第03讲：一元二次方程根与系数的关系-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第03讲：一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 考点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 考点二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 【题型归纳】 题型一：一元二次方程的根的判断式 1．关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 题型二: 判断式求参数问题 4．关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 5．已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 题型三：一元二次方程的根与系数的关系 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 8．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B．2024 C． D． 9．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 题型四：根和系数与判别式的综合应用 10．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 12．有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【专题突破】 一、单选题 13．关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 14．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 15．关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 16．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 17．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 18．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 19．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 20．对于实数a，b，定义新运算，下列结论： ①； ②若，则； ③若为关于x的一元二次方程．的两根，且满足（），则； ④若函数的图象与直线有三个不同的交点，则． 其中正确的有（     ）个； A．1 B．2 C．3 D．4 21．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 22．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（    ） A．或 B．或2 C．2 D． 二、填空题 23．已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 24．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 25．关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 26．若a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 27．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 28．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 29．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ． 三、解答题 30．已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 31．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 32．已知一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)设该方程两个不相等的实数根分别为，且，求证： 33．（1）已知、是一元二次方程的两个根，求的值． （2）若是整数，且关于的一元二次方程只有整数根，求的值． （3）已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解；问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 34．已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在k值使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 35．已知抛物线：，且． (1)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标； (2)抛物线不经过第三象限，且经过点，若一元二次方程的两根分别是、，求证：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲：一元二次方程根与系数的关系 【考点梳理】 考点一、一元二次方程的根的判断式 一元二次方程，用配方法将其变形为： (1) 当时，方程有两个不相等的实数根： ； (2) 当时，方程有两个相等的实数根：； (3) 当时，方程没有实数根． 由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：. 考点二、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的两个根为： . 所以：， . 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： . 说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是． 【题型归纳】 题型一：一元二次方程的根的判断式 1．关于x的一元二次方程 的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数由m的值确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据分别对应的是有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：A 2．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 先将方程化为一般式，再根据，求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴一元二次方程有两个不相等的实数根 故选：A 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根据判断一元二次方程根的情况，先根据一元二次方程得到判别式，根据判别式的取值得到根的情况，根据判别式的大小得到根的情况是解题的关键． 【详解】解：根据一元二次方程可得到判别式为， ∵恒成立， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 题型二: 判断式求参数问题 4．关于x 的一元二次方程有两个不相等实数根，则k 的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后求出不等式的解集即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故选：B． 5．已知关于x的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程不可能有两个异号的实数根；③当时，方程的两个实数根不可能都小于1．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式，先根据方程，求出根的判别式，①根据a的范围，判断根的判别式的大小，从而进行解答；②先根据已知条件，判断方程根的情况，利用根与系数的关系，求出两根之积，进行判断；③利用一元二次方程的求根公式，求出两根，再根据a的范围进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴①当时，，方程有两个不相等的实根，故①正确， ②当时，两根之积，方程的两根异号，故②错误， ③∵， ∴方程的根为， ∴，， ∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确． 故选：C． 6．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 题型三：一元二次方程的根与系数的关系 7．已知是方程的一个根，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，得到，进而得到，根与系数的关系得到方程的另一个根为，进而得到整体代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意，得：，方程的另一个根为， ∴， ∴ ； 故选D． 8．若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（    ） A． B．2024 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，根与系数的关系，熟练利用完全平方公式对原式进行变形是解题的关键． 由根与系数的关系可得，，再将所代数式变形可得，由此即可求解． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ，， ． ， 故选：A． 9．若关于的方程的两根之和为，两根之积为，则关于的方程的两根之积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法得到的两个根，，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为， ∴，， ∴关于y的方程的两根为， ∴． 故选C． 题型四：根和系数与判别式的综合应用 10．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． （1）先把方程化为一般式得到，根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，则，利用（1）的的范围去绝对值后解方程得到的值，然后根据（1）中的范围确定k的值． 解题的关键是掌握：若，是一元二次方程的两个实数根，则，．也考查了一元一次不等式及一元二次方程的解法． 【详解】（1）解：， 整理得：， ∵该方程有两个实数根，， ∴， 解得：， ∴实数的取值范围是； （2）∵，是方程的两实数根， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴可化简为：， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴的值为． 11．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式，韦达定理是解题的关键． （1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据韦达定理，通过配方法，用含的式子表示出两个的和，解参数方程并结合k的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，，， ∴， ∴，整理得，， ∴， 故实数的取值范围为． （2）解：∵方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∵， ∴． 12．有一个定理：若、是一元二次方程，、、为系数且为常数）的两个实数根，则、，这个定理叫做韦达定理．如：、是方程的两个实数根，则、．若，是方程的两个实根．试求： (1)与的值（用含有的代数式表示）； (2)的值（用含有的代数式表示）； (3)若，试求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式． （）根据根与系数的关系可得，即可； （）由，将（1）代入即可解答； （）由，将（1）代入即可得方程：即可解答． 【详解】（1）解：∵，是方程的两个实根， ∴，； （2）解：∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， 解得：，， 当时，原方程为：，，符合题意； 当时，原方程为：，，符合题意； ∴的值为或． 【专题突破】 一、单选题 13．关 于x 的方程（k为常数）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根， 一个负根 D．无实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程根的判别式得到方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程根与系数的关系，得到，进而得到方程两个不相等的实数根异号，即可解题． 【详解】解：， ， 即有， 方程有两个不相等的实数根， ， 方程两个不相等的实数根异号， 方程有一个正根， 一个负根， 故选：C． 14．若关于x的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．2015 B．2033 C．2024 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，以及代数式求值，根据一元二次方程判别式与根的关系可得到，进而得到，然后进一步整体代入求解即可． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ， 整理得， 有， ， 故选：A． 15．关于x的一元二次方程 有以下命题： ①若， 则         ②若方程的两根为和， 则 ③若上述方程有两个相等的实数根，则 必有实数根； ④若是该方程的一个根，则一定是 的一个根． 其中真命题的个数 （    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的知识，掌握一元二次方程解的概念和计算方法，根与系数的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的解，把代入可判定命题①②；根据根的判别式可判定命题③；根据方程的根进行验证即可判断命题④；由此即可求解． 【详解】解：命题①，当时，一元二次方程为， ∴是方程的解，即方程有实数解， ∴，原命题为真命题； 命题②，当时，一元二次方程为，当时，一元二次方程为， ∴联立方程组得， ∴解得，， ∴，原命题为真命题； 命题③，一元二次方程有两个相等的实根， ∴， ∵，则， ∴， ∴当时，方程有两个不相等的实根；当时，方程无实根， ∴原命题是假命题； 命题④，一元二次方程的一个根式， ∴， ∴，则， ∵， ∴， 若是根，则， ∴， ∴原命题为真命题； 综上所述，是真命题的有①②④，共3个， 故选：B ． 16．若关于的方程的两根之和为p，两根之积为q，则关于y的方程的两根之积是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系，设关于的方程的两个根为，得到，换元法，得到的两个根为，再进行求解即可． 【详解】解：设关于的方程的两个根为，则：， ∴关于y的方程的两根为， ∴； 故选A． 17．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（    ） ①若方程的两个根是和2，则； ②若是方程的一个根，则一定有成立； ③若，则它有一个根是； ④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案． 【详解】解：若方程的两个根是和2，则， ∴， ∴； 故①正确； 若是方程的一个根，则， ∴或， 故②错误； 若，则， 即有一个根是； 故③正确； 若方程有一个根是，则， 当时，， 即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根． 故④正确； 综上可知，正确的是①③④， 故选：C 18．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（     ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可． 【详解】解：， ， 而， ， ， 故选：A． 19．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，且，则的值是（　　） A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的判别式．由一元二次方程的两个实数根分别为、，可得，，即可得，解得或，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别为、， ，， ， ， ， 解得或， 当时，一元二次方程为，此时△，原方程无实数解，这种情况不存在，舍去； 当时，一元二次方程为，此时△，符合题意； 的值是； 故选：D 20．对于实数a，b，定义新运算，下列结论： ①； ②若，则； ③若为关于x的一元二次方程．的两根，且满足（），则； ④若函数的图象与直线有三个不同的交点，则． 其中正确的有（     ）个； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了新定义实数的运算，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图象的性质，理解题意，分两种情况分别计算是解决本题的关键．根据定义新运算逐一判断即可． 【详解】解：根据题意：，故①错误； 当时，， ， ， 或； 当时，， ， ，即， 为任何数， 当时，， ， ， 或；故②错误； 为关于x的一元二次方程．的两根， ， ， ，， ，， ，故③正确； 当时， 解得， 当时，， ， 即， 函数图象如图所示， 函数的图象与直线有三个不同的交点， ，故④正确； 故选：B． 21．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数的值为（    ） A． B．7 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系分别求出，的值代入求解即可，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 【详解】解：，， ， ， 解得， 故选：A． 22．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且，则的值是（    ） A．或 B．或2 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键． 由题意得，，，解得，，由，可得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，， ∵， ∴， 解得，或（舍去）， 故选：D． 二、填空题 23．已知、是关于x的方程的两实数根，且，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到，，，再根据，推出，据此求解即可． 【详解】解：∵、是关于x的方程的实数根， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 经检验或为原方程的解， ∵， ∴， ∴k的值为4． 故答案为：4． 24．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得，且， 故答案为：且． 25．关于一元二次方程，有以下命题： ①若，则； ②若该方程的两根为和1，则； ③若上述方程有两个相等的实数根，则必有实数根； ④若r是该方程的一个根，则一定是方程的一个根． 其中真命题是 ．（只需填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元二次方程的根，根据题意得，则，故①是真命题；根据题意得，则②是真命题；由题意得，则方程的判别式：，由于a的符号不确定，故③是假命题；由题意得，且，则，有，可得是的一个根，故④是真命题． 【详解】解：若，则， ∴，故①是真命题； 若该方程的两根为和1，则， ∴， ∴，故②是真命题； 若有两个相等的实数根，则， ∴的判别式：， ∵a的符号不确定， ∴方程根的情况不确定，故③是假命题； 若r是该方程的一个根，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的一个根，故④是真命题； 故答案为：①②④． 26．若a，b是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系及一元二次方程的解，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．由题意可得，，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为： 27．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程根系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一元二次方程的知识解答．根据关于x的方程有两个不相等的实数根，，可以得到a的取值范围，再根据得出，利用根与系数的关系得出，，再利用分类讨论的方法求出a的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，， ∴， 解得， ∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当时，解不等式得：， ∴； 当时，解不等式得：， ∴此时无解； 综上分析可知：． 故答案为：． 28．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴ ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 29．关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程和根的判别式，利用根与系数的关系求出，，根据则有，最后求解验证即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ， ， ∴，解得或， 当时，，方程无实数根，舍去， ∴ 故答案为：． 三、解答题 30．已知关于的方程． (1)若方程的一个实根是3，求实数的值． (2)求证：无论取什么实数，方程总有实数根． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）将代入方程，进行求解即可； （2）求出判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：， 解得：； （2）∵， ∴ ； ∴无论取什么实数，方程总有实数根． 31．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 32．已知一元二次方程 (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)设该方程两个不相等的实数根分别为，且，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键. （1）计算根的判别式并判断其范围即可证明结论； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，，由得到，，则，即可得到结论. 【详解】（1）解：一元二次方程， ， ∵   ∴， 又∵   ∴ ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）∵是方程的两根 ∴， ∵， ∴，， 即，， ∴ 即 33．（1）已知、是一元二次方程的两个根，求的值． （2）若是整数，且关于的一元二次方程只有整数根，求的值． （3）已知和是关于，的方程组的两个不相等的实数解；问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）43；（2） 【分析】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据a，b是的解，求出和的值，即可求出结果． （3）运用根与系数的关系求出，再解，即可求出k的值． 【详解】解：（1）、是一元二次方程的两个根， ， ； （2）存在，当时， 由变形得： 由变形得：， 把代入，并整理得：， 由题意可知，，是方程的两个不相等的实数根，故有： 即： 解得：． 34．已知抛物线与x轴交于A、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设直线与抛物线两交点的横坐标分别为，，是否存在k值使得？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查利用待定系数法求函数解析式，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系．利用待定系数法正确求出抛物线的解析式是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）联立，整理得，再结合题意，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可，再代入原方程检验即可得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：联立， ∴， 整理，得：， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，， 当时，一元二次方程为，根的判别式，此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点； 当时，一元二次方程为，根的判别式，此时方程无实数解，即直线与抛物线无交点； ∴不存在k值，使得． 35．已知抛物线：，且． (1)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标； (2)抛物线不经过第三象限，且经过点，若一元二次方程的两根分别是、，求证：． 【答案】(1)定点的坐标为 (2)详见解析 【分析】（1）抛物线始终过定点，与的取值无关，得到，解出此时的取值，代入抛物线解析式，即可求解， （2）将点代入，求出的值，由根与系数关系，代入化简，即可求解， 本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像与性质，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关知识点． 【详解】（1）解：抛物线， 若抛物线始终过定点，则此时与的取值无关， ， 解得：， 当时，， 故答案为：定点的坐标为， （2）解：抛物线 不经过第三象限且经过定点， 抛物线开口向上即，解得：， 把代入，整理得：， ∵， ∴，解得：，（舍去）， 一元二次方程为：， ∵一元二次方程的两根分别是、， ，，， ，，， ， ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$