9.5三角形的中位线 课件 2023-—2024学年苏科版数学八年级下册

自学课本第86页,思考下列问题： 1.如何说明图9-31中四边形DBCF是平行四边形？DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？ 2.什么叫做三角形的中位线？与三角形的中线有什么区别？ 3.三角形的中位线定理怎样表述？ 预学向用 第9章 · 中心对称图形——平行四边形 9.5　三角形的中位线 2 导学习用 将一张三角形纸片剪一刀，要求剪得的两部分纸片能拼成一个平行四边形，剪切线的位置应满足什么条件? B A C D E 3 在将两部分纸片拼成平行四边形时，对其中的一部分进行了怎样的图形运动? B A C D E F 导学习用 4 B A C D E F 思考：1.点E在线段DF上吗？四边形BCFD是哪种特殊四边形？为什么？ 导学习用 思考：2.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？ 猜想：DE∥BC，DE=BC. B A C D E F 导学习用 B A C D E F 证明：延长DE到点F，使EF=DE ， 连接CF. ∵点E是AC的中点. ∴AE=CE. 在△ADE和△CFE中， ， ∴△ADE≌△CFE， ∴ AD=CF，∠ADE=∠F. ∴CF//BD. ∵D是AB的中点， ∴又AD=BD. ∴BD=CF，CF//BD， ∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF//BC，DE=DF=BC. 思考：2.DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？ 猜想：DE∥BC，DE=BC. 导学习用 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. B A C D E 三角形共有几条中位线呢？ 中位线和中线有何不同？ 三角形中位线：中点——中点； 三角形的中线：中点——顶点. 中位线DE 中线DC F 导学习用 8 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半. B A C D E ∵DE是△ABC的中位线， ∴ DE∥BC，DE= BC. 符号语言： 导学习用 9 如图：在△ABC中，点D、E、F分别是三边的中点. (1)若∠ADE=60°，则∠B= °； (2)若BC=8cm，则DE= cm； (3)若DF=3cm，则AC= cm； (4)四个小三角形全等吗？ (5)△DEF与△ABC的周长和面积分别有怎样的数量关系？ C A B D E F 60 4 6 导学习用 根据图中的条件，回答问题： （1）如图（a），已知D、E分别为AB和AC的中点，DE=5，BC= ； （2）如图（b），D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，AC=8，∠C=40°，求DF的长和∠EDF的度数（写出具体过程）； （3）如图（c）, D、E、F分别为AB、AC、BC的中点，若△DEF的周长为10cm，则△ABC的周长为 ； 若△ABC的面积等于20cm2，则△DEF的面积为 . 导学习用 共学展用 问题3：如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，求AC的长． 共学展用 问题4：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数． 理学启用 例 已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． B A C D E F G H 变式1 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，那么依次连接它的各边中点能得到什么图形？ B A C D E F G H 证明：在△BAC中， ∵BE=EA，BF=FC， ∴EF∥AC， 同理GH∥AC，HE∥BD，GF∥BD， ∴EF∥GH，HE∥GF， ∴四边形EFGH是平行四边形. ∵AC⊥BD， ∴∠1=90°. ∵EF∥AC，GF∥BD， ∴∠3=∠2=∠1=90°. ∴▱EFGH是矩形. 1 2 3 AC=BD 理学启用 若四边形EFGH是正方形，则四边形ABCD应满足什么条件？ 变式2 如图，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、AD的中点，试说明四边形EFGH是菱形. B A C D E F G H 解：连接AC、BD. 根据三角形中位线定理，可得 EF=HG=AC，EH=FG=BD. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD. ∴EF=FG=HG=HE. ∴四边形EFGH是菱形. 理学启用 16 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是怎样的图形？为什么？ 中点四边形是否是特殊的平行四边形与什么有关？ 矩形 正方形 平行四边形 如果顺次连接菱形、正方形四边的中点呢？ 理学启用 17 顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等. 原四边形两条对角线 连接四边中点所得四边形 互相垂直 矩形 相等 菱形 互相垂直且相等 正方形 既不互相垂直也不相等 平行四边形 理学启用 18 1. 已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F 分别是AC、 AB、BC的中点. 求证：CE=DF. B A C D E F 解：∵D、F分别是AC、BC的中点， ∴DF=AB. ∵∠ACB=90°，E是AB的中点, ∴CE=AB. ∴CE=DF. 试说明CE与DF互相平分. 理学启用 2. 如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点．四边形EGFH是怎样的四边形？证明你的结论. A B C D E F H G 证明：在△ABC中， ∵H、F分别是AC、BC的中点， ∴HF=AB. 同理EG=AB，EH=CD，GF=CD. ∵AB=DC， ∴EG=GF=EH=HF， ∴四边形EGFH是菱形. 理学启用 9.5　三角形的中位线 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 应用：中点四边形形状的判定 理学启用 测学活用 完成测学活用 当堂检测 1.如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，D、E、F分别是△ABC三边的中点，则△DEF的周长为(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 A B A C D F E 23 当堂检测 2.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，∠ADE＝45°，则∠CFE的度数为(　　)A.40° B.45° C.50° D.55° B B A C D F E 24 当堂检测 3.如图，已知四边形ABCD中，R、P分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( ) A.线段EF的长逐渐增大 B.线段EF的长逐渐减少 C.线段EF的长不变 D.线段EF的长与点P的位置有关 B A C D E R P F C 25 当堂检测 4. 顺次连接矩形ABCD各边中点得到四边形EFGH，它的形状是________. 菱形 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AC、BC、AB边的中点，CF=8 cm，则线段DE=　　　 cm. 8 F B A C D E 26 当堂检测 6. 已知：如图，在△ABC中，AB=6cm，AC=4cm，AD平分∠BAC，且AD ⊥ CD，垂足为D，E为BC中点，则DE的长是_________. F 1cm B A C D E 27 当堂检测 7.如图，A、B两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB，分别取CA、CB 的中点D、E. (1)若DE的长为 36m，求A、B两地的距离； (2)若D、E两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？ 72m 分别取CD、CE的中点F、G.测得FG的长，就可以求得A、B两地的距离. 28 当堂检测 8.(2022·泰州)如图，线段DE与AF分别为△ABC的中位线与中线.(1)求证：AF与DE互相平分； F B C A E D 证明：∵DE和AF分别是△ABC的中位线和中线， ∴AD＝AB，EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB，EF＝AB， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AF与DE互相平分． 29 当堂检测 (2)当线段AF与BC满足怎样的数量关系时，四边形ADFE为矩形？请说明理由. F B C A E D 解：当AF＝BC时，四边形ADFE为矩形， 理由：∵线段DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC. ∵AF＝BC， ∴AF＝DE. 由(1)得，四边形ADFE是平行四边形， ∴四边形ADFE为矩形． 30 1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点．若AD＝6cm，BC＝18cm，求EF的长． A B C D E F G 解法一：如图，取AB的中点G，连接EG. ∵E、F分别是对角线BD、AC的中点， ∴EG∥AD，EG=AD=12×6=3cm， GF∥BC，GF=BC=12×18=9cm. 又∵AD∥BC， ∴EG∥BC. ∴点G、E、F三点共线， ∴ EF=GF−EG=9−3=6cm. 思维提升 1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是对角线BD、AC的中点．若AD＝6cm，BC＝18cm，求EF的长． A B C D E F K 解法二：连接DF并延长，交BC于点K， ∵AD∥BC， ∴∠DAF=∠KCF，∠ADF=∠CKF， ∵F是AC的中点， ∴AF=CF， ∴△ADF≌△CKF(AAS)， ∴DF=KF，CK=AD， ∴EF=BK=(BC−AD)=×(18−6)=6(cm). 思维提升 2.已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC的中点． 求证：EF∥BC，EF＝(BC＋AD)． A B C D E F O 证明：连结AF并延长，交BC的延长线于点O. ∵ F是DC的中点， ∴ DF=FC. ∵ AD∥BC， ∴ ∠ADC=∠DCO. ∴ △ADF≌△OCF. ∴ AD=CO ，AF=FO. ∵ F是AO的中点，E是AB的中点， ∴ EF是△ABO的中位线 . ∴ EF∥BC，EF=BO=(BC+CO) ∵ AD=CO， ∴EF∥BC，EF=(BC+AD). 思维提升 33 $$