第04讲：二次函数与不等式-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第04讲：二次函数与不等式 【考点梳理】 考点一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 以二次函数为例： (1) 作出图象. (2)图象与轴的交点是，即当时，． 就是说对应的一元二次方程的两实根是． (3) 当时，，对应图像位于轴的上方． (4) 就是说的解是． 当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数. (2) 观察相应的二次函数的图象． ①如果图象与轴有两个交点， 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点， 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)： 取一切实数 无解 解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 考点二、简单分式不等式的解法 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))： . 考点三、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数． 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)；(2)；(3)；(4)． 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列关于x的不等式： (1)； (2). 3．（23-24高一上·上海松江·期末）解下列不等式： (1): (2). 题型二：一元二次不等式求参数 4．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 6．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．的解集为 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 7．（22-23高一上·内蒙古乌兰察布·期中）若，则关于的不等式的解集为 ． 8．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，其中. (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 9．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 题型四：一元二次方程根的分布问题 10．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知方程有一正根和一负根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型五：一元二次不等式恒成立问题 13．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于x的不等式. 15．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【专题归纳】 一、单选题 16．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 17．（23-24高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（ ） A．或 B． C．或 D． 18．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 19．（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 21．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 23．（23-24高一上·青海西宁·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 24．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 25．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 26．（23-24高二下·上海·开学考试）不等式的解集为 . 27．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 28．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 29．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 三、解答题 30．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式： (1)； (2). 31．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式，的解集是． (1)求常数的值； (2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 32．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 33．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 34．（23-24高一上·重庆·期末）若函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，求的解集. 35．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)求不等式的解集. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：二次函数与不等式 【考点梳理】 考点一、一元二次不等式及其解法 1．形如的不等式称为关于的一元二次不等式． 2．一元二次不等式与二次函数及一元二次方程的关系(简称：三个二次)． 以二次函数为例： (1) 作出图象. (2)图象与轴的交点是，即当时，． 就是说对应的一元二次方程的两实根是． (3) 当时，，对应图像位于轴的上方． (4) 就是说的解是． 当时，，对应图像位于轴的下方．就是说的解是． 一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下： (1) 将二次项系数先化为正数. (2) 观察相应的二次函数的图象． ①如果图象与轴有两个交点， 此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根(也可由根的判别式来判断) ． 那么(图1)： ②如果图象与轴只有一个交点， 此时对应的一元二次方程有两个相等的实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图2)： 无解 ③如果图象与轴没有交点，此时对应的一元二次方程没有实数根 (也可由根的判别式来判断) ． 那么(图3)： 取一切实数 无解 解一个一元二次不等式的话，也可以按以下步骤处理： (1) 化二次项系数为正； (2) 若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根．那么“”型的解为(俗称两根之外)；“”型的解为(俗称两根之间)； (3) 否则，对二次三项式进行配方，变成，结合完全平方式为非负数的性质求解． 考点二、简单分式不等式的解法 说明：(1) 转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0． (2) 也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号(比如例(2))： . 考点三、含有字母系数的一元一次不等式 一元一次不等式最终可以化为的形式． (1) 当时，不等式的解为：； (2) 当时，不等式的解为：； (3) 当时，不等式化为：； ① 若，则不等式无解；② 若，则不等式的解是全体实数． 【题型归纳】 题型一：一元二次不等式的解法 1．（23-24高一上·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)；(2)；(3)；(4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】逐一求解二次不等式即可. 【详解】（1），所以， 故不等式的解集为； （2），所以， 故不等式的解集为； （3）因为的判别式， 故原不等式的解集为； （4），所以或， 故不等式的解集为. 2．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列关于x的不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据分式不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 即，所以， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 则，解得或， 所以不等式的解集为或. 3．（23-24高一上·上海松江·期末）解下列不等式： (1): (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）化简后解不等式组即可得到答案； （2）根据绝对值分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）由，得， 所以，解得或， 所以不等式的解集为 （2）当，即时，，得， 此时，， 当，即时，，得， 此时，， 综上所述，，即不等式的解集为 题型二：一元二次不等式求参数 4．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将问题转化为是方程的两个实根，再直接代入方程得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 所以，解得， 所以. 故选：C. 5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的 解集可得到，，，把结果代入到所求不等式中即可求解. 【详解】根据题意可知，，，则，， 所求的不等式可化为：，即，解得：或. 故选：C 6．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（ ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据二次函数,一元二次不等式,一元二次方程之间的关系,得出,且,代入消元即可. 【详解】根据题意,可以知道,的两根为. 由根与系数的关系得到： . 因为开口向下,则,故A正确. ,故B正确. 且,对称轴为,,故C正确. ,两边同时除以, 得到,解得,故D错误. 故选:D. 题型三：含参数的一元二次不等式的解法 7．（22-23高一上·内蒙古乌兰察布·期中）若，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由可得，则可求出一元二次不等式的解． 【详解】，，则， ， 或． 故答案为：． 8．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）已知函数，其中. (1)若，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，由，列出方程，即可求解； （2）根据题意，得到，结合一元二次不等式不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）由函数，因为，可得，解得. （2）因为，可得，即， 当时，解得，所以不等式的解集为； 当时，解得或，所以不等式的解集为， 综上可得，当时，解集为；当时，解集为. 9．（23-24高一上·陕西渭南·期末）设. (1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）讨论a是否为0，不为0时，结合一元二次不等式恒成立列出不等式组，即可求得答案； （2）将化简为，分类讨论，比较的大小，即可得答案. 【详解】（1）不等式对一切实数恒成立，即对一切实数恒成立， 当时，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 故实数的取值范围为； （2）由可得，即， 即 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 当，即时，的解集为； 故原不等式的解集为：当时，解集为； 当时，解集为； 当，时，解集为； 题型四：一元二次方程根的分布问题 10．（23-24高一上·辽宁大连·期中）关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据实数是不是为零进行分类讨论，结合根的判别式及韦达定理即可得解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 当方程有二个负根时，则有， 当方程有一个负根一个正根时，则有， 综上所述：当关于x的方程至少有一个负根时，有， 即关于x的方程至少有一个负根的充要条件是. 故选：D. 11．（23-24高一上·广西玉林·期中）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故选：B． 12．（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）已知方程有一正根和一负根，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意列出不等式组，求解即可. 【详解】解：因为方程有一正根和一负根， 所以，解得：， 所以的取值范围是. 故选：D. 题型五：一元二次不等式恒成立问题 13．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）不等式对任意实数恒成立，则参数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一元二次不等式任意恒成立结论可得结果. 【详解】不等式对任意实数恒成立，即恒成立， 故判别式，解得， 故选：A. 14．（23-24高一上·河南郑州·期末）已知函数. (1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）把恒成立问题转化为对于一切实数x恒成立，用判别式法列式求解即可； （2）分类讨论解一元二次不等式即可. 【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数x恒成立， 等价于对于一切实数x恒成立，所以， 解得. （2）不等式等价于． 当即时，不等式可化为，原不等式的解集； 当即时，不等式可化为，原不等式的解集为：； 当即时，不等式可化为，此时． 综上所述：①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为. 15．（23-24高一上·河北石家庄·期中）设． (1)若不等式对于任意恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见详解 【分析】（1）讨论的范围，当时，列出条件，解出即可； （2）化简不等式，根据根的大小进行分类讨论，即可解出. 【详解】（1）因为， 所以不等式可化为， 若对于任意，不等式恒成立， 当时，不等式化为，不满足题意， 当时，则必有且, 解得， 所以实数a的取值范围为. （2）不等式化为， 即，， 因为， 所以当，即时，解得或， 不等式的解集为或; 当，即时，不等式恒成立，解集为； 当，即时，解得或， 不等式的解集为或. 【专题归纳】 一、单选题 16．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式的解集为（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式的解法直接求解即可. 【详解】因为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 17．（23-24高一下·安徽·阶段练习）不等式的解集为（ ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】移项、通分，再转化为等价的一元二次不等式，解得即可. 【详解】不等式，即，等价于，解得或， 所以原不等式的解集为或. 故选：A 18．（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】参变分离可得对任意的恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意的，恒成立， 所以对任意的，恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，解得，即的取值范围为. 故选：D 19．（23-24高一下·云南·阶段练习）若关于的不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论的两根大小，结合已知条件，通过求一元二次不等式即可求解. 【详解】原不等式可化为， 当时，得，此时解集中的整数为2，3，4，则； 当时，得，此时解集中的整数为，，，则， 综上所述，的取值范围是. 故选：A 20．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定一元二次不等式的解集求出，再代入解不等式即可. 【详解】不等式的解集为，则是方程的两个根，且， 于是，解得，则不等式为， 解得或，所以不等式的解集为或. 故选：D 21．（23-24高一上·贵州毕节·期末）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因式分解，分三种情况讨论，即可得出结果. 【详解】由，得， 当时，不等式的解集为，不符合题意舍去， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 当时，不等式的解集为，此时若有2个整数解，则需， 综上：实数的取值范围为或， 故选:A． 22．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有Ü， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 23．（23-24高一上·青海西宁·期末）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由于不等式对任意恒成立， 当时，不等式为，此时，不符合题意， 当时，对任意恒成立，则，解得， 故选：D 24．（23-24高一上·陕西西安·期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分讨论，当时利用判别式求解即可. 【详解】由不等式可得， 当时，原不等式为，恒成立，符合题意； 当时，由恒成立， 可得，解得， 综上，则的取值范围是. 故选：C 二、填空题 25．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）若不等式的解集为，则 . 【答案】 【分析】由题可得对称轴在之间，最小值大于，且的两个根为，列出相应不等式，找到关于的范围，再根据韦达定理解出的值，计算即可. 【详解】因为不等式的解集为， 而开口向上，所以有， 且最小值大于，即，解得， 且的两个根为， 所以，解得或， 当时，不符合，故舍去， 所以，所以. 故答案为：. 26．（23-24高二下·上海·开学考试）不等式的解集为 . 【答案】. 【分析】由，将原不等式转化为求解. 【详解】因为， 所以原不等式转化，即， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 27．（23-24高一下·上海闵行·阶段练习）已知函数对任意实数都有成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】讨论二次项系数结合判别式列不等式求解即可. 【详解】由题意知当时，符合题意； 当时，则 则实数的取值范围是. 故答案为：. 28．（23-24高一下·上海·开学考试）若对于任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分和两种情况讨论即可得解. 【详解】①当时，不等式恒成立，所以符合要求； ②当时，题意等价于，即，解得， 综上可知. 故答案为：. 29．（23-24高一上·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数图像特征，满足，即得a的取值范围. 【详解】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 三、解答题 30．（23-24高一上·湖南长沙·期末）解下列不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分式不等式化为且，求出解集； （2）将绝对值不等式化为分段函数，零点分段法求解绝对值不等式. 【详解】（1）不等式，移项得，通分得， 可转化为且， 解得，不等式解集为. （2）令 当时，，解得，即； 当时，，解得，即； 当时，，解得，即； 综上所述：不等式解集为. 31．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知不等式，的解集是． (1)求常数的值； (2)若关于的不等式的解集为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得和为关于的方程的两根且，利用韦达定理得到方程，求出的值； （2）依题意可得关于的不等式的解集为，则，即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为的解集是， 所以和为关于的方程的两根且， 所以，解得. （2）由（1）可得关于的不等式的解集为， 所以，解得， 即的取值范围为. 32．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知. (1)若，求实数的取值范围； (2)若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】 （1）根据给定条件，列出不等式并求解即得. （2）由不等式分离参数，构造函数并求出最小值即可得解. 【详解】（1）函数，由，得，解得或， 所以实数的取值范围是或. （2）当时，， 又，当且仅当时取等号，依题意，， 所以实数的取值范围是. 33．（2024高三·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为或. (1)求，的值； (2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集，利用韦达定理可列出方程组，即得； （2）利用基本不等式求得的最小值，根据恒成立可得，即得. 【详解】（1）因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 所以，解得， 即，. （2）由（1）知，于是有， 故， 当且仅当，结合，即时，等号成立， 依题意有，即， 得，即， 所以的取值范围为. 34．（23-24高一上·重庆·期末）若函数， (1)若不等式的解集为，求的值； (2)当时，求的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据条件，利用韦达定理建立方程组，且，即可求出结果； （2）利用含参的一元二次不等式的解法，分，，和三种情况讨论，即可求出结果. 【详解】（1）因为的解集为， 所以且，解得. （2），，所以，即， 又， 当，即时，的解集为； 当，即时，若，解集为，若，解集为； 当，即或时，的两根为，，且有， 此时，的解集为或， 综上所述，当时，的解集为； 当，解集为，当，解集为； 当或时，的解集为或. 35．（23-24高一上·江西上饶·期末）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意知道是函数的两个零点，由此即可求解. （2）首先因式分解二次式，进一步分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意若不等式的解集为，所以， 所以，解得. （2）由题意， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$