7.5 正态分布学案-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.5 正态分布 目 录 ☯知识清单☯ - 2 - 知识点一：正态曲线与正态分布 - 2 - 1. 连续型随机变量 - 3 - 2. 正态曲线 - 3 - 3. 正态分布 - 3 - 4. 正态分布的期望与方差 - 3 - 5. 正态曲线的概率表示 - 3 - 知识点二：正态曲线的特点 - 3 - 知识点三：标准正态分布 - 4 - 知识点四：原则 - 5 - ☯典型例题☯ - 5 - 考点1： 正态密度函数及其图像特点 - 6 - 考点2：利用正态曲线求概率 - 11 - 母题1：对称法 - 11 - 母题2：“3σ”法 - 13 - 考点3： 正态分布的实际应用 - 16 - 考点4：正态分布与其他知识的综合运用 - 22 - 7.5 正态分布 ☯知识清单☯ 知识点一：正态曲线与正态分布 1. 连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为，称这类随机变量为连续型随机变量。 2. 正态曲线 函数，，其中，为参数。显然对于任意，，它的图象在轴的上方。可以证明轴和曲线之间的区域的面积为。我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 一个正态密度函数由唯一确定，和为常数，为自变量，。 3. 正态分布 若随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称随机变量服从正态分布，记为，的图象称为正态曲线。 4. 正态分布的期望与方差 正态曲线，可取任意实数，表示平均水平的特征数，；表示标准差，。 5. 正态曲线的概率表示 若，如图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积。 若，则不是离散型随机变量，由正态分布的定义：为区域的面积，可取内的任何值，故不是离散型随机变量，它是连续型随机变量。 知识点二：正态曲线的特点 1. 对，，它的图象在轴的上方，与轴不相交； 2. 对任意的，曲线与轴之间的面积为； 3. 曲线是单峰的，它关于直线对称； 4. 曲线在处达到峰值； 5. 当无限增大时，曲线无限接近轴； 6. 当时，曲线上升；当时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； 7. 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①； 8. 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散，如图②； 知识点三：标准正态分布 当，时，称随机变量服从标准正态分布，即 （1）在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率， 即； 时，则的值可在标准正态分布表中查到； 时，可利用其图象的对称性获得来求出， （2）与的关系： ① 若，则，有； ②若，则。 知识点四：原则 1. 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ；； 。 2. 原则 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则。 ☯典型例题☯ 考点1： 正态密度函数及其图像特点 母题探究 例1：已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 例2：(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有(　　) A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 复盘总结： 利用正态曲线的特点求参数： （1）正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此特点结合图象求出； （2）正态曲线在处达到峰值，由此特点结合图象可求出。 应用． 母题演练 1. 设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是( ) A．， B．， C．， D．， 2. 设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 3. 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 4. 下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 5. (多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是( ) A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 6. (多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 7. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 考点2：利用正态曲线求概率 母题1：对称法 母题探究 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 复盘总结： 由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等。在利用对称性进行求解时，若对题目中数值不是很敏感，建议画图进行思考，其关系容易获得；如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． 应用． 母题演练 1. 在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为 ． 2. 若随机变量，且，则等于（ ） A． B． C． D． 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 4. 某班有50名学生,一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,σ2),已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为　　　　.  5. 某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布，且．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ） A．100 B．125 C．150 D．175 母题2：“3σ”法 母题探究 设X～N(1，1)，试求：(1)P(0<X≤2)；(2)P(2<X≤3)；(3)P(X≥3)． 复盘总结： 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 应用． 母题演练 1. 设，试求： (1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)．（3）P(X≥5) 2. 已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.682 7，则σ＝ ，P(|X－2|<4)＝ . 3. 若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 4. 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(　　) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%， P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%) A．4.56%　　 B．13.59% C．27.18% D．31.74% 5. 某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差(单位：微米)服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为( )(注：若随机变量服从正态分布，则，) A．31.7% B．27.18% C．13. 55% D．4.5% 考点3： 正态分布的实际应用 母题探究 例1：一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为(　　) A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 例2：某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案? 复盘总结： 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 应用． 母题演练 1. 零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. (1)分别求，的值； (2)试估计这批零件直径在的概率； (3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数. 参考数据：；若随机变量，则，，. 2. 2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量. （1）求的概率； （2）求的数学期望； （3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？ 附：若随机变量，则，，，. 3. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．    参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (1)求a的值； (2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数； (3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数） 4. 哈尔滨市香坊区为了了解全区1万名学生的汉字书写水平，在全区范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图. (1)估算该校50名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)求这50名学生成绩在的人数； (3)现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全区前228名的人数记为，求的分布列和数学期望. 参考数据：，则，， 考点4：正态分布与其他知识的综合运用 母题演练 1. 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为　 　． 2. 2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量服从正态分布，若，则的最小值为　 　． 3. 疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了名学生的成绩，并计算得知这个学生的平均成绩为，其中个低分成绩分别是、、、、；而产生的个高分成绩分别是、、、、、、、、、． （1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布（和分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：）规定：若，，则称变量“近似满足正态分布的概率分布”． （2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于分的同学只有一次抽奖机会，不低于分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得元奖金的概率是，获得元的概率是．现在从这个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为，求的分布列和数学期望． 4. 国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 频数 5 6 9 12 8 6 4 （1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值； （2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为50个样本社区的平均值（精确到0.1吨），估计该市类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望． 附：若服从正态分布，则；；． ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.5 正态分布 目 录 ☯知识清单☯ - 2 - 知识点一：正态曲线与正态分布 - 2 - 1. 连续型随机变量 - 3 - 2. 正态曲线 - 3 - 3. 正态分布 - 3 - 4. 正态分布的期望与方差 - 3 - 5. 正态曲线的概率表示 - 3 - 知识点二：正态曲线的特点 - 3 - 知识点三：标准正态分布 - 4 - 知识点四：原则 - 5 - ☯典型例题☯ - 5 - 考点1： 正态密度函数及其图像特点 - 6 - 考点2：利用正态曲线求概率 - 11 - 母题1：对称法 - 11 - 母题2：“3σ”法 - 13 - 考点3： 正态分布的实际应用 - 16 - 考点4：正态分布与其他知识的综合运用 - 23 - 7.5 正态分布 ☯知识清单☯ 知识点一：正态曲线与正态分布 1. 连续型随机变量 随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为，称这类随机变量为连续型随机变量。 2. 正态曲线 函数，，其中，为参数。显然对于任意，，它的图象在轴的上方。可以证明轴和曲线之间的区域的面积为。我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。 一个正态密度函数由唯一确定，和为常数，为自变量，。 3. 正态分布 若随机变量的概率密度函数为，其中为常数，且，则称随机变量服从正态分布，记为，的图象称为正态曲线。 4. 正态分布的期望与方差 正态曲线，可取任意实数，表示平均水平的特征数，；表示标准差，。 5. 正态曲线的概率表示 若，如图所示，取值不超过的概率为图中区域的面积，而为区域的面积。 若，则不是离散型随机变量，由正态分布的定义：为区域的面积，可取内的任何值，故不是离散型随机变量，它是连续型随机变量。 知识点二：正态曲线的特点 1. 对，，它的图象在轴的上方，与轴不相交； 2. 对任意的，曲线与轴之间的面积为； 3. 曲线是单峰的，它关于直线对称； 4. 曲线在处达到峰值； 5. 当无限增大时，曲线无限接近轴； 6. 当时，曲线上升；当时，曲线下降。并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐进线，向它无限靠近； 7. 当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移，如图①； 8. 当一定时，曲线的形状由确定，较小时曲线“瘦高”，表示随机变量的分布比较集中；较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量的分布比较分散，如图②； 知识点三：标准正态分布 当，时，称随机变量服从标准正态分布，即 （1）在标准正态分布表中相应于的值是指总体取值小于的概率， 即； 时，则的值可在标准正态分布表中查到； 时，可利用其图象的对称性获得来求出， （2）与的关系： ① 若，则，有； ②若，则。 知识点四：原则 1. 正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ；； 。 2. 原则 尽管正态变量的取值范围是，但在一次试验中，的取值几乎总是落在区间内，而在此区间以外取值的概率大约只有，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生。 在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量X只取中的值，这在统计学中称为原则。 ☯典型例题☯ 考点1： 正态密度函数及其图像特点 母题探究 例1：已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【解题思路】将化为正态密度函数的定义形式，即可求出. 【解答过程】 ， . 故选：B. 例2：(多选)下面给出的关于正态曲线的4个叙述中，正确的有(　　) A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交 B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升 C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中 D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点 答案　ABD 解析　只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散． 复盘总结： 利用正态曲线的特点求参数： （1）正态曲线是单峰的，它关于直线对称，由此特点结合图象求出； （2）正态曲线在处达到峰值，由此特点结合图象可求出。 应用． 母题演练 1. 设随机变量的正态分布密度函数为，，则参数，的值分别是( ) A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由正态分布密度函数表达式知，.故选：D. 2. 设随机变量，则X的密度函数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布的定义可求得，从而可求X的密度函数. 【解答过程】因为，所以，即， 所以X的密度函数为A. 故选：A. 3. 已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【解题思路】结合正态分布密度函数中参数表示其均值大小，表示离散程度，利用图象形状即可判断出结论. 【解答过程】根据正态分布密度函数中参数的意义， 结合图象可知，对称轴位置相同，所以可得； 且都在的右侧，即， 比较和图像可得，其形状相同，即， 又的离散程度比和大，所以可得； 故选：B． 4. 下列是关于正态曲线性质的说法： ①曲线关于直线对称，且恒位于轴上方； ②曲线关于直线对称，且仅当时才位于轴上方； ③曲线对应的正态密度函数是一个偶函数，因此曲线关于轴对称； ④曲线在处位于最高点，由这一点向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低； ⑤曲线的位置由确定，曲线的形状由确定. 其中说法正确的是（    ） A．①④⑤ B．②④⑤ C．③④⑤ D．①⑤ 【解题思路】根据正态密度曲线的特点和性质逐一判断①②③④⑤的正确性，即可得正确选项. 【解答过程】正态曲线关于直线对称，该曲线总是位于轴上方，故①正确；②不正确； 只有当时，正态密度函数是一个偶函数，曲线关于轴对称；此时为标准正态分布，当时，不是偶函数，故③不正确； 正态曲线是一条关于直线对称，在处位于最高点，且由该点向左、右两边延伸并逐渐降低的曲线，故④正确； 曲线的位置由对称轴确定，曲线的形状由确定，越大，图象越矮胖，越小，图象越瘦高，故⑤正确； 故①④⑤说法正确. 故选：A. 5. (多选)甲、乙两类水果的质量(单位：kg)分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线，，如图所示，则下列说法正确的是( ) A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】AC 【解析】由题图可知甲图像关于直线对称，乙图像关于直线对称. 所以，，，故A正确，C正确； 因为甲图像比乙图像更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图像的最高点为，即， 故，故D错误. 故选：AC. 6. (多选)一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线如图所示，下列说法中不正确的是(　　) A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 答案　(2)BCD 解析　(2)由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“瘦高”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙． 7. 设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（    ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【解题思路】由正态密度曲线的性质结合图像可得，可判断AB，由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可判断CD. 【解答过程】A选项：、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，所以，故A错误； B选项：又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”， 所以，所以，故B错误； CD选项：由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知： 对任意正数，．,故C正确，D错误． 故选：C． 考点2：利用正态曲线求概率 母题1：对称法 母题探究 已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解题思路】根据题意，由正态分布密度曲线的性质，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由题意可得，且，则，所以. 故选：A. 复盘总结： 由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间概率相等。在利用对称性进行求解时，若对题目中数值不是很敏感，建议画图进行思考，其关系容易获得；如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． 应用． 母题演练 1. 在某项测量中，测量结果X服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)内取值的概率为0.4，则X在(0,2)内取值的概率为 。 【答案】0.8 【解析】如图，易得P(0<X<1)＝P(1<X<2)， 故P(0<X<2)＝2P(0<X<1)＝2×0.4＝0.8. 2. 若随机变量，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于随机变量，则， 因此，.故选：A. 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵随机变量ξ服从正态分布N（4，3）， ∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5与x=a+1关于x=4对称，∴a﹣5+a+1=8， ∴2a=12，∴a=6，故选:B． 4. 某班有50名学生，一次考试的数学成绩服从正态分布，已知P(90≤ξ≤100)=0.3,估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为　　　　。 【答案】10 【解析】由题意知,P(ξ>110)==0.2,故估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10. 5. 某校一次高三年级数学检测，经抽样分析，成绩占近似服从正态分布，且．若该校有700人参加此次检测，估计该校此次检测数学成绩不低于99分的人数为（ ） A．100 B．125 C．150 D．175 【答案】D 【解析】由题意，成绩近似服从正态分布， 则正态分布曲线的对称轴为， 又由， 根据正态分布曲线的对称性，可得， 所以该市某校有700人中，估计该校数学成绩不低于99分的人数为人， 故选：D. 母题2：“3σ”法 母题探究 设X～N(1，1)，试求：(1)P(0<X≤2)；(2)P(2<X≤3)；(3)P(X≥3)． 解　∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1. (1)P(0<X≤2)＝P(1－1<X≤1＋1) ＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)∵P(2<X≤3)＝P(－1<X≤0)， ∴P(2<X≤3)＝[P(－1<X≤3)－P(0<X≤2)] ＝[P(1－2<X≤1＋2)－P(1－1<X≤1＋1)] ＝[P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)－P(μ－σ<X≤μ＋σ)] ≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. (3)∵P(X≥3)＝P(X≤－1)， ∴P(X≥3)＝[1－P(1－2<X≤1＋2)] ＝[1－P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)] ≈×(1－0.954 5)＝0.022 75. 复盘总结： 求正态变量X在某区间内取值的概率的基本方法 (1)根据题目中给出的条件确定μ与σ的值． (2)将待求问题向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]这三个区间进行转化． (3)利用X在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果． 应用． 母题演练 1. 设，试求： (1)P(－1≤X≤3)；(2)P(3≤X≤5)．（3）P(X≥5) 解　∵，∴μ＝1，σ＝2， (1)P(－1≤X≤3)＝P(1－2≤X≤1＋2) ＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7. (2)∵P(3≤X≤5)＝P(－3≤X≤－1)， ∴P(3≤X≤5)＝[P(－3≤X≤5)－P(－1≤X≤3)] ＝[P(1－4≤X≤1＋4)－P(1－2≤X≤1＋2)] ＝[P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)] ≈×(0.954 5－0.682 7)＝0.135 9. （3）P(X≥5)＝P(X≤－3)＝[1－P(－3＜X≤5)] ＝[1－P(1－4＜X≤1＋4)] ＝[1－P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)] ≈×(1－0.954 5)＝0.022 75. 2. 已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.682 7，则σ＝ ，P(|X－2|<4)＝ . 答案　2　0.84 解析　∵X～N(4，σ2)，∴μ＝4. ∵P(2<X<6)≈0.682 7， ∴∴σ＝2. ∴P(|X－2|<4)＝P(－2<X<6) ＝P(－2<X<2)＋P(2<X<6) ＝[P(－2<X<10)－P(2<X<6)]＋P(2<X<6) ＝P(－2<X<10)＋P(2<X<6)＝0.84. 3. 若随机变量，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正态分布曲线的对称性即可结合选项逐一求解, 【解答过程】根据随机变量可知正态分布曲线的对称轴为，均值为2，方差为4， 所以，故A正确，，故B正确， ，C正确， ，故D错误， 故选：D. 4. 已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布，则，） A．4.56%　　 B．13.59% C．27.18% D．31.74% 由正态分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.682 7，P(－6＜ξ＜6)≈0.954 5，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故选B． 5. 某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差(单位：微米)服从正态分布，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间内的概率为( )(注：若随机变量服从正态分布，则，) A．31.7% B．27.18% C．13. 55% D．4.5% 【答案】C 【解析】，.故选：C. 考点3： 正态分布的实际应用 母题探究 例1：一批电阻的电阻值X(单位：Ω)服从正态分布N(1 000,52)，现从甲、乙两箱出厂的成品中各随机抽取一个电阻，测得电阻值分别为1 011 Ω和982 Ω，可以认为(　　) A．甲、乙两箱电阻均可出厂 B．甲、乙两箱电阻均不可出厂 C．甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂 D．甲箱电阻不可出厂，乙箱电阻可出厂 答案　C 解析　∵X～N(1 000,52)，∴μ＝1 000，σ＝5， ∴μ－3σ＝1 000－3×5＝985， μ＋3σ＝1 000＋3×5＝1 015. ∵1 011∈(985,1 015)，982∉(985,1 015)， ∴甲箱电阻可出厂，乙箱电阻不可出厂． 例2：某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12)。投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案? 解对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ1=8,σ1=3, P(X>5)==0.841 35. 对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ2=7,σ2=1, P(X>5)==0.977 25. 显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案. 复盘总结： 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 应用． 母题演练 1. 零件的精度几乎决定了产品的质量，越精密的零件其精度要求也会越高.某企业为了提高零件产品质量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. (1)分别求，的值； (2)试估计这批零件直径在的概率； (3)随机抽查2000个零件，估计在这2000个零件中，零件的直径在的个数. 参考数据：；若随机变量，则，，. 【解题思路】（1）根据平均数与方差的公式即可求解. （2）根据正态分布的性质，结合正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. （3）根据区间上的概率计算即可. 【解答过程】（1）由平均数与方差的计算公式分别得： 故，. （2）设表示零件直径，则，即. ， 由对称性得， ，即. 同理，， ，即. . 故这批零件直径在的概率为0.8186. （3）由（2）知，， 所以在这2000个零件中，零件的直径在的有个. 2. 2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品.根据国家质量监督检验标准，过滤率是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%.为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口置，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率服从正态分布.假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立.记表示一天内抽取10个口罩中过滤率小于或等于的数量. （1）求的概率； （2）求的数学期望； （3）一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率小于的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？ 附：若随机变量，则，，，. 【答案】（1）；（2）；（3）这种监控生产过程的方法合理. 【解析】（1）抽取口罩中过滤率在内的概率， 所以， 所以， 故 （2）由题意可知，所以. （3）如果按照正常状态生产，由（1）中计算可知，一只口罩过滤率小于或等于的概率，一天内抽取的10只口覃中，出现过滤率小于或等于的概率，发生的概率非常小，属于小概率事件.所以一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修.可见这种监控生产过程的方法合理. 3. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，． (1)求a的值； (2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数； (3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在内的教职工平均人数．（四舍五入取整数） 【解题思路】（1）由频率之和等于1，得出； （2）计算平均数得出，再由正态分布的概率估计即可； （3）由分层抽样得出的所有可能取值，再由超几何分布求解. 【解答过程】（1）解：由题意得，解得． （2）由题意知样本的平均数为 ，所以． 又，所以 ． 则， 所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093． （3）对应的频率比为，即为， 所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3， 设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为， 则的所有可能取值为0，1，2， ， 所以． 则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1． 4. 哈尔滨市香坊区为了了解全区1万名学生的汉字书写水平，在全区范围内进行了汉字听写考试，发现其成绩服从正态分布，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘制如图所示的频率分布直方图. (1)估算该校50名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) (2)求这50名学生成绩在的人数； (3)现从该校50名考生成绩在的学生中随机抽取两人，该两人成绩排名(从高到低)在全区前228名的人数记为，求的分布列和数学期望. 参考数据：，则，， 【答案】(1)(2)人(3)分布列答案见解析，数学期望： 【解析】(1 (2)成绩在的人数为人. (3) ，所以全市成绩前228名的成绩在90分以上而50人中90分以上的人数为人 X的可能取值为：0，1，2..则X的分布列为： X 0 1 2 P 考点4：正态分布与其他知识的综合运用 母题探究 复盘总结： 应用． 母题演练 1. 随机变量服从正态分布，，，则的最小值为　 　。 【解析】随机变量服从正态分布，， 由，得，(留意到的平均数就是) 又， ，且，， 则． 当且仅当，即，时等号成立． 的最小值为． 故答案为：． 2. 2012年国家开始实行法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站在统计了2019年清明节前后车辆通行数量，发现该站近几天每天通行车辆的数量服从正态分布，若，则的最小值为　　． 【答案】8 【解析】由ξ～N(1000，σ2)，且P(ξ>1200)=a，所以P(ξ<800)=P(ξ>1200)=a， 所以P(800<ξ<1200)=1-2a=b，所以2a+b=1，a>0，b>0， 所以(2a+b)=44+28，b=2a时取“=”， 的最小值为8． 故答案为：8． 3. 疫情防控期间，为了让大家有良好的卫生习惯某校组织了健康防护的知识测试（百分制）活动，活动结束后随机抽取了名学生的成绩，并计算得知这个学生的平均成绩为，其中个低分成绩分别是、、、、；而产生的个高分成绩分别是、、、、、、、、、． （1）为了评估该校的防控是否有效，以样本估计总体，将频率视为概率，若该校学生的测试得分近似满足正态分布（和分别为样本平均数和方差），则认为防控有效，否则视为效果不佳．经过计算得知样本方差为，请判断该校的疫情防控是否有效，并说明理由．（参考数据：）规定：若，，则称变量“近似满足正态分布的概率分布”． （2）学校为了鼓励学生对疫情防控的配合，决定对分及以上的同学通过抽奖的方式进行奖励，得分低于分的同学只有一次抽奖机会，不低于分的同学有两次抽奖机会．每次抽奖获得元奖金的概率是，获得元的概率是．现在从这个高分学生中随机选一名，记其获奖金额为，求的分布列和数学期望． 【答案】（1）该校的疫情防控是有效的，理由见解析；（2）分布列见解析，87.5. 【解析】（1）据该校的疫情防控是有效的，理由如下： ，，， ，， 得分小于分的学生有个，得分大于分的有个， ， 学生的得分都在间，． 学生得分近似满足正态分布的概率分布，因此该校的疫情防控是有效的； （2）设这名同学获得的奖金为，则的可能值为、、、， ，， ，， 故的分布列为： ． 4. 国家发改委、城乡住房建设部于2017年联合发布了《城市生活垃圾分类制度实施方案》，规定某46个大中城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区（全市共320个）中随机抽取了50个进行调查，统计这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨），得到如下频数分布表，并将这一天垃圾数量超过28吨的社区定为“超标”社区． 垃圾量 频数 5 6 9 12 8 6 4 （1）估计该市类社区这一天垃圾量的平均值； （2）若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为50个样本社区的平均值（精确到0.1吨），估计该市类社区中“超标”社区的个数； （3）根据原始样本数据，在抽取的50个社区中，这一天共有8个“超标”社区，市政府决定从这8个“超标”社区中任选5个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于30.5吨的社区个数为，求的分布列和数学期望． 附：若服从正态分布，则；；． 【答案】（1）22.76吨；（2）51个；（3）分布列见解析，. 【解析】 （1）样本数据各组的中点值分别为14，17，20，23，26，29，32，则 . 估计该市类社区这一天垃圾量的平均值约为22.76吨. （2）据题意，，，即，则. 因为，估计该市类社区中“超标”社区约51个. （3）由频数分布表知，8个社区中这一天的垃圾量不小于30.5吨的“超标”社区有4个，则垃圾量在内的“超标”社区也有4个，则的可能取值为1，2，3，4. ，，，. 则的分布列为： 1 2 3 4 所以. ************************************************************************************************************ - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $$