二次函数综合题专项练-2024年九年级中考数学复习备考

二次函数综合题 1．已知抛物线关于直线对称，且经过点． (1)求，的值； (2)若两点，都在抛物线上，分别过点，作轴的垂线，分别与直线交于点，． ①如图1，当时，连接，求与的面积之和； ②如图2，当时，试说明四边形的面积不可能等于． 2．如图1，直线与抛物线交于，两点，抛物线与轴的另一个交点为B，顶点为D． (1)求抛物线的解析式． (2)点M是第二象限内抛物线上的一个动点，过点M作于N，作于F，交于点E，当时，求点M的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移，平移后抛物线的顶点为，设平移时间为t秒，当为等腰三角形时，求t的值． 3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为，连接与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是对称轴右侧抛物线上的动点，在射线上是否存在点，使得以点为顶点的三角形与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图1，抛物线过点，点，与y轴交于点C．顶点为N，在x轴上有一动点．过点E作直线轴，交抛物线于点M． (1)直接写出b，C的值及顶点N的坐标； (2)如图2，当点E在线段上运动时（不与点A，O重合），直线交y轴于点D，试探究是否为定值．如果是，求出这个值；如果不是，请说明理由； (3)如图3，当M落在抛物线之间时（可以与N，C重合），直线与相交于点P，当有最小值时，求的值． 6．如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式． (2)若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． (3)在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点和点两点，与轴交于点．点为线段上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求周长的最小值； (3)如图2，过动点作交抛物线第一象限部分于点，连接，，记与的面积和为，当取得最大值时，求点的坐标． 8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A和两点，与y轴交于，对称轴为直线，连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图像于点N，交x轴于点M， (1)求抛物线与直线BC的函数解析式； (2)设点M的坐标为，求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值： (3)若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得与相似，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，请写出理由． 9．在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的对称轴为直线，且此抛物线经过点，点均在此抛物线上，点的横坐标分别为、，过点作轴的垂线交此抛物线于点，连结，以为边作． (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)当线段长为时，求点的坐标； (3)当平行四边形的顶点落在抛物线的对称轴上时，求的面积； (4)设抛物线的对称轴交的边于两点，若此抛物线与的边有交点（不包括的顶点），交点记为点，作．当的面积是面积的时，直接写出的值． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：与x轴分别交于点，，与y轴交于点C，连接．    (1)填空：抛物线的解析式为______； (2)若反比例函数的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为d，且满足，求k的取值范围； (3)若动直线l与抛物线交于M，N两点（直线l与BC不重合），连接，，交点为P，当时，点P的横坐标是否为定值，请说明理由． 11．二次函数的图象经过点A（－1，0）和点C（0，－3）与x轴的另一交点为点B． (1)求b，c的值； (2)定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆．问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，以点Q为圆心，为半径作⊙Q，使⊙Q是二次函数的坐标圆？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MPy轴，交二次函数的图象于点P，以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出的值． 12．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，对称轴为直线，将抛物线绕点旋转后得到新抛物线，抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴为直线． (1)分别求抛物线和的表达式； (2)如图，点的坐标为，动点在直线上，过点作轴与直线交于点，连接，．求的最小值； (3)如图，点的坐标为，动点在抛物线上，试探究是否存在点，使？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案： 1．(1)的值为，的值为4 (2)①2；②见解析 （1）解：∵抛物线关于直线对称，且经过点， ∴解得， ∴的值为，的值为4； （2）解：①由（1）得， 当时，； 当时，，即， ，． 设直线的解析式为，将代入，得， ，直线的解析式为， ，． 如图1，设与轴交于点， 过点作于点，则，， ∴ ． ②当时，如图2，过点作于点， 则，， ，即， 解得，， 当时，四边形的面积不可能等于． 2．(1) (2) (3)或或 （1）解：把代入，得， 解得， 抛物线的解析式， （2）把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为， ，， ， 设， ， ， ， ， ， 解得：（舍），， ， ； （3）， 顶点， ， 将抛物线沿射线方向以每秒个单位的速度平移， t秒时向右，向上平移t个单位， ， ，，， 是等腰三角形， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得（舍去）或； 综上，或或； 3．(1)抛物线的函数表达式为； (2)在射线上存在点，其坐标为：或或． （1）解：（1）把点，代入，得： 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）（2）令，解得或8， ， 由抛物线的表达式知，其对称轴为， 设直线的表达式为：， 则，解得：， 则直线的表达式为：， 为等腰直角三角形， 当时，， ； ①当时，则， 设， 则， ， 解得（舍去）或6． ； ②当时，则， 设， 则， ， 解得：（舍去）或． ； ③当时，则，， 此时的点与点关于对称， ． 综上，在射线上存在点，其坐标为：或或． 4．(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为 (3)的坐标为或或或 （1）解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 5．(1) (2)为定值3 (3) （1）解：将，点代入中得： ， 解得：， ， ， （2）解：由题意得， 设直线的解析式为． 把点的坐标代入解析式， 可得 解得 直线的解析式为． 令，则． ， ． 又 ． 故为定值，其值为3． （3）解：在中，为一定角，当点从向运动时，在逐渐减小． 在变大，故点在时，的值最小． 过点作于点，过点作于点． ， ． ， ． 设，则． ， 在Rt中，， ． ， 6．(1) (2)周长最大为，此时点坐标为 (3)存在，点的坐标为或 （1）解：将、代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）在中，令，则， 解得：或， ， 又， 顶点， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ， 如图，延长交轴于点，作轴于点，即， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 又， ， 当时，有最大值， 周长最大为，此时点坐标为； （3）存在，理由如下： ①当点在上方时，如图，过点作交抛物线于点， 则， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； ②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， 由，，知是等腰直角三角形， ， 又， ， 也是等腰直角三角形， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 7．(1) (2) (3) （1）解：由题意可知，设抛物线的表达式为， 将代入上式得：， ， 所以抛物线的表达式为； （2）作点O关于直线的对称点E，连接， ∵，，， ∴， ∵O、E关于直线对称， ∴四边形为正方形， ∴， 连接，交于点D，由对称性，此时有最小值为的长， ， ∵的周长为， ，的最小值为， ∴的周长的最小值为； （3）设直线的表达式为， 将，，代入中， ， 解得， ∴直线的表达式为， ∵ ∴，则， 过点作轴交于点，设，则， ∴ ， ∴当时，取的最大值， ∴， 当时，， ∴． 8．(1)抛物线解析式为，直线BC解析式为 (2)或 (3)存在，或 （1）解：∵二次函数的对称轴为直线， ∴ ，即 ， ∵二次函数的图象与x轴交于，与y轴交于， ∴ ，解得： ， ∴二次函数的解析式为， 设直线BC的解析式为 ， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线BC解析式为； （2）解： 根据题意得：点 ， ， ∵以PN为直径的圆与y轴相切， ∴ ， 当点P在点N上方时， ， ∴ ， 解得： 或（舍去）， 当点P在点N下方时， ， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值为或； （3）解：存在，理由如下： 设点 ，则点 ， ， ∴， ， ， ， 根据题意得：∠CPN=∠BPM， 当∠PNC=∠PMB=90°时，△PBM∽△PCN， ∴CN∥x轴， ∴，解得： 或 （舍去）， ∴点 ， 当∠PCN=∠PMB=90°时，△PBM∽△PNC， ， ∴ ， ∴ ，解得： 或 （舍去）， ∴点 ， 综上所述，存在这样的点P 或，使得与相似． 9．(1)； (2)或； (3)或； (4)或 （1）解：∵抛物线对称轴为直线，且此抛物线经过点， ∴， 解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为； （2）解：如图，当点在点右侧时， 由题意得：点关于对称轴对称， ∵的横坐标为， ∴点的横坐标为：， ∵， ∴，解得：， 此时：， 如图，当点在点右侧时， 由题意得：点关于对称轴对称， ∵的横坐标为， ∴点的横坐标为：， ∵， ∴，解得：， 此时：； 综上可知：或； （3）解：∵过点作轴的垂线交此抛物线于点， ∴点，在抛物线对称轴两侧， ∴分两种情况讨论： 如图，当在对称轴上时， ∵的横坐标为， ∴点的横坐标为：， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 解得：， ∴，，， ∴； 如图，当在对称轴上时， ∴，则， ∵的横坐标为， ∴点的坐标为：， ∴； ∴； 综上可知：的面积为或； （4）解：如图，过点作对称轴于点， 根据题意可得，，，，，， ∴，，，，设点到的高为， ∴，， ∵的面积是面积的， ∴，即， ∴， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，； 如图， 根据题意可得，，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴，，， ∴，， ∵的面积是面积的， ∴，即， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或． 10．(1) (2) (3)，理由见解析 （1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）当时，， 当时， ∵当反比例函数经过时，， 根据反比例函数图象越大，离坐标轴越远；可得反比例函数的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为d，且满足时， （3）设点的坐标为，点的坐标为． ∵直线与不重合， ∴且且． 如图3，由点，点， 可得到直线的解析式为：． ∵， ∴可设直线的解析式为：． 将代入， 得． ∴． ∴点的坐标可以表示为． 设直线的解析式为：， 由点，点，得 ， 解得． ∴直线的解析式为：． 同上，由点，点， 可得到直线的解析式为：． ∴． ∴． ∴． ∴点的横坐标为定值3． 11．(1)，c=－3 (2)存在，圆心Q的坐标为(，) (3)值是2或 （1）解：把点A (－1，0)和点C (0，－3)代入 得： ， 解方程组得：， ∴，c=－3； （2）存在，理由如下： 如图所示， 由（1）可知二次函数的解析式为：， 令， 解得：，， 所以点A (－1，0)，点B (4，0) ∵点C (0，－3) ∴AB=BC=5 ∴△ABC是等腰三角形 根据坐标圆的定义，⊙Q经过点A、B、C ， ∴圆心Q为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点． ∵AB的垂直平分线即为二次函数的对称轴，可求得AC的中点F的坐标为， 所以AC垂直平分线BF的解析式为，求得点Q坐标为(，) 在Rt△QNB中，根据勾股定理求得QB=． 所以存在符合题意的坐标圆，其圆心Q的坐标为(，)． （3）设BC直线的解析式为：y＝kx+b， 把B (4，0)、C (0，3)的坐标代入y＝k+b得： 解得：， ∴BC直线的解析式为：， ⊙M与坐标轴相切，有两种情况， ①当⊙M与y轴相切时，如图所示： 过点M作MD⊥y轴，垂足为点D， 则点D为⊙M与y轴的切点，即PM＝DM=， 设P，M， 则PM＝() － ()， ∴()－()＝ 解得：1＝，2＝0， 当=0时，点M与点C重合，不合题意舍去； ∴⊙M的半径为DM＝， ∴M（，1） ∵△CDM∽△COB，根据相似三角形的性质，解得CM =， ∴ MB= ∴=2 ②当⊙M与x轴相切时，如图所示： 延长PM交x轴于点E，由题意可知： 点E为⊙M与x轴的切点，所以PM＝ME， 设P，M， 则PM＝() － ()，PE=－+3 ∴()－()＝－+3， 解得：1＝1，2＝4 当=4时，点M与点B重合，所以不合题意舍去， ∴⊙M的半径为：PM=ME＝+3＝；∴M（1，） △MEB∽△COB，根据相似三角形的性质，解得CM = ∴MB= ∴= 综上所述，值是2或． 12．(1)， (2) (3)存在，或 （1）解：设对称轴与x轴交于点G， 由题意得， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 将A、B、C分别代入， 得：， 解得：， ∴， ∴，顶点为 ∵抛物线绕点旋转后得到新抛物线， ∴抛物线的，顶点为， ∴的表达式为：，即 （2）解：将点F向右平移2个单位至，则，，过点D作直线的对称点为，连接， ∴， ∵， ∴直线为直线， ∵轴， ∴， 对于抛物线，令，则， ∴， ∵点D与点关于直线对称， ∴点， ∵轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值， 而， ∴的最小值为； （3）解：当点P在直线右侧抛物线上时，如图： ∵抛物线， ∴ ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 作H关于直线的对称点，则点在直线上， ∵点的坐标为，直线：， ∴， 设直线的表达式为：， 代入，, 得：， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立，得：， 解得：或（舍）， ∴； ②当点P在直线左侧抛物线上时，延长交y轴于点N，作的垂直平分线交于点Q，交y轴于点M，过点E作轴于点K，则，如图： ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 由点 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 在和中，由勾股定理得， ∴， 解得：或（舍） ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入点N，E， 得：， 解得： ∴直线表达式为：， 联立， 得：， 整理得： 解得：或（舍）， ∴， 综上所述，或． 学科网（北京）股份有限公司 $$