2024年全国一卷数学新高考题型细分2-6-2——解三角形大题2 基础

2024年全国一卷新高考题型细分2-6 ——解三角形——大题2 基础 1、 试卷主要是2024年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计202套。其中全国高考真题4套，广东47套，山东22套，江苏18套，浙江27套，福建15套，河北23套，湖北19套，湖南27套。 2、 题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。 3、 题型纯粹按照个人经验进行分类，没有固定的标准。 4、 《解三角形——大题》主要分类有：正余面公式，角度计算 ，其他基础，中线，角平分线，其他中下，三角函数最值分析，基本不等式最值分析，导数范围分析等，大概75道题。 解三角形——大题2基础（中线）： 1. （2024年鲁J01滨州一模）15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求；([endnoteRef:2]) （2）若，，为的中点，求． （中线，基础；） [2: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解； （2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 在中，， 则有， ， ，又，， ，，又，； 【小问2详解】 根据余弦定理有， 则有，解得或（舍去）， 为的中点，则， ， ． ] 2. （2024年鲁J06潍坊一模）15. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求；（[endnoteRef:3]） （2）若，，为的中点，求． （中线，基础；） [3: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式得到，即可得解； （2）由余弦定理求出，再由，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 在中，， 则有， ， ，又，， ，，又，； 【小问2详解】 根据余弦定理有， 则有，解得或（舍去）， 为的中点，则， ， ． ] 3. （2024年浙J06金丽衢一联）17. 在中，内角所对的边分别是，已知． （1）求角；（[endnoteRef:4]） （2）设边的中点为，若，且的面积为，求的长． （中线，基础；） [4: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到，再结合余弦定理即可求出角； （2）根据三角形面积公式得到和，再结合中线向量公式计算即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得，， 因为，所以， 化简得，， 在中，由余弦定理得，， 又因为，所以 【小问2详解】 由，得， 由，得，所以． 又因为边的中点为，所以， 所以 ] 4. （2024年粤J35中山一中二调）18. 在中，角的对边分别为， （1）求；（[endnoteRef:5]） （2）设边的中线，且，求的面积． （中线，基础；） [5: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和的正弦公式化简即可得解； （2）在和中，分别利用余弦定理结合，求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因， 所以， 所以， 又，所以， 所以，即，所以， 因为，所以， 所以，所以； 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， ，即， 在中，由余弦定理得， ， 因为，所以， 则，所以， 则， 所以， 故，解得或（舍去）， 所以的面积． ] 5. （2024年浙J05名校二联考）19. 在中，角所对的边分别为，. （1）求的值；（[endnoteRef:6]） （2）若，点是的中点，且，求的面积. （中线，基础；） [6: 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和二倍角的余弦公式得； （2）根据同角三角函数关系求出，再利用余弦定理求出值，最后利用三角形面积公式即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， ，则，， 不等于0，. 【小问2详解】 ，，所以， 联立，， 在中，由余弦定理得：① 在中，由余弦定理得：② 由①②式得： 故， . ] 6. （2024年闽J22厦门三检）15．在中，角的对边分别是，且． (1)求；（[endnoteRef:7]） (2)若面积为，求边上中线的长． （中线，基础；） [7: 15．(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理边化角即可得到角； （2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案． 【详解】（1），由正弦定理边化角得， ，， 或（舍）， 又，； （2），，，， ，即，解得， 由正弦定理， 得， 设边的中点为，连接，如下图： ，即， 即， 解得． ] 7. （2024年闽J12福州三检）15．（13分）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，． （1）求B；（[endnoteRef:8]） （2）若面积为，求BC边上中线的长． （中线，基础；） [8: 15．（13分） 解：（1）∵，∴由正弦定理，得， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∵，且，∴． （2）依题意，∵，∴， ∴，解得， 设边BC的中点为D，∴，， ∴在中，由余弦定理知 ，∴BC边上中线的长为． ] 8. （2024年苏J34航附二模）15．记的内角的对边分别为，已知． (1)求角；（[endnoteRef:9]） (2)若，点为的重心，且，求的面积． （中线，基础；） [9: 15．(1) (2) 【分析】（1）根据正余弦定理边角互化即可求解;（2）根据重心的性质可得，进而根据余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】（1）因为，由正弦定理可得， 整理得，由余弦定理可得． 又因为，所以． （2）设的延长线交于点，因为点为的重心，所以点为中点， 又因为，所以． 在中，由和，可得． 在和中，有， 由余弦定理可得 故，所以， 所以的面积为． ] 9. （2024年鄂J25武汉洪山二模）15．在中，已知. (1)求证：；（[endnoteRef:10]） (2)若D为AB的中点，且，，求的面积. （中线，基础；） [10: 15．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由，利用两角和与差的正弦函数化简求解； （2）由D为AB的中点，得到，再两边平方得到CA，CB的一个关系式，由，利用余弦定理得到再得到得到CA，CB的一个关系式，然后利用（1）的结论求解. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 因为，所以； （2）因为D为AB的中点，且，， 所以， 两边平方得， ， 即， 又， 即， 由（1）知， 解得，又，且， 所以，则. ] 10. （2024年冀J30保定二模）15．在中，角的对边分别为，已知. (1)求；（[endnoteRef:11]） (2)若为边的中点，求的长. （中线，基础；） [11: 15．(1) (2)． 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式求解； （2）根据余弦定理求出边，再根据向量运算求. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理，得， 化简得，因为，所以， 因为，所以. （2）在中，由余弦定理得， 所以，解得． 因为为的中线，所以， 所以， 因为，所以，解得.    ] 解三角形——大题2基础（角度计算）： 11. （2024年鲁J30泰安二模）16．已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)求；（[endnoteRef:12]） (2)若，求的值. （角度计算，基础；） [12: 16．(1) (2) 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求角； （2）法一，根据两角和的正弦公式和正弦定理化简已知，可得，再结合余弦定理求解；法二：利用余弦定理化简已知得，再结合余弦定理求解. 【详解】（1），， ， ，， ，； （2）， 法一：， ， ， 根据正弦定理得， 由余弦定理得   ① 将代入①式，得， ，； 法二：由正弦定理、余弦定理可得， ， ， 由余弦定理得  ① 将代入①式，得， ，. ] 12. （2024年浙J31五校联考）15．在中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，，是等差数列． (1)若a，b，c是等比数列，求；（[endnoteRef:13]） (2)若，求．（涉后数列） （角度计算，基础；） [13: 15．(1) (2) 【分析】（1）运用等差数列和等比数列的中项性质，结合同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，化简求得； （2）由（1）得，再借助角的值，以及两角和与差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为a，b，c是等比数列，所以，有， 因为，，是等差数列，所以. 故. 所以． （2）由（1）的过程可知，若，则. 又由，得， 故． ] 13. （2024年湘J48长沙长郡四适）15．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． (1)求A；([endnoteRef:14]) (2)若，点D在边BC上，，求AD． （角度计算，基础；） [14: 15．(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求解作答. （2）利用（1）的结论，结合同角公式及和角的余弦公式求出三角函数值，再利用正弦定理求解作答. 【详解】（1）在中，由，得：，由余弦定理得， 即，整理得，由余弦定理得， ，而， 所以. （2）因为，即，而，则，， 所以， 又，则，显然是锐角三角形， 由， 所以， 所以在中， ] 14. （2024年湘J07株洲一检）17. 在中，，点D在AB边上，且为锐角，，的面积为4. （1）求的值；（[endnoteRef:15]） （2）若，求边AC的长. （角度计算，基础；） [15: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助面积公式表示出面积即可计算得，借助同角三角函数基本关系即可得； （2）由余弦定理可计算出，由勾股定理的逆定理可得，结合计算即可得边AC的长. 【小问1详解】 ， 故，又为锐角， 故； 【小问2详解】 ，故， 有，故， 则，即. ] 15. （2024年苏J02前黄一模）15. 如图，在梯形中，，，. （1）若，求的长；([endnoteRef:16]) （2）若，求. （角度计算，基础；） [16: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行求解即可； （2）利用余弦定理进行求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 则. 【小问2详解】 因为，所以. 由余弦定理得， 则， 所以. ] 16. （2024年鲁J23泰安新泰一中）15. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求a的值：([endnoteRef:17]) （2）求证：； （3）的值 （角度计算，基础；） [17: 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件结合余弦定理求解； （2）由可得，利用正弦定理结合，得证； （3）由（1）可求得，根据二倍角公式求得，再利用两角差的余弦公式求得结果；或由余弦定理求得，结合，利用两角差的余弦公式运算得解. 【小问1详解】 由及余弦定理，得， 因为，所以. 【小问2详解】 由及，得， 由正弦定理得， 因为，所以或. 若，则，与题设矛盾，因此. 【小问3详解】 由（Ⅰ）得，因为， 所以， 所以， 所以 . 另解：因为， 所以 . ] 17. （2024年鄂J15十一校二联考）15. 在平面四边形中，，，． （1）求的值；（[endnoteRef:18]） （2）若，求的长． （角度计算，基础；） [18: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用余弦定理，即可求出结果； （2）根据（1）中结果及条件，求得，，再利用正弦定理即可求出结果. 小问1详解】 在中，由余弦定理可得：， 又，，，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 又，所以， 所以 ， 又，所以， 在中，由正弦定理可得：，得到， 所以. ] 18. （2024年粤J112广州综合）15. 记的内角，，的对边分别为，，，的面积为.已知. （1）求；([endnoteRef:19]) （2）若点在边上，且，，求的周长. （角度计算，基础；） [19: 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式和余弦定理，化简已知条件，结合的范围，即可求得结果； （2）利用平面向量的线性运算及数量积运算，求得，即可求得三角形周长. 【小问1详解】 由，则， 又，故. 【小问2详解】 由（1）可知，，又，则； 由题可知，， 故， 所以， 因为，所以，， 在中，， 故的周长为. ] 解三角形——大题1基础（其他）： 19. （2024年粤J14华附二调）18. 在中，内角对边分别为，向量，且． （1）求；([endnoteRef:20]) （2）若的外接圆半径为2，且，求的面积． （基础；） [20: 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意表示出，利用正弦定理将角化边，借助余弦定理化简即可; （2）结合第（1）问及余弦和角公式，得到，利用正弦定理化简得，求出的面积即可. 【小问1详解】 由已知，即， 由正弦定理得，即， 整理得，即， 又，故； 【小问2详解】 因为，所以，则， 即，又，所以． 因为的外接圆半径， 所以由正弦定理可得，所以， 所以． ] 20. （2024年浙J09温州中学一模）17. 在中，内角的对边分别为，，，且，，. （1）求角及边的值；（[endnoteRef:21]） （2）求的值. （基础；） [21: 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理得到，求出，由正弦定理得到； （2）由二倍角公式求出，由差角公式求出答案. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，，所以， 由正弦定理得，即，解得； 【小问2详解】 由（1）得， ， ] 21. （2024年冀J03冀州一调）17. 已知在中. 所对的边分别为,若，的面积为. (1)求角的大小;([endnoteRef:22]) (2)若,求的值. （基础；） [22: 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】(1)由三角形的面积为得到，由余弦定理以及得到，进而可求出，得到角； (2)由(1)的结果，先求出，根据，即可求出，再由正弦定理可得，即可求出结果. 【详解】（1）由的面积为可得 ， 由及余弦定理可得， 故; (2)∵ 又，可得 由正弦定理，,得 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型. ] 22. （2024年鄂J02八市联考）15. 在中，已知． （1）求的大小；([endnoteRef:23]) （2）若，求函数在上的单调递增区间． （基础；） [23: 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及三角函数的特殊值对应特殊角即可求解； （2）利用大边对大角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及三角函数的性质即可求解. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得： ，即，解得， 又，故或． 【小问2详解】 由，可得，故. , 令,解得. 由于，取，得；取，得；取，得， 故在上的单调递增区间为． ] 23. （2024年粤J127汕头二模）15．中，内角、、的对边分别为、、. (1)若，，求的值； (2)求证：.（[endnoteRef:24]） （基础；） [24: 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明. 【详解】（1）因为， 所以， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得， 所以， 整理可得，所以. （2）证明：， 由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 所以. ] 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$