精品解析：湖南省衡阳市衡阳县第二中学2023-2024学年高一下学期4月期中数学试题

衡阳县第二中学2023-2024年高一期中考试 数学 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1或3 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，且，则实数等于（    ） A. -7 B. 9 C. 4 D. -4 4. 已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（ ） A B. C. D. 7. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在中，角的对边分别是，若，则角B的值为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若与是单位向量，则 B. 若非零向量与是相反向量，则 C. D. 若与共线，与共线，则与共线 11. 在复平面内，复数 对应点满足.点与关于轴对称.则复数为（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12 已知，则______. 13. 已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为______． 14. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．则的最大值为__________ 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 16. 如图，在矩形中，点是的中点，是上靠近点的三等分点. （1）设，求的值； （2）若，，求的值. 17. 已知，且． （1）求与的夹角； （2）求的值； （3）若，求实数k的值． 18. 已知为实数，复数. （1）当为何值时，复数模最小？ （2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时、的值. 19. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向. （1）求点D到塔底B的距离； （2）若在点C测得塔顶A仰角为，求铁塔高. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衡阳县第二中学2023-2024年高一期中考试 数学 第Ⅰ卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1 已知集合，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 1或3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出B中可能的元素，讨论a的取值，验证是否符合题意，即可得答案. 【详解】由题意知：对于集合B，当时，；当时，； 当时，； 又，故，则， 若，则，此时， 不满足； 若，此时，满足， 故， 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 解得：， 所以“”能推出“”， 但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知向量，且，则实数等于（    ） A. -7 B. 9 C. 4 D. -4 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，解出即可. 【详解】因为向量，且， 所以，即， 所以. 故选：C. 4. 已知复数，满足，复数z的实部为，则复数z的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数z的实部为，结合，由求解. 【详解】因为复数z的实部为， 所以， 因为， 所以， 解得，（舍去）， 所以复数z的虚部． 故选：A 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指、对数函数单调性，结合中间值分析判断. 【详解】因为，且，即； ；； 所以. 故选：A. 6. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮50齿，小轮20齿，当小轮转动一周时大轮转动的弧度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】小齿轮转动一周时，大齿轮转动周，结合一周的弧度为计算即可得. 【详解】小齿轮转动一周时，大齿轮转动周， 故其转动的弧度数是. 故选：A. 7. 已知函数（，，）的部分图象如图所示，则的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合三角函数图象，依次利用最值、周期、点在图象上求得，从而得解. 【详解】依题意，由图象中最值可知， 周期满足，又，则，故， 所以，又点在的图象上， 所以，即， 所以，即， 而，所以， 所以. 故选：C. 8. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解. 【详解】由，得， 由余弦定理得，化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分） 9. 在中，角的对边分别是，若，则角B的值为（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用余弦定理，结合同角公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得，又， 因此，解得，而， 所以或. 故选：AD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若与是单位向量，则 B. 若非零向量与是相反向量，则 C. D. 若与共线，与共线，则与共线 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，只需与不共线即可排除；对于B，由相反向量的定义即可求解；对于C，由数量积的定义即可判断；对于D，只需为零向量，、不共线即可排除. 【详解】与是单位向量且方向不同时，，A错误； 根据相反向量的定义可知，与方向相反且两个向量模相等，即，B正确； ，C正确； 若为零向量，、为非零向量，则与不一定共线，D错误． 故选：BC. 11. 在复平面内，复数 对应点满足.点与关于轴对称.则复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的模运算公式可求出，进而求出点的坐标，根据与关于轴对称，可求出点的坐标，再根据复数的几何意义，即可求出结果. 【详解】由于复数 对应点满足 所以，所以，或 又点与关于轴对称，所以点或 所以复数为或. 故选：CD. 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角恒等变换的公式，求得，即可求解. 【详解】由， 可得，所以. 故答案为：. 13. 已知向量满足，则在上的投影向量的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得， 又因，可得，解得， 所以在上的投影向量为． 故答案为：. 14. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边．已知．则的最大值为__________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据正弦定理化角为边，再利用余弦定理和基本不等式可求答案. 【详解】因为，所以由正弦定理可得. 由余弦定理，得， 整理得. 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，又，所以，即. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求和的值； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据同角的三角函数关系求出，结合正、余弦定理计算即可求解； （2）由（1），结合三角形的面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由，可得． 又由及，可得． 由余弦定理得，得， 由，解得． 所以． 小问2详解】 由（1）知，， 所以的面积． 16. 如图，在矩形中，点是的中点，是上靠近点的三等分点. （1）设，求的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算可得，由此可得； （2）利用基底表示出，根据向量数量积定义和运算律可求得结果. 【小问1详解】 ，，， . 【小问2详解】 由（1）知：， ， . 17. 已知，且． （1）求与的夹角； （2）求的值； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，求得，结合平面向量的数量积的定义即可求解； （2）由（1）知，计算即可求解； （3）根据垂直向量可得，由题意，结合数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 由题意知，， 又，所以， 所以，又， 所以，即与的夹角为； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 故； 【小问3详解】 由，得， 即，又，， 所以，解得. 18. 已知为实数，复数. （1）当为何值时，复数的模最小？ （2）当复数的模最小时，复数在复平面内对应的点位于函数的图象上，其中，求的最小值及取得最小值时、的值. 【答案】（1）；（2）当，时，取最小值. 【解析】 【分析】 （1）求出关于的表达式，利用二次函数的基本性质可得出结论； （2）可得出，将点的坐标代入函数的图象，可得出，可得出，展开后利用基本不等式可求出的最小值，利用等号成立的条件求出对应的、的值. 【详解】（1），当且仅当时，复数的模最小，为； （2）当复数的模最小时，. 又点位于函数的图象上，所以. 又，则，， 所以， 当且仅当时等号成立. 又，所以，. 所以，的最小值为，此时，. 【点睛】本题考查复数模的最值的计算，同时也考查了利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于中等题. 19. 如图，为了测量出到河对岸铁塔的距离与铁搭的高，选与塔底B同在水平面内的两个测点C与D.在C点测得塔底B在北偏东方向，然后向正东方向前进20米到达D，测得此时塔底B在北偏东方向. （1）求点D到塔底B的距离； （2）若在点C测得塔顶A的仰角为，求铁塔高. 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理可求出的长； （2）利用正弦定求得，再解直角三角形求得. 【小问1详解】 由题意可知，，故， 在中， 由正弦定理， 得，即， 所以（米）. 因此点D到塔底B距离为米； 【小问2详解】 在中， 由正弦定理， 得， 得 ， 在中，， 所以铁塔高为米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$