精品解析：浙江省宁波市余姚市高风中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

余姚市高风中学2023学年第二学期期中试卷 高一数学A卷 命题人：何慧萍 审核人：黄建光 分值：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知m，n表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C 若，，则 D. 若，，则 3. 已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A. EF与GH互相平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D. EF与GH的交点M一定在直线AC上 6 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 7. 圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 20m B. 30m C. m D. m 8. 已知正四面体内接于球，D为棱AB上点，满足．若存在过D点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D. 正四棱柱是平行六面体 10. 下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为2 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则最大值为2 11. 如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线是异面直线 C. 在直线上存在点F，使平面 D. 直线与平面所成角是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则实数______． 13. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为________． 14. 在中，，点D在边AC上，，，则的值是________． 四、解答题：本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，在同一平面上，且． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，且与垂直，求k的值． 16. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的表面积； （2）如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 17. 如图，菱形ABCD中，，，，AE交BD于点F． （1）若，求λ和μ的值； （2）设P是线段BC的中点，求的值． 18. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，点D为边BC的中点，且，求的面积． 19. 如图，直三棱柱中，，，、、分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点F为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； （2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 余姚市高风中学2023学年第二学期期中试卷 高一数学A卷 命题人：何慧萍 审核人：黄建光 分值：150分 考试时长：120分钟 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置． 1. 已知复数（为虚数单位），则的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念求出复数的共轭复数，然后结合复数的几何意义即可判断复平面内对应的点所在象限. 【详解】复数的共轭复数为，所对应的点为，故在第四象限， 故选：D. 2. 已知m，n表示两条不同的直线，，，表示三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线、线面平行的判定定理，以及线线、线面，面面垂直的判定定理，一一验证即可. 【详解】对于A，由正方体的模型可知，若，，则与可能相交、平行、异面，故A错误. 对于B，若，，则，故B正确； 对于C，若，，则或，故C错误. 对于D，若，，则与可能相交也可能平行，故D错误. 故选：B. 3. 已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据上下底面半径及母线长求出圆台的高，再由圆台体积公式求解. 【详解】因为圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5， 所以圆台的高， 所以， 故选：D 4. 如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法原理将直观图转化为原图，根据原图运算求解即可. 【详解】由题意可得：， 由直观图可得原图，如图所示，可知：， 可得， 所以原三角形的周长. 故选：D. 5. 如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且，则（　　） A. EF与GH互相平行 B. EF与GH异面 C. EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 D. EF与GH的交点M一定在直线AC上 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由线面的平行关系，即可得到结果. 【详解】因为F，G分别是边BC，CD上的点，且＝＝， 所以，且. 因为点E，H分别是边AB，AD的中点， 所以，且， 所以，且， 所以EF与GH相交，设其交点为M， 则平面ABC，同理平面ACD. 又平面平面， 所以M在直线AC上． 故选:D. 6. 已知向量 ，满足， ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值. 【详解】，，，. ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题. 7. 圣·索菲亚教堂（英语： SAINTSOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，被列为第四批全国重点文物保护单位. 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索非亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（ ） A. 20m B. 30m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【分析】在在中，求出，在中，利用正弦定理求出，再解即可得解. 【详解】由题意可知，在中，， 则， 所以， 在中，， 则， 由正弦定理得， 所以， 在中，， 则，所以， 所以小明估算索菲亚教堂的高度为. 故选：D. 8. 已知正四面体内接于球，D为棱AB上点，满足．若存在过D点且面积为的截面圆，则正四面体棱长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设正四面体棱长为，球半径为，计算得到，当截面过球心时，棱长最短，当截面时，棱长最长，分别计算棱长得到答案. 【详解】设正四面体棱长为，球半径为，截面圆的半径为，则，则， 设平面于，则是中心，且球心在上， 连接并延长与交于点，连接， 平面，平面，故， ，，平面，故平面， 平面，则， ，， 则，解得， 当截面过球心时，，此时棱长最短，故，； 当截面时，棱长最长，此时 ，即， 故，解得； 综上所述：. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题考查了多面体外接球问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和综合应用能力，其中确定截面过球心时，棱长最短，截面时，棱长最长，再计算棱长是解题的关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中为假命题的是（ ） A. 长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C. 有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱 D. 正四棱柱是平行六面体 【答案】ABC 【解析】 【分析】ABC均可以举出反例，D选项是真命题. 【详解】对于选项A，当底面不是矩形的时候，直四棱柱非长方体，A错误； 对于选项B，根据棱柱的定义，显然不成立，如图，满足要求，但不是棱柱，B错误； 对于选项C，可以是两对称面是矩形的平行六面体，C错误； D选项，正四棱柱是平行六面体，D正确． 故选：ABC． 10. 下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ） A. B. 复数的共轭复数的虚部为2 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的运算法则，可判定A不正确；求得，可判定B正确；根据题意，得到方程的另一根为，进而求得，可判定C不正确；结合复数的几何意义，可判定 D正确. 【详解】对于A中，由复数的运算法则，可得，所以A不正确； 对于B中，由复数，可得，可得的虚部为，所以B正确； 对于C中，由若是关于的方程的一个根， 可得方程的另一根为，则，所以C不正确； 对于D中，由复数满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为的圆， 又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为，所以D正确. 故选：BD. 11. 如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与直线是异面直线 C. 在直线上存在点F，使平面 D. 直线与平面所成角是 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项由线线平行证明线面平行；B选项找到两个直线所在的平面否定异面关系；C选项由线面垂直的判定定理证明；D选项由线面角的定义求角的大小. 【详解】对A，正方体中，平面，平面，平面， A选项正确； 对B，由图可知直线与直线都在平面中，故B选项错误； 对C，连接，，取的中点，连接， 又为的中点，则， 正方体中，，且，平面， 得平面，则平面，故C选项正确； 对D，连接交于点，连接， 由平面，有平面， 则即为直线与平面所成的角， ，，则，故D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，且，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面共线向量的坐标表示计算即可求解. 【详解】因为，，， 所以，解得． 故答案为：． 13. 如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点K在棱A1B1上运动，过A，C，K三点作正方体的截面，若K为棱A1B1的中点，则截面的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】如图，取B1C1的中点M，连接KM，MC，易证四边形KMCA为等腰梯形，上底KM＝，下底AC＝，腰长AK＝MC＝，则其高为KH＝，所以计算可得其面积为. 【考查意图】判断截面图形的形状，截面的面积． 14. 在中，，点D在边AC上，，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理先求出，然后结合余弦定理及二倍角公式进行化简即可得解. 【详解】由得，设，则， 中，由正弦定理得， 所以， 在中，由余弦定理可得，， 即 故， 由，可知. 故答案为： 四、解答题：本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，在同一平面上，且． （1）若，且，求向量的坐标； （2）若，且与垂直，求k的值． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量平行设出，利用坐标表示向量模进行求解； （2）求出向量的坐标，利用数量积的坐标运算，结合两向量垂直数量积等于，进而求解． 【小问1详解】 ∵，设， ∵，即，， 或. 【小问2详解】 ，，，， ，， 即， 即， 则. 16. 已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为． （1）求圆锥的表面积； （2）如图，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，分别求出侧面积和底面积即可得到答案. （2）先求出圆锥的体积，为的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，即可得到答案. 【小问1详解】 设圆锥的底面半径为r，高为h 由题意，得：，∴，∴ ∴圆锥的侧面积 圆锥的底面积 ∴圆锥表面积 【小问2详解】 由（1）可得：圆锥的体积为 又圆柱底面半径为，高为 ∴圆柱的体积为 ∴剩下几何体的体积为 17. 如图，在菱形ABCD中，，，，AE交BD于点F． （1）若，求λ和μ的值； （2）设P是线段BC的中点，求的值． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定的条件，利用基底表示向量，再借助平面向量基本定理作答. （2）用基底表示向量，结合（1）的结论，利用数量积的运算律求解作答. 【小问1详解】 菱形ABCD，，则，即有，于是， 因此，又，不共线， 所以，. 【小问2详解】 因为P是线段BC的中点，则， 所以 . 18. 已知的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，满足． （1）求角A； （2）若，点D为边BC的中点，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，切化弦可得答案. （2）根据余弦定理得到，再次利用余弦定理得到，解得，再利用面积公式计算得到答案. 【小问1详解】 由正弦定理，可得：，即， ，，，故，故， 【小问2详解】 在中，， 在中，， ，，， 即，故,， 在中， 故，解得，. 19. 如图，直三棱柱中，，，、、分别为、、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）连接、，证明出平面，可得出，同理可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立. 【小问1详解】 证明：取线段的中点，连接、， 在直三棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，则且， 因为、分别为、的中点，所以，且， 又因为为的中点，所以，且， 所以，且，则四边形为平行四边形，所以，， 因为平面，平面，因此，平面. 【小问2详解】 证明：连接、， 在直三棱柱中，且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 因为，，所以，， 又因为平面，平面，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，所以，， 因为，则平行四边形为菱形，所以，， 因为、分别为、的中点，所以，，所以，， 因为，、平面，则平面， 因为平面，所以，，同理可证， 因为，、平面，因此，平面. 20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点F为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由； （2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角. 【答案】（1）在棱上存在点E，使得平面，点E为棱的中点 （2）60° 【解析】 【分析】（1）取棱的中点E，取的中点Q，连接，，证明，根据线面平行的判定定理证明； （2）过B作于H，过H作于G，根据三垂线定理可得就是二面角的平面角，由已知二面角的余弦值为求得， 设，根据面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得平面. 连接，则就是直线与平面所成的角，求解即可. 【小问1详解】 在棱上存在点E，使得∥平面， 证明如下：取棱的中点E，取的中点Q，连接，， 且，，且 ∴，且， ∴四边形为平行四边形， ∴，又平面，平面，∴.∥平面. 【小问2详解】 设，∵，∴.∵平面平面，平面平面，平面，∴平面. 连接，则就是直线与平面所成的角. 由题意得，为等边三角形. 过B作于H，则H为的中点，平面，∵平面，∴， 又，∴平面，∵平面，∴， 过H作于G，连接， ∵，∴平面，∵平面，∴，∴就是二面角的平面角. ∵，∴， 易得，∴. ∵， ∴，∴， ∴， ∴，即直线与平面所成的角为60°. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$