心到直线的距离为，弦长为， 则， 又因为圆心到直线的最长距离， 所以，故选项B正确； 选项C：直线与被圆截得的弦长为， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 故，解得， 故直线方程为， 综上满足题意的直线方程为或， 故选项C不正确； 选项D：当直线经过圆心时，圆上到直线的距离为2的点有4个； 当直线不经过圆心时，直线将圆分成优弧与劣弧两个部分， 由于半径为4，在优弧上一定存在两个点到直线的距离为2， 那么此时，在劣弧上有且只有一个点到直线的距离为2. 当圆心到直线的距离为时，此时圆心到直线的距离最大， 又因为半径为4，且， 所以此时劣弧上有两个点到直线的距离为2， 所以不存在 所以选项D正确. 故选：ABD. 35．直线与圆：交于，两点，若，则 . 【答案】 【详解】设、，线段的中点坐标为， 则， 且∴， 即. ∵，两点在圆上， ∴，， 又∵， ∴. ∴. 故答案为：. 36．已知直线与圆C：相交于A，B两点，且，则实数 . 【答案】 【详解】根据题意，圆， 即，其圆心为，半径， 若，则圆心到直线即的距离， 又由圆心到直线的距离， 则有，解可得：. 故答案为：. 37．已知圆M的圆心在直线上，并且与直线相切于点. (1)求圆M的标准方程； (2)直线与圆M相交于A，B两点，，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 代入点可得，解得， 可知圆M的圆心在直线上， 联立方程，解得， 即圆M的圆心，半径， 所以圆M的标准方程为. （2）设， 联立方程，消去y得， 则， 因为，解得， 此时，即符合题意， 设的倾斜角为，则，故， 所以. 38．设圆的圆心为C，直线过，且与圆C交于A，B两点，若，则直线方程为 ． 【答案】或 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离为1，满足，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离，解得，此时直线：， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 题型六 圆内接三角形问题 39．已知圆，点，过作直线交圆于，两点，当取得最大值时，直线的方程为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【详解】当取得最大值时，，此时圆心O到直线的距离为， 又直线恒过点，所以直线斜率存在，设为，即， 由点到直线的距离公式得，平方并化简得， 解得或，此时直线的方程为或， 即或. 故选：B 40．已知点为圆上不同的四点，直线平分圆，直线把圆的周长分为3∶1的两部分，若，则四边形的面积为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】直线把圆的周长分为的两部分，则弦所对圆心角为，即． 因为直线平分圆，所以为圆的直径． 因为，所以过的平分线，有． 由得，则四边形的面积为. 故选：C． 41．若直线与交于，两点，则面积的最大值为 ，写出满足“面积最大”的的一个值 . 【答案】 2 1（均可） 【详解】直线，则，令，解得， 所以直线恒过点， 的圆心为，半径， 显然点在上， 圆心到直线的距离，， 则， 当且仅当，即时取等号， 即，解得或. 故答案为：；（均可） 42．已知直线与交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值 . 【答案】（中任意一个皆可以，答案不唯一） 【详解】的圆心为，半径， 设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得或， 由，所以或， 解得或． 故答案为：（中任意一个皆可以，答案不唯一）． 43．在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与圆相交于M，N两点，若，则直线l的斜率为 . 【答案】 【详解】解：由题意得，直线的斜率存在，设，，直线MN的方程为，与联立，得，，得，，.因为，所以，则，于是，（由点A及C在y轴上可判断出，同号） 所以，两式消去，得，满足，所以. 故答案为： 44．已知直线与圆相切. (1)求的值及圆的方程； (2)已知直线与圆相交于，两点，若的面积为，求直线的方程. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【详解】（1）因为圆，可知圆心，半径，且， 由题意可得：，解得， 此时圆. （2）由（1）可知：圆心，半径， 由题意可知：， 可得，且， 若，则圆心到直线的距离， 可得，解得或， 此时直线的方程为或； 若，则圆心到直线的距离， 可得，解得或， 此时直线的方程为或； 综上所述：直线的方程为或或或. 45．已知圆C与圆D：关于直线l：对称． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与圆D相交于A，B两点，求四边形CADB的面积． 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）易知圆D的圆心为，设圆C的圆心， 因为圆心C与圆心D关于直线l：对称， 所以，解得， 所以圆C的方程为； （2）设点D到直线l的距离为d，则， 所以， 所以四边形CADB的面积． 题型七 圆与圆的位置关系 46．已知圆，圆，那么两圆的位置关系是（   ） A．相交 B．外离 C．外切 D．内含 【答案】A 【详解】由于点和都在圆上，而在圆内部， 在圆外部，故两圆一定相交. 故选：A. 47．已知圆的圆心到直线的距离是，则圆与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【详解】圆：，所以圆心，半径为. 由点到直线距离公式得：，且，所以. 又圆的圆心，半径为：1. 所以，. 由，所以两圆内含. 故选：D 48．（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 49．（多选）已知两圆和有公共点则r的值可能是（    ） A． B．1 C．6 D．8 【答案】ACD 【详解】由，可得圆心为，半径分别为， 由，可得，得圆心坐标，半径， 则两圆圆心之间的距离为， 又两圆有公共点则，解得. 故选：ACD． 50．（多选）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】圆的圆心，半径， 令，消去得，即圆心在圆的圆周上， 且半径为2． 由于不论取何值时，圆总与圆相切，所以圆的圆心必为， 若圆与圆外切，则圆的方程为，即； 若圆与圆内切，则圆的方程为，即． 故选：AC 51．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点满足，则点的轨迹与圆的位置关系是 . 【答案】相交 【详解】设，因为，化简得到圆：，是以为圆心，2为半径的圆； 圆是以为圆心为半径的圆，则，，所以两圆相交. 故答案为：相交. 52．求过直线和圆的交点，且面积最小的圆的方程. 【答案】 【详解】设过直线和圆的交点的圆系方程， 可设为， 即， 可得圆的半径为， 故当时对应圆的半径最小，且最小半径为. 故所求圆的方程为. 题型八 两圆的公共弦问题 53．已知圆与圆交于A，B两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， ，圆与圆相交，两圆方程相减得直线：， 显然点在直线上，因此线段是圆的直径， 所以. 故选：C 54．已知圆，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于A，B两点，且，则圆和圆的公共弦所在的直线方程为 . 【答案】 【详解】由圆与轴相切于点，可设圆的方程为， 由，则，所以圆的方程为， 圆与圆的方程相减得，即为两圆的相交弦所在直线方程. 故答案为： 55．已知圆，若对于任意的，存在一条直线被圆所截得的弦长为定值，则 . 【答案】/ 【详解】圆， 则，解得， 所以圆，即， 由题设，令可得，令可得， 显然两圆相交，则两圆方程作差可得， 由，解得或， 所以直线与圆相交的弦长为， 所以，则. 故答案为： 56．已知圆和圆外一点，过点作圆的切线，切点分别为，求过切点的直线方程． 【答案】 【详解】由切线性质知，切点在以线段为直径的圆上，故直线是以线段为直径的圆与圆的公共弦所在的直线方程，用过两圆交点的曲线系方程求解即可． 【详解】由切线性质知． 四点共圆，且是直径． 由知． 所求圆的圆心． 故所求圆的方程为． 圆与圆的方程相减得到两圆公共弦（即所在直线方程为． 圆心到直线的距离， ． 58．已知圆M：，点P是直线l：上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为A、B． (1)当切线PA的长度为时，求点P的坐标； (2)求线段AB长度的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1） ∵圆，∴圆M的半径，圆心， 设，∵PA是圆M的一条切线，∴， ∵切线PA的长度为， ∴， 解得或， ∴或． （2）∵圆N方程为， 即，…① 圆，即，…② ②﹣①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：， 点M到直线AB的距离， 相交弦长即：， ∴当时，线段AB长度取最小值． 题型九 圆的公切线问题 59．已知圆与圆有4条公切线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意可知，圆外离，，又． 故选：D 60．若圆与圆恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 若圆与圆恰有一条公切线，则两圆内切， 所以，即，所以点的轨迹为圆， 对于A，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故A不符合； 对于B，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故B不符合； 对于C，圆心到直线的距离为，则该直线过点，故C不符合； 对于D，圆心到直线的距离为，则该直线不过点，故D符合； 故选：D. 61．已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为 . 【答案】 【详解】的圆心和半径分别为，的圆心和半径分别为， 由于，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如下： 由图可知：外公切线一条平行于轴，斜率为0，一条斜率为负， 而内公切线的斜率为正，故斜率最大， 由于,故内公切线的斜率为, 故答案为： 62．圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 63．已知圆，则圆的半径为 ；与圆和圆都相切的直线的方程为 .（只需写出一条直线的方程） 【答案】 （答案不唯一，或亦可） 【详解】由，即， 故圆的半径为，圆心坐标为， 设直线与圆和圆都相切， 若直线斜率不存在，设直线为， 需有，解得，故符合要求； 若直线斜率存在，设直线为，即， 需有，两式相除得， 故或， 化简得或， 由可得， 故有或， 化简得或， 即或， 则或， 故该直线为或， 即或， 综上所述，与圆和圆都相切的直线的方程有： 、、. 故答案为：；（答案不唯一，或亦可） 64．已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 65．为测量一工件的内圆弧对应的半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒顶侧面的垂直深度（如图所示），则 . 【答案】/ 【详解】 如图，设两圆外切于点，连接，作交于点， 点为线段与圆的交点， 因为，所以， 因为，， 所以，所以， 所以，解得， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$