2024年全国一卷数学新高考题型细分2-6-2——解三角形大题3 中下

2024年全国一卷新高考题型细分2-6 ——解三角形——大题3 中下 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《解三角形——大题》主要分类有：正余面公式，角度计算 ，其他基础，中线，角平分线，其他中下，三角函数最值分析，基本不等式最值分析，导数范围分析等，大概75道题。 解三角形——大题3中下（角平分线）： 1. （2024年鲁J07淄博一模）15. 如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，. （1）若，求△ABC的面积;（[endnoteRef:2]） （2）若，求BP的长. （角平分线，等面积法，中下；） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案； （2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可. 【小问1详解】 中，设角A、B、C的对边分别为、、， 在中由余弦定理得， 即① 因，即， 整理得② ①②解得， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以在中由余弦定理可得， 所以 解得， 由正弦定理得， 即，解得， 所以， 中由正弦定理得，则， 解得， 所以. ] 2. （2024年湘J34长郡二适）15. 已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中. （1）求A；（[endnoteRef:3]） （2）已知直线为的平分线，且与BC交于点M，若求的周长. （角平分线，等面积法，中下；） [3: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边角变换，结合三角函数的和差公式即可得解； （2）利用三角形面积公式与余弦定理得到关于的方程组，结合整体法即可得解. 【小问1详解】 根据题意可得， 由正弦定理得， 又， 故， 又，所以，则， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以， 又平分，所以， 所以， 则，即 由余弦定理得，即， 所以，解得（负值舍去）， 故的周长为. ] 3. （2024年湘J22一起考二模）15. 在中，角的对边分别是，且． （1）求；（[endnoteRef:4]） （2）若的角平分线交于点，且，求的周长． （角平分线，等面积法，中下；） [4: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角，得到，再利用辅助角公式，得到，即可求出结果； （2）根据条件，利用，得到，且有，联立解出，即可求出结果. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理可化简得， 又， 所以， 化简得到， 又在中，，所以，得到， 即，所以，即， 又，所以，得，即 【小问2详解】 由（1）知，又的角平分线交于点，且， 所以，得到 整理得到①， 又在中，，得到②， 联立①②解得 所以的周长为. ] 4. （2024年浙J02嘉兴一中一模）18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，. （1）求角A；（[endnoteRef:5]） （2）作角A的平分线与交于点，且，求. （角平分线，等面积法，中下；） [5: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简后利用正切值求角即得； （2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得，再运用余弦定理解方程即得. 【小问1详解】 因，由正弦定理可得：， 即. 因，故，则有，即， 因，故. 【小问2详解】 因为为角平分线，所以， 所以. 因，，，则， 即，所以. 又由余弦定理可得：， 把，分别代入化简得：， 解得：或（舍去），所以. ] 解三角形——大题3中下（其他）： 5. （2024年粤J100佛山禅城二调）17. 在中，，，分别是角，，所对的边，点在边上，且满足，． （1）求的值；（[endnoteRef:6]） （2）若，求． （角度计算，中下；） [6: 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理的边角变换得到，再利用三角恒等变换得到，从而利用余弦定理列出关系式即可得解. （2）在中，确定三边的长度关系，利用余弦定理可求，再利用同角三角函数的关系求. 【小问1详解】 如图，在中，由正弦定理知， 所以，所以， 因为，所以，则①， 由， 则， 因为，所以，则， 在中，由余弦定理知，则②， 由①②得，． 【小问2详解】 因为，所以，， 在中，由余弦定理知 同理在中，， 因为，所以， 则， 由（1）知，，所以， 在中，由余弦定理知 ， 所以． ] 6. （2024年鲁J43日照二模）15．的内角的对边分别为．分别以为边长的正三角形的面积依次为，且． (1)求角；（[endnoteRef:7]） (2)若，，求． （角度计算，中下；） [7: 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，化简得到，利用余弦定理求得，即可求解； （2）设，在和中，利用正弦定理化简得到，结合三角函数基本关系式，联立方程组，求得的值. 【详解】（1）解：由分别以为边长的正三角形的面积依次为， 则，可得， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）解：设（其中为锐角）， 在和中，由正弦定理可得且， 于是， 又因为，所以， 化简得， 根据同角三角函数的基本关系式，可得， 因为，联立方程组，解得，即. ] 7. （2024年鲁J24枣庄三月考）15. 在中，角的对边分别为，且． （1）求；（[endnoteRef:8]） （2）若是边上的高，且，求． （向量，中下；） [8: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理边化角，再切化弦由倍角公式化简，得，可求的值. （2）以为基底，由，代入数据运算得的关系；或利用余弦定理和勾股定理，求出，由平面向量基本定理求的值. 【小问1详解】 中，，由正弦定理和同角三角函数的商数关系， 得，由倍角公式得． 又因为为的内角，所以，， 所以． 所以，， 则有，得． 【小问2详解】 方法一 ：，，， 所以， 由题意知，所以， 即． 所以，所以． 方法二 ：中，由余弦定理得， 所以． 又因为， 所以． 所以，． 所以． 由平面向量基本定理知，， 所以． ] 8. （2024年浙J12金华一中模拟）15. 在中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积为，点D是线段上靠近点B的一个三等分点，． （1）若，求c；（[endnoteRef:9]） （2）若，求的值． （中下；） [9: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由得，再结合余弦定理从而可求解. （2）由利用向量可得，并结合得，再由，从而可求解. 【小问1详解】 由题可得：，故 又，即， ，即 在中，根据余弦定理得 即 ，即， 【小问2详解】 ， ，即 又，① 又②，由①②得： ] 9. （2024年冀J04石家庄二中一模）18. 已知中，角所对的边分别为. （1）求；（[endnoteRef:10]） （2）设是边上的点，且满足，求内切圆的半径. （中下；） [10: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式求解结果； （2）在中根据余弦定理得出关于边长的一个关系，再由两边平方得出另一个方程，联立解出边长，再由的面积与内切圆半径的关系求得结果. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， 又， 所以， 因为，所以， 因为，所以. 【小问2详解】 如图所示： 在中根据余弦定理得，即，① 又因为，所以，因为，所以， 将两边平方并整理得，② 联立①②得到，所以，， 所以，. 所以的面积为. 设其内切圆半径为，则，解得， 所以内切圆的半径为. ] 10. （2024年粤J15华附一调）17. 如图，在中，，点是边上一点，且， （1）求的面积；（[endnoteRef:11]） （2）求线段的长. （中下；） [11: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据求解即可； （2）解法1：在中根据余弦定理求出，结合等腰三角形的性质求，在中勾股定理求即可； 解法2：由求得. 【小问1详解】 ， 而 . 【小问2详解】 解法1：， ， 在中，， 在等腰中，， Rt中，， . 解法2：， 由得， , 即， 解得. ] 11. （2024年浙J39绍兴上虞调测）17．在三角形中，内角对应边分别为且. (1)求的大小；（[endnoteRef:12]） (2)如图所示，为外一点，，，，，求及的面积. （中下；） [12: 17．(1) (2)， 【分析】（1）利用正弦定理边化角可得，根据式子特点，变换，从而可以化简三角恒等式为，最后利用辅助角公式求出； （2）设，可知用表示，，利用正弦定理可得公共边的式子，最后可得一个关于角的三角方程求解出角的大小，然后求出求出和，最后利用面积公式即可求出面积. 【详解】（1），由正弦定理边化角得： ，由三角形内角和为可得：， 即， 即， 又， 即，又，，即. （2）设，在中，， ，， ， 在中，，，， ， 即， ， ，又， ，解得， ， 又由 ， 于是. ] 12. （2024年粤J137梅州二模）16．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，， (1)求A的大小： (2)点D在BC上， （Ⅰ）当，且时，求AC的长；（[endnoteRef:13]） （Ⅱ）当，且时，求的面积． （中下；） [13: 16．(1) (2)； 【分析】（1）利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得的值，结合即可求解的值； （2）（Ⅰ）根据锐角三角函数和差角公式可得正弦定理即可求解. （Ⅱ）采用面积分割的方法以及正弦定理即可解决． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得， 又， 所以， 因为为三角形内角，， 所以，可得， 因为，所以； （2）（Ⅰ）此时，， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得； （Ⅱ）设，由， 可得，化简可得 有， 由于，所以， 所以， 则． ] 13. （2024年来源不明）在中，角，，所对的边长分别为，，，且满足. （1）证明：； （2）如图，点在线段的延长线上，且，，当点运动时，探究是否为定值？（[endnoteRef:14]） （综合，中下；） [14: 【答案】（1）证明见解析 （2）为定值. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理的边角变换即可得证； （2）利用诱导公式与余弦定理，结合（1）中结论化得，从而得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 再由余弦定得得，整理得. 【小问2详解】 因为互补，所以， 结合余弦定理可得， 因为，，则， 整理得，又， 则， 从而，故为定值. ] 14. （2024年湘J27长沙一中适应）16. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：（[endnoteRef:15]） 已知的内角，，所对的边分别为，，，且 （1）求； （2）若，设点为的费马点，求. （向量，中档；） [15: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案； （2）利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案. 【小问1详解】 由已知中， 即， 故，由正弦定理可得， 故直角三角形，即. 【小问2详解】 由（1），所以三角形的三个角都小于， 则由费马点定义可知：， 设，，，由 得：，整理得， 则 ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$