高二数学暑期综合测评卷（19题新高考新结构）-【暑假分层作业】2024年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

完成时间： 月 日 天气： 【暑假分层作业】2024年高二数学暑假培优练 高二暑期综合测评卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．的展开式中的常数项为（    ） A． B．240 C． D．180 【答案】C 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 又展开式的通项为，， 所以的展开式中的常数项为. 故选：C 2．已知数列是等差数列，，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用下标和性质计算可得. 【详解】因为，则，又，则， 解得， 所以. 故选：C 3．已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【详解】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B 4．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据： 天数天                     繁殖个数千个                     由最小二乘法得与的线性回归方程为，则当时，繁殖个数的预测值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由回归直线必过样本中心求出，再将代入回归方程即可求解. 【详解】由题中数据可得：，， 因为回归直线必过样本中心， 所以， 所以， 所以当时，， 故选：B 5．某企业生产线上生产的产品的某项指标，且. 现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质求出，即可得到，再根据二项分布的方差公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 则，所以. 故选：B 6．已知直线与椭圆C：交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得四边形为矩形，结合椭圆定义与勾股定理可将分别用和表示，即可得离心率. 【详解】取右焦点，连接、，由在以线段为直径的圆上， 故，结合对称性可知四边形为矩形，有， 有，又， 由，则，， 由椭圆定义可得， 故， 则. 故选：C. 7．如图,二面角等于,是棱上两点, 分别在半平面内, ,, 且则的长等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量来解决,由二面角的平面角的定义可得,求的模即为的长. 【详解】由二面角的平面角的定义知,, 由,,得,,, , 所以,即． 故选：A． 8．已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本性质可知，当时，，当时，，即可得出结论. 【详解】因为等差数列的前项和为，，可得， 又因为，则数列的公差为， 所以，数列为单调递减数列， 则当时，，当时，， 故当时，取最大值. 故选：B. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．盒子中有12个乒乓球，其中8个白球4个黄球，白球中有6个正品2个次品，黄球中有3个正品1个次品．依次不放回取出两个球，记事件“第次取球，取到白球”，事件“第次取球，取到正品”，．则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用古典概型的概率公式及排列组合数，求出，，，，，，再利用条件概率公式即可判断各个选项. 【详解】对A，，，所以,故A正确； 对B，事件“第次取球，取到正品”，，故B错误； 对C，事件“第次取球，取到正品且第次取球，取到白球”，包括（正白，正白），（正白，次白），（正黄，正白），（正黄，次白），共有种情况， ，故C错误； 对D，事件“第次取球，取到白球且第次取球，取到正品”，包括（白正，白正），（白正，黄正），（白次，白正），（白次，黄正），共有种情况， ，又因为，,故D正确； 故选：AD. 10．如图，在棱长为的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，则（   ） A．M，N，B，四点共面 B．若，则异面直线与MN所成角的正弦值为 C．平面PMN截正方体所得截面为等腰梯形 D．若，则三棱锥的体积为 【答案】AD 【分析】A选项，作出辅助线，得到，得到四点共面；B选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到直线与MN所成角的余弦值和正弦值；C选项，作出辅助线，得到截面为正六边形；D选项，等体积法求出三棱锥的体积 【详解】A选项，连接，， 因为M，N分别是，的中点，所以， 又，故， 所以M，N，B，四点共面，A正确； B选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则异面直线与MN所成角的余弦值为， 故正弦值为，B错误； C选项，如图所示，设的中点分别为， 连接， 故平面PMN截正方体所得截面为正六边形，C错误； D选项，连接，则， 故， 其中，⊥平面， 所以，D正确. 故选：AD 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是奇函数，满足，且对任意，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】令，可判定A不正确；令，得到，结合为奇函数，则为偶函数，得到和，得出和是周期函数，可判定B正确；由函数的周期性，结合和，可得判定C错误；求得，结合周期性，可得判定以D正确. 【详解】对于A中，令，可得， 因为，所以，所以A不正确； 对于B中，令，可得， 所以， 因为函数为奇函数，则为偶函数， 所以， 联立可得， 即， 所以， 所以函数是周期为3的函数，所以，所以B正确； 对于C中，由，可得， 且，因为数是周期为3的函数， 可得，所以C错误； 对于D中， 由，可得 令，可得，所以， 因为函数周期为3的函数，即，可得 所以函数是周期为3的函数，可得，所以， 令，可得，所以， 所以，可得 所以，所以D正确. 故选：BD. 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．某学校安排四名同学参加3个不同社区的暑期实践活动，若每个社区至少1人参加，且甲同学不去A社区，则不同的安排方案共有 种． 【答案】24 【分析】首先分类，分为甲单独一组，或是与另外一人一组，每组再分步完成方法种数. 【详解】第一类甲单独一组，则从另外三人中选出两人为一组，有种，甲不去社区，有2种选择， 另外两组人分配到另外两个社区，有种情况，共有种方法， 第二类甲与另外一人组成一个工作小组，有种情况，由于甲不去社区，有2种情况； 另外2人分配到其它2个社区，有种情况，共有种方法， 综上所述，共有种方法. 故答案为： 13．已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为 . 【答案】2 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图像上的一点，， 所以在点处的切线方程为，①， 令，解得， ，所以， ，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去）， 所以，此时①可化为， 所以. 故答案为： 14．已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值. 【详解】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，     则，设， 由，得， 整理得，即 因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， PA长的最大值等于. 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 由正三角形的结构特征，建立平面直角坐标系，求出点轨迹，由轨迹为圆，PA长的最大值为点到圆心距离加上半径. 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，且，求面积的最小值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用直线与抛物线的位置关系，联立直线和抛物线方程求出弦长即可得出； （2）设直线：，利用，找到的关系，以及的面积表达式，再结合函数的性质即可求出其最小值． 【详解】（1）设，由可得，， ∴， ∴， 即，∵， 解得：； （2） ∵，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，， ∴，， ∵，∴， 即， 亦即， 将代入得， ，， ∴，且，解得或， 设点到直线的距离为， ∴， ， ∴的面积， 而或， ∴当时，的面积． 16．乒乓球，被称为中国的“国球”，是一项集力量、速度、柔韧、灵敏和耐力素质为一体的球类运动，同时又是技术和战术完美结合的典型.打乒乓球能使眼球内部不断运动，血液循环增强，眼神经机能提高，因而能使眼睛疲劳消除或减轻，起到预防治疗近视的作用.乒乓球的球体小，速度快，攻防转换迅速，技术打法丰富多样，既要考虑技术的发挥，又要考虑战术的运用.乒乓球运动中要求大脑快速紧张地思考，这样可以促进大脑的血液循环，供给大脑充分的能量，具有很好的健脑功能.乒乓球运动中既要有一定的爆发力，又要有动作的高度精确，要做到眼到、手到和步伐到，提高了身体的协调和平衡能力.不管学习还是工作，每天都或多或少有点压抑，打球能使大脑的兴奋与抑制过程合理交替，避免神经系统过度紧张.某中学对学生参加乒乓球运动的情况进行调查，将每周参加乒乓球运动超过2小时的学生称为“乒乓球爱好者”，否则称为“非乒乓球爱好者”，从调查结果中随机抽取100份进行分析，得到数据如表所示： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 56 女 24 总计 100 (1)补全列联表，并判断我们能否有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关？ (2)为了解学生的乒乓球运动水平，现从抽取的“乒乓球爱好者”学生中按性别采用分层抽样的方法抽取3人，与体育老师进行乒乓球比赛，其中男乒乓球爱好者获胜的概率为，女乒乓球爱好者获胜的概率为，每次比赛结果相互独立，记这3人获胜的人数为X，求X的分布列和数学期望. 参考公式：，. 0.05 0.010 0.005 0.001 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关； (2)分布列见解析， 【分析】（1）由的公式可求值，根据表格可判断有关； （2）由分层抽样确定男女生人数，根据X的取值分别求得概率，列分布列求期望即可. 【详解】（1）依题意可得列联表如下： 乒乓球爱好者 非乒乓球爱好者 总计 男 40 16 56 女 20 24 44 总计 60 40 100 零假设为：是否为“乒乓球爱好者”与性别无关联， 则，   我们有的把握认为是否为“乒乓球爱好者”与性别有关. （2）由（1）得抽取的3人中人为男生，人为女生.   则X的可能取值为0、1、2、3， 所以，， ，， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P    所以. 17．设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）. (1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合求出的通项，再利用等差数列的定义推理即得. （2）利用错位相减法求和得，，由给定不等式得，，再求出的最小值即可. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，， 又，即，而，解得，则， 所以数列为等比数列，； 由，，得， 因此数列是以为首项、1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，即， 则， 于是， 两式相减得，， 因此， 又，即， 于是，而，当且仅当时等号成立，则， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可. 18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值; (2)求平面PCD与平面PBA所成锐二面角的余弦值; (3)如果M是线段PC上的动点（不包括端点），N为AD中点，求点到平面BMN距离的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，求得向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）由平面的一个法向量，和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，则，则可得平面的一个法向量，通过点到平面距离的公式，得到参数表示的一个代数式，则可得到点到平面BMN距离的范围，即可得到最大值. 【详解】（1） 因为平面，且平面，所以，， 又因为，所以， 因为与底面所成的角为，所以，故， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 因为，，可得，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为，可得， 取，则，可得， 设PB与平面PCD所成的角为, 则， 所以PB与平面PCD所成角的正弦值为. （2）根据题意，平面的一个法向量， 由（1）知，平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. （3）因为N为AD中点，所以， 设，则， ∴， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， ∵， ∴点到平面距离为， 当时，则， ∴，当时取等号， 则， 综上，点到平面距离的取值范围的最大值为. 19．已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)时，求在上的最大值； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是；无单调递增区间， 当时，的单调递减区间是；单调递增区间是. (2)当时，在上的最大值是； 当时，在上的最大值是. (3)4 【分析】（1）求，分和两种情况，判断的符号，即可求解； （2）通过讨论在上的单调性，即可求最大值； （3）通过分离参数，得到，令，借助隐零点求出在上的最小值的范围，即可求解. 【详解】（1）由函数可得 ， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是；无单调递增区间. 当时，令解得， 令，解得； 令，解得， 所以的单调递减区间是；单调递增区间是， 综上所述：当时，的单调递减区间是；无单调递增区间， 当时，的单调递减区间是；单调递增区间是. （2）由（1）知当时，在上单调递减；在上单调递增， 当，即时，在上单调递减， 所以，即在上的最大值是， 当，即时，在上单调递增， 所以，即在上的最大值是， 当，即时，在上单调递减；在上单调递增， 所以最大值可能在或处取得， ，， 当，即时，，即在上的最大值是， 当，即时，， 即在上的最大值是， 综上所述：当时，在上的最大值是； 当时，在上的最大值是. （3）当时，不等式恒成立， 即， 即， ， ， ， ， 即， 令， ， 令， ， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以存在唯一一点，使， 即，所以， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以在区间上单调递减；在区间上单调递增； 所以， ， ， 因为， 所以， 即， 所以， 所以整数的最大值是4. 【点睛】关键点睛：本题主要考查导数应用，恒成立问题的求解关键是分离参数，利用导数求解分离后函数的最值，如果极值点不易求解时，可以借助隐零点进行求解. 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(1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 18．如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成角为，底面ABCD为直角梯形，. (1)求PB与平面PCD所成角的正弦值; (2)求平面PCD与平面PBA所成锐二面角的余弦值; (3)如果M是线段PC上的动点（不包括端点），N为AD中点，求点到平面BMN距离的最大值. 19．已知函数． (1)试讨论函数的单调性； (2)时，求在上的最大值； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$