精品解析： 河南省南阳市第二中学校2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题

2022-2023学年（下）高一年级期中考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数的有界性得到，利用交集概念求出交集. 【详解】， 故. 故选：B 2. 圆环被同圆心的扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形面积公式计算即可得解. 【详解】由扇形面积公式（其中为扇形弧长，为扇形圆心角，为扇形半径）可得，扇环面积. 故选：A 3. 在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质及余弦定理可判断为钝角，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，由，可知， 所以为钝角三角形， 故选：B 4. 已知平面向量与垂直，则的值是（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算求解求参即可． 【详解】由题知，即，解得． 故选:B. 5. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合余弦函数的性质，列出不等式，即可求解. 详解】由，可得， 要使得函数在区间上单调递减， 则满足且，解得，即的取值范围是. 故选：D. 6. ，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数在各象限的符号及二倍角的正弦公式，利用作差法比较可得解. 【详解】因为， 所以，，，， 又，所以， 综上可知，. 故选：A 7. 如图，在中，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形由向量的线性运算可得. 【详解】因为， 所以，， 又因为， 所以， 所以， 故选：C. 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在区间上有两个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的图象变换，求得，把方程在区间上有两个不同的根，转化为与的图象有两个交点，结合图象，即可求解. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得， 再将得到的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍，可得， 由，可得， 当时，即时，可得； 当时，即时，可得； 当时，即时，可得， 若方程在区间上有两个不同的根， 即函数与的图象有两个交点，如图所示， 可得，即实数的取值范围为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 的值可能为（ ） A B. C. 1 D. 3 【答案】BD 【解析】 【分析】根据角所在的象限分类讨论即可. 【详解】因为， 所以且， 若在第一象限，则，故原式， 若在第二象限，则，原式， 若在第三象限，则，原式， 若在第四象限，则，原式 故选：BD 10. 已知向量，，则（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标为 B. 当时，与的夹角为锐角 C. 当时，、可作为平面内的一组基底 D. 当时，在方向上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据与方向相同的单位向量为可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出、不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A，与方向相同的单位向量为，故A错误； 对于B，当时，，，， 所以，与的夹角为锐角，故B正确； 对于C，当时，，，则，则与不平行， 、可作为平面内的一组基底，故C正确； 对于D，设与的夹角为，则在方向的投影向量为， 当时，，，，， 所以，故D错误． 故选：BC. 11. 关于函数有如下四个命题，其中正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于点对称 C. 的最小值为2 D. 在区间上单调递减 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的奇偶性可判断A，根据是否恒成立判断B，利用换元法及对勾函数的单调性判断C，由特例判断D. 【详解】对A,因为，定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为偶函数，故图象关于轴对称，故A正确； 对B,因为 ， 所以函数不关于点对称，故B错误； 对C,令，则在上单调递增，所以， 此时，，故C正确； 对D,因为，所以在区间上不单调递减，故D错误. 故选：AC 12. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则是直角三角形； C. 若是等腰三角形，则； D. 若，则的面积最大值为3. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正弦定理得，利用余弦定理求得，可判定A错误；由，得到，利用余弦定理求得，结合，可判定B正确；由是等腰三角形，得到，结合余弦定理，可判定C正确；利用余弦定理求得，得到，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】因为，由正弦定理得， 对于A中，由余弦定理得， 所以，所以A错误； 对于B中，由，因为，可得， 由余弦定理得， 所以，则，所以，所以是直角三角形，所以B正确； 对于C中，若是等腰三角形，显然， 当时，则有成立，此时不能构成三角形， 所以只能， 由余弦定理得， 在中，可得，所以C正确； 对于D中，由余弦定理得， 所以， 则， 当时，取得最大值，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，，，若，则实数_______． 【答案】 【解析】 【分析】平面向量线性运算用坐标表示，再由向量共线的坐标运算求参数. 【详解】，，因为，所以，解得． 故答案为： 14. 已知为单位向量且夹角为，则与的夹角的余弦值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律及数量积的定义、向量夹角公式求解即可. 【详解】因为， ， 所以， 故答案为： 15. 已知锐角满足，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由方程求出，再由诱导公式化简后代入即可得解. 【详解】由可得，且为锐角， 解得或（舍去）， 所以， 故答案为：2 16. 已知函数的图象过点，且与轴有相邻的两个交点和．若且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出函数周期，再由周期公式求出，根据点代入求出，得出函数解析式后，由正切函数的性质解不等式即可得解. 【详解】因为图象与轴的两个相邻的交点坐标分别为， 所以，又因为，所以，解得. 因为函数图象过点和， 所以，又因为，所以，. 所以函数解析式为, 所以，即， 所以，即， 又，所以当时，，由此可知最小值为. 故答案为： 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 已知向量，，，． （1）若，求的值； （2）若与垂直，求的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算公式，在于向量的模的坐标表示列方程求的值； （2）利用向量垂直的坐标表示列方程求的值． 【小问1详解】 因为，， 所以，又， 所以， 即， 解得或． 【小问2详解】 因为，， 所以， 又与垂直，， 所以， 解得． 18. 已知函数． （1）分别写出下面表格中的值，并画出在上的大致图象； 0 0 0 0 （2）解不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据解析式求出，再由“五点法”得出函数图象； （2）根据诱导公式化简后，利用余弦函数性质解不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以由表格知时，，，， 故由“五点法”可得函数图象，如图， 【小问2详解】 由， 所以，可得， 所以不等式的解集为. 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的外接圆的半径为R，且，且． （1）求B； （2）若，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知等式由正弦定理化简，求出，再得角； （2）由余弦定理求，再由正弦定理求. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 整理得，即， 解得或（舍去）， 又因为，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得， 所以． 再由正弦定理可得，所以． 20. 已知函数图象的一个对称中心为点． （1）求的解析式和最小正周期； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，求得，求得，进而的函数的解析式和最小正周期； （2）先利用三角函数的性质，分别求得函数的值域为和的值域为，根据题意，转化为，列出不等式，即可求解. 小问1详解】 解：函数图象的一个对称中心为点， 则，可得，解得， 因为，所以，则， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 解：由，可得，所以， 即，即函数的值域为， 又由，可得，所以， 可得，所以函数的值域为， 因为对任意的，总存在，使得， 所以，可得或，可得， 即实数的取值范围. 21. 如图所示，在正方形ABCD中，，，，AF与DE交于点G，线BG的延长线交AD于点H． （1）求的值； （2）若，求实数μ的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基底表示，再利用数量积的运算律和定义求； （2）设，，根据向量线性运算利用表示 ，根据平面向量基本定理求，再表示，根据三点共线求. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 因为， ， 所以 ． 【小问2详解】 设， 因为，， 则所以， 设，又 则， 所以， 解得，， 所以， 所以， 又， 所以， 所以， 又三点共线，即共线， 所以， 所以. 22. 如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． （1）求角； （2）若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，联立方程组，求得，不妨设，可得，利用余弦定理，即可求解； （2）由，得到，求得，在直角中，求得，再在直角中，求得，求得，进而求得四边形的面积. 【小问1详解】 解：由，联立方程组，解得， 不妨设，可得 由余弦定理得， 因为，所以. 【小问2详解】 解：由，由（1）知，可得， 因为过作的垂线并延长到点，使四点共圆， 在直角中，可得，则， 因为，可得， 在直角中，可得，即， 所以， 所以， 所以四边形的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年（下）高一年级期中考试 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 圆环被同圆心扇形截得的一部分叫做扇环．如图所示，扇环的内圆弧的长为，外圆弧的长为，圆心角，则该扇环的面积为（ ） A B. C. D. 3. 在中，分别为内角的对边，如果，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上都有可能 4. 已知平面向量与垂直，则的值是（ ） A. B. C. 12 D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. ，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，设，则（ ） A B. C. D. 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象，若方程在区间上有两个不同的根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 的值可能为（ ） A. B. C. 1 D. 3 10. 已知向量，，则（ ） A. 与方向相同的单位向量的坐标为 B. 当时，与的夹角为锐角 C. 当时，、可作为平面内的一组基底 D. 当时，在方向上的投影向量为 11. 关于函数有如下四个命题，其中正确的是（ ） A. 的图象关于轴对称 B. 的图象关于点对称 C. 的最小值为2 D. 在区间上单调递减 12. 在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则是直角三角形； C. 若是等腰三角形，则； D. 若，则的面积最大值为3. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知向量，，，若，则实数_______． 14. 已知为单位向量且夹角为，则与的夹角的余弦值为______． 15. 已知锐角满足，则______． 16. 已知函数的图象过点，且与轴有相邻的两个交点和．若且，则的最小值为______． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 已知向量，，，． （1）若，求的值； （2）若与垂直，求的值． 18. 已知函数． （1）分别写出下面表格中的值，并画出在上的大致图象； 0 0 0 0 （2）解不等式． 19. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的外接圆的半径为R，且，且． （1）求B； （2）若，，求． 20. 已知函数图象一个对称中心为点． （1）求的解析式和最小正周期； （2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 21. 如图所示，在正方形ABCD中，，，，AF与DE交于点G，线BG的延长线交AD于点H． （1）求的值； （2）若，求实数μ的值． 22. 如图所示，在中，设分别为内角的对边，已知，． （1）求角； （2）若，过作的垂线并延长到点，使四点共圆，与交于点，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$