2024年全国一卷新高考数学题型细分2-6解三角形大题4 最值范围分析

2024年全国一卷新高考题型细分2-6 ——解三角形——大题4 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《解三角形——大题》主要分类有：正余面公式，角度计算 ，其他基础，中线，角平分线，其他中下，三角函数最值分析，基本不等式最值分析，导数范围分析等，大概75道题。 解三角形 - 大题4（最值）： 1. （2024年粤J139深圳外国语九模）16．已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角A的大小；（[endnoteRef:2]） (2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值． （基本不等式最值分析，中下；） [2: 16．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，求出； （2）利用余弦定理得到，由三角形面积公式和求出，表达出，利用两次基本不等式求出最值. 【详解】（1）由题意知中，， 故 即， 即， 所以， 而，故， 故，即， 又，故； （2）由余弦定理：， 又， 所以，所以， 所以， 当且仅当时，取等号，则的最小值为.] 2. （2024年冀J45石家庄三检）15．在中，角所对的边分别为． (1)若，求的值；（[endnoteRef:3]） (2)求面积的最大值． （基本不等式最值分析，中下；） [3: 15．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理可得，从而可求的值； （2）利用基本不等式可得，再根据余弦定理可得的范围，从而可得的范围，结合三角形面积公式，即可得面积的最大值． 【详解】（1）由正弦定理，可得， （2），， 由余弦定理可得， ，， ，， 当且仅当时，等号成立，此时面积取得最大值 ] 3. （2024年鄂J26武昌五月检）15．在中，角的对边分别为，已知. (1)求；（[endnoteRef:4]） (2)已知，求的最大值. （三角函数最值分析，基础；） [4: 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据正弦定理进行边换角，再通过三角恒等变换得，则得到的大小； （2）利用正弦定理得到，再根据关系减少变量，最后利用三角恒等变换和三角函数的性质即可得到最大值. 【详解】（1）∵， 由正弦定理得， ，即， 所以， ∵，∴，∴， ∵，∴； （2）由正弦定理，得， ∴ ， 又∵，为锐角，∴的最大值为， ∴的最大值为. ] 4. （2024年粤J136茂名高州一模）17．在中，内角的对边分别是，且. (1)求的大小；（[endnoteRef:5]） (2)若是边的中点，且，求面积的最大值. （基本不等式最值分析，中下；） [5: 17．(1) (2) 【分析】（1）借助三角形内角与正弦定理边角转化，结合二倍角公式计算即可得； （2）借助向量线性运算与基本不等式，结合三角形面积公式计算即可得. 【详解】（1），，， 由正弦定理可得， ，， ，，，即，即； （2）依题意，， ，，， 即， 即，当且仅当时，等号成立， 即，面积的最大值为. ] 5. （2024年鲁J40临沂二模）15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求C；（[endnoteRef:6]） (2)若点D在线段AB上，且，求的最大值. （基本不等式最值分析，中下；） [6: 15．(1) (2) 【分析】（1）利用，结合和差公式化简，再利用正弦定理边化角可解； （2）根据平面向量线性运算可得，两边平方，然后利用重要不等式即可得解. 【详解】（1）由得 ， ∴， 即， 由正弦定理边化角得， 因为， 所以，∴， 又∵，∴. （2）∵D点在线段AB上，且， ，∴， ∴ ， 当且仅当时，等号成立． ∴． 即的最大值为． ] 6. （2024年鲁J36济南名校联盟）15．如图，在平面四边形ABCD中，，，，. (1)若，，求的大小；（[endnoteRef:7]） (2)若求四边形ABCD面积的最大值. （三角函数最值分析，基础；） [7: 15．(1) (2) 【分析】（1）在中，利用余弦定理可得，由等腰三角形可得，然后在中利用正弦定理即可求解； （2）利用勾股定理求得，然后四边形面积分成即可求解. 【详解】（1）在中，，，所以， 由余弦定理可得，，即， 又，所以， 在中，由正弦定理可得，得， 因为，所以，所以. （2）在中，，所以， 所以，四边形ABCD的面积 ， 当时，，即四边形ABCD面积的最大值为. ] 7. （2024年湘J47长沙雅礼二模）15．在中，已知，外接圆半径. （1）求角的大小；（[endnoteRef:8]） （2）试求面积的最大值. （基本不等式最值分析，基础；） [8: 15．（1）（2） 【分析】（1）利用二倍角公式得到关于的方程，解出，进而得到；（2）根据正弦定理求得，根据余弦定理，结合基本不等式可得，代入三角形面积公式求得面积的最大值. 【详解】（1）由得： 即 解得：或（舍）     （2）由正弦定理得： 由余弦定理得 当且仅当时，取得最大值 ，即面积的最大值为 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积的最值问题，关键是能够利用余弦定理构造出基本不等式的形式，从而得到积的最大值. ] 8. （2024年冀J19张家口一模）15. 已知在四边形中，为锐角三角形，对角线与相交于点，． （1）求；（[endnoteRef:9]） （2）求四边形面积的最大值． （三角函数最值分析，中下；） [9: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理解出边长即可，注意判断为锐角三角形； （2）作垂直于，表示出四边形的面积等于两三角形面积和，再由正弦函数的最值求出面积的最大值. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 化简为，解得或， 当时，因为，与为锐角三角形不符合，故. 【小问2详解】 作垂直于，设， 则，当，四边形面积最大，最大面积为. ] 9. （2024年粤J33珠海一中预测）17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求c的值；（[endnoteRef:10]） （2）若，求面积的最大值． （三角函数最值分析，中下；） [10: 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据，利用正弦定理余弦定理，角化边即可求解. （2）利用正弦定理得到，则，利用三角函数的性质求得其最大值，然后代入三角形面积公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 解得； （2）因为 所以由正弦定理得， ∴ ． ，， 当即时，取最大值为3． ∴， 所以面积的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是结合（1）和，利用正弦定理得到，进而转化为求解， ] 10. （2024年粤J43茂名一模）17. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知. （1）求的值；（[endnoteRef:11]） （2）若为的中点，且，求的最小值. （基本不等式最值分析，中下；） [11: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角以及利用两角和的正弦公式化简，可得的值，即可求得答案. （2）由题意可得，平方后结合数量积的运算以及基本不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得， 又， 所以， 又，∴，∴，即， 又，∴. 小问2详解】 由为的中点，得，而， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以最小值为. ] 11. （2024年粤J27深圳一调）17. 在中，角所对的边分别为. （1）求；（[endnoteRef:12]） （2）若边上的中线长为1，求面积的最大值. （基本不等式最值分析，中下；） [12: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正余弦定理化简条件中的等式，可得； （2）边上的中线为，由向量关系：，两边平方利用向量数量积的运算和基本不等式，求出的最大值，可计算面积的最大值. 【小问1详解】 由正余弦定理得， 又，可得，即. 【小问2详解】 设边上的中线为，，由（1）知， 再由向量关系：，两边平方得， 即，则有，得（当且仅当时取等号）, 即面积的最大值为. ] 12. （2024年鄂J03武汉二联）17. 在中，角，，的对边分别为，，，若，边的中线长为2． （1）求角；（[endnoteRef:13]） （2）求边最小值． （基本不等式最值分析，中下；） [13: 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系，和角正弦公式及三角形内角和性质，即可求角； （2）由题设，应用数量积的运算律、基本不等式求得，再应用余弦定理求边的最小值． 【小问1详解】 因为，所以， 则，故， 因为，，，所以，又，所以． 【小问2详解】 因为边的中线长为2，所以，两侧平方可得， 即，解得，当且仅当时取等号． 所以，可得， 所以的最小值为． ] 13. （2024年湘J02邵阳一联）18. 在中，内角满足. （1）求角的大小；（[endnoteRef:14]） （2）若，求的最大值. （基本不等式最值分析，中下；） [14: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式求解； （2）根据向量的加法法则将转化为，然后结合换元法和基本不等式求解； 【小问1详解】 由已知 . . 【小问2详解】 . 又， . 令， . 当且仅当取等号. 的最大值为. ] 14. （2024年鄂J04名校联盟）18. 在中，已知，D为的中点. （1）求A；（[endnoteRef:15]） （2）当时，求的最大值. （基本不等式最值分析，中下；） [15: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两角和差及诱导公式结条件计算即可； （2）应用余弦定理结合基本不等式即可得出最大值. 【小问1详解】 ， ， 即， ，即. 或， 当时，， 由，有，即时. 当时，（舍）. . 【小问2详解】 设，， 由（1）及余弦定理有，即. ，即，当且仅当时等号成立. 由D为边的中点有， ， 当且仅当时等号成立. ，当且仅当时等号成立. 的最大值为. ] 15. （2024年闽J02厦门二检）16. 定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形.如图，的面积为，三个内角所对的边分别为，且. （1）证明：是倍角三角形；（[endnoteRef:16]） （2）若，当取最大值时，求.（涉后导数） （导数最值分析，中档；） [16: 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形面积公式化简条件，结合余弦定理及正弦定理进一步化简即可证明； （2）由正弦定理结合题中条件得到，结合三角形面积公式化为关于的表达式，构造函数，利用导数求得最大值即可. 【小问1详解】 因为， 又,所以， 则， 又由余弦定理知，， 故可得， 由正弦定理，, 又, 代入上式可得, 即， ， 则有, 故是倍角三角形. 【小问2详解】 因为，所以, 故，则，又， 又，则, 则 , 设，， 则 令得或者（舍）， 且当时，， 当时，， 则在上单调递增， 在上单调递减， 故当时，取最大值， 此时也取最大值， 故为所求. ] 16. （2024年粤J04顺德二检）20. 在中，角所对的边分别为，其中，． （1）求角的大小；（[endnoteRef:17]） （2）如图，为外一点，，，求最大值． （基本不等式最值分析，中下；） [17: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由正弦定理将边化为角，可得角的方程，化简计算，即可得到结果； （2）根据题意，由正弦定理可得，再由余弦定理分别得到，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以， 由正弦定理，可得， 整理可得， 又因， 化简可得， 而，则，又，则 【小问2详解】 在中，由可得， 在中，由可得， 所以， 设， 由余弦定理， ， 可得，， 因此， 当且仅当时，即等号成立， 所以的最大值为，此时. ] 17. （2024年粤J02佛山一中一模）17. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求；([endnoteRef:18]) （2）若外接圆的半径为，求的面积最大值． （基本不等式最值分析，基础；） [18: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换计算即可． （2）利用正余弦定理、三角形面积公式及基本不等式计算即可. 【小问1详解】 由已知可得：， ∴， ∴， 根据正弦定理可知：， ∴． 又． 【小问2详解】 ∵外接圆的半径为， ∴，解得． 又由（1）得， 故，∴，当且仅当时等号成立 ∴， ∴的面积最大值为． ] 18. （2024年浙J04温州一适）18. 设的三个内角，，所对的边分别为，，，且. （1）若，求的最小值；（[endnoteRef:19]） （2）求的值. （基本不等式最值分析，中下；） [19: 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）首先应用余弦定理得， 然后方法1：使用均值不等式求解的最小值； 方法2：利用已知条件，将转化成关于的二次函数，进而求解最小值. （2）方法1：利用三角形内角和为，得：，将其代入原式中利用和差角公式即可化简求值； 方法2：将，代入原式，然后利用和差角公式即可化简求值； 【小问1详解】 由余弦定理知， 方法1： 所以，当时取等，此时为正三角形. 故的最小值为. 方法2： 所以，当时取等. 故的最小值为. 【小问2详解】 方法1：因为. 所以原式 方法2：因为， 原式 综上所述：. ] 解三角形 - 大题（范围分析）： 19. （2024年粤J03佛山一中二调）17. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且． （1）求角B的大小；（[endnoteRef:20]） （2）若为锐角三角形，求的值域． （三角函数范围分析，中下；） [20: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行得到，结合正弦定理化简得到，进而根据余弦定理求得即可得到答案； （2）根据化简函数，得到原函数即为，结合锐角三角形得到进而即可得到答案. 【小问1详解】 因，，且， 所以， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以，化简得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，所以，则 即的值域为 ] 20. （2024年浙J01湖州一中模拟）16. 在锐角中，设边所对的角分别为，且． （1）证明：（[endnoteRef:21]） （2）若，求的取值范围． （对勾函数范围分析，中下；） [21: 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）余弦定理结合已知消元，然后利用正弦定理边化角，利用内角和定理消去角C，用和差公式化简后，利用正弦函数单调性可得； （2）利用正弦定理将目标式转化为关于角B的三角函数，根据锐角三角形定义求角B范围，然后使用换元法，借助对勾函数性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得， 又，所以， 所以， 整理得，所以， 因为为锐角三角形，所以， 所以，所以， 因为函数在上单调递增， 所以，即. 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，所以由正弦定理可得，，即， 因为，所以， 又，所以，即， 所以， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则. 记，则， 由对勾函数可知，在上单调递增， 所以，即的取值范围为 ] 21. （2024年粤J47湛江一模）15. 已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求A；（[endnoteRef:22]） （2）若外接圆的直径为，求的取值范围． （三角函数范围分析，中下；） [22: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由两角和与差的余弦公式、正弦定理化简已知式即可得出答案； （2）由正弦定理可得，由两角差的正弦公式和辅助角公式可得，再由三角函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由可得：，所以， 所以， ， ，由正弦定理可得， 因为，所以，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得， 所以， 故， 又，所以， 所以 ，又，所以， 所以，所以的取值范围为. ] 22. （2024年粤J21中附一调）17. 已知为锐角三角形，角的对边分别为，且. （1）求角的大小；([endnoteRef:23]) （2）若，求的取值范围. （三角函数范围分析，中下；） [23: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理化简原式得到，结合即可得到答案； （2）根据正弦定理和辅助角公式化简，结合与三角函数值域相关知识求解答案即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得，， 所以， 所以， 又因为为锐角三角形，所以，所以. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 所以，则， 所以的取值范围为. ] 23. （2024年湘J45长沙一中一模）17．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知， (1)求角A.（[endnoteRef:24]） (2)若，所在平面内有一点D满足，且BC平分，求面积的取值范围.（涉后导数） （导数范围分析，中档；） [24: 17．(1) (2) 【分析】（1）由两角和的正切公式结合题意化简得，即可得解； （2）设，由正弦定理把边化成角，再用三角形面积公式得，结合导数求解即可. 【详解】（1）由题， 即，即， 所以，即，所以， 又，所以. （2）由题（1）知，又，设， 由中，，故，则， 由正弦定理有，，则， 故面积， 令， 则， 又，所以，知函数在上单调递增， 又，，故面积的取值范围为. ] 24. （2024年冀J11衡水一模）15. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且. （1）求角；（[endnoteRef:25]） （2）求的取值范围. （三角函数范围分析，中下；） [25: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可； （2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 由正弦定理得，， ， ， ，， 由，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， ， ，, ， ，，， 所以的取值范围为. ] 25. （2024年冀J10承德二模）15. 已知函数的最小正周期为. （1）求在上的单调递增区间；（[endnoteRef:26]） （2）在锐角三角形中，内角的对边分别为且求的取值范围. （三角函数范围分析，基础；） [26: 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，根据周期求得的值，从而得到函数的解析式，整体代入法求解单调区间即可； （2）利用正弦定理即两角和的正弦公式化简条件，从而求得继而得到整体代入求函数值的范围即可. 【小问1详解】 . 因为所以 故. 由 解得 当时又 所以在上的单调递增区间为. 【小问2详解】 由 得（ 所以. 因为所以 又所以 又三角形为锐角三角形，则，则，所以， 又，， 则， 所以的取值范围为. ] 26. （2024年鲁J38济宁三模）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，已知. (1)求证:；（[endnoteRef:27]） (2)若，求面积的取值范围. （三角函数范围分析，中下；） [27: 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、二倍角的余弦公式化简计算可得，结合诱导公式计算即可证明； （2）由（1）得且，根据正弦定理、三角形的面积公式和三角恒等变换化简可得，结合正切函数的性质即可求解. 【详解】（1）， ， ，又， 则， ， ，即， 又，所以，即， 又，所以； （2）由（1）知，，得， 由，得，由正弦定理得， 得， 所以， 又，所以，又在上单调递增， 则，所以， 即的面积我取值范围为. ] 27. （2024年湘J38怀化二模）16．在中，角，，所对的边分别为，，，满足. （Ⅰ）求角的大小；([endnoteRef:28]) （Ⅱ）若，求的取值范围. （基本不等式范围分析，中下；） [28: 16．（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【分析】（I）根据正弦定理转化条件为， 再由，带入整理即可得解； （Ⅱ）利用余弦定理，再结合基本不等式即可得解. 【详解】（Ⅰ）由 得：， ∴ ∴ 所以， ∴，∵，∴. （Ⅱ）∵，， ∴ （当且仅时取等号） 又， ∴. ] 28. （2024年粤J124广州天河三模）15．在锐角中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求A；（[endnoteRef:29]） (2)若D是边上一点（不包括端点），且，求的取值范围． （三角函数范围分析，中下；） [29: 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角形的内角和定理，化简得到，进而求得，即可求解. （2）设，在中，利用正弦定理，化简得到，根据题意，结合正切函数的性质，即可求解. 【详解】（1），， 又，可得， ， ，又，， 可得，所以，解得或， ，所以，即. （2）设，则， ，， 在中，由正弦定理得， 因为为锐角三角形，所以且，则， 所以，可得，所以，所以. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$