第一章 全等三角形 重难点检测卷-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

第一章 全等三角形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，， 下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 4．（2024·湖南长沙·一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，，，，则的面积为（    ） A．24 B．26 C．32 D．48 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 9．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，，，、的平分线、交于点．若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·福建宁德·期中）“两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”是 命题（填“真”或“假”）． 12．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为 ． 13．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，有两个滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，测得米，则 ．    14．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 15．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．    16．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为 ．    17．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取(如图2)．根据小颖的提示，可以求得的面积为 ． 18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．    三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，点、在上，且．求证：． 20．（23-24七年级下·山东青岛·期中）在下列图形中，按要求画出，使得， (1)如图①，所有小正方形边长都为1，点均在格点上； (2)如图②，已知“三角形内角和为”，用无刻度直尺与圆规作（不写作法，保留作图痕迹）． 21．（2024·江苏无锡·二模）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 22．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在线段上找点O，连结，使平分的面积； （2）如图②，在线段上找点Q，连结，使； （3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段，是的边上的高，请直接写出_____． 23．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，是边上的中线，是上一点，交于， (1)若，，求的值. (2)若，，求的取值范围. 25．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 26．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 27．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 28．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 全等三角形 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期中）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，， 下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有． 【详解】解：添加条件，结合，可以利用证明，故A不符合题意； 添加条件，结合，不可以利用证明，故B符合题意； 添加条件，结合，可以利用证明，故C不符合题意； 添加条件，结合，可以利用证明，故D不符合题意； 故选：B． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ）． A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个正方形一定是全等图形 D．两个全等图形面积一定相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质．直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案． 【详解】解：A、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； B、两个长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； C、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； D、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（2024·湖南长沙·一模）在课堂上，侯老师发给每人一张印有（如图）的卡片，然后要求同学们画一个，使得，小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图所示．对这两种画法的描述中错误的是（    ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度是线段的长 【答案】D 【分析】本题考查尺规作图，三角全等的判定，掌握一般三角全等、直角三角形全等的判定方法是解题的关键． 根据演示确定作图的具体步骤，结合全等的判定方法判断． 【详解】由图示知，小赵第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为； 小刘第一步为截取线段，第二步为作线段，判定方法为． 故选：D． 5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，，，点B，E，C，F在一条直线上．已知，，，，则的面积为（    ） A．24 B．26 C．32 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得，，再利用三角形面积公式即可求解，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：，，，，， ，， ， 是直角三角形， ， 故选A． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，于E，于D，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查同角的余角相等，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由于D，于E，得，而，则，而，即可证明，则，所以． 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的长是． 故选A． 7．（23-24七年级下·山西太原·阶段练习）如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，，，且点，，在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等腰直角三角形的性质可以得出，属于手拉手型全等，所以，最后根据时间路程速度即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【详解】解：， ， ， 在与中， ， ， ， 则 壁虎以的速度B处往处爬， ． 故选：C． 8．（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：D． 9．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在四边形中，，，、的平分线、交于点．若，，则四边形的周长为（    ） A．38 B．40 C．44 D．56 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形、平行线和角平分线的性质，构造辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 过点作，根据角平分线可证明得到，，从而推算出四边形的周长等于 【详解】解：如下图所示，过点作， 的平分线交于点E， ∴， ∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴四边形的周长为， 故选：B． 10．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 二、填空题（8小题，每小题2分，共16分） 11．（23-24八年级下·福建宁德·期中）“两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等”是 命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，命题真假的判断，由两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等可得答案． 【详解】解：∵两个直角三角形的两条直角边相等，而且所夹的角为直角， ∴这两个直角三角形全等， ∴两条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等是真命题； 故答案为：真 12．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，以点为圆心，任意长度为半径画弧①，分别交，于点，，再以点为圆心，的长为半径画弧，交弧①于点，画射线．若，则的度数为 ． 【答案】/26度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，基本作图知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 根据作图过程可得，，利用证明，即可得出结果． 【详解】解：根据作图过程可知： ，， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，有两个滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，测得米，则 ．    【答案】2.5米 【分析】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 由已知可根据判定，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴米． 故答案为：2.5米． 14．（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在长方形中，，，点P以的速度由点B向点C运动，同时点Q以的速度由点C向点D运动，若和全等，则a的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握分类讨论思想的应用是解决本题的关键． 分两种情况分别计算：当时；当时；分别根据全等三角形对应边相等的性质列方程求解即可． 【详解】解：设点运动的时间为， 由题意知：，，则， 当时，，即， 解得； 当时，，， 即，， 解得， 则， 解得， 综上，的值为3或． 故答案为：3或． 15．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）添加辅助线有时候可以将复杂的问题变简单，如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积，小莉思考后认为可以这样添加辅助线：如图2，在上截取，连接根据小莉的提示，聪明的你可以求得的面积为 ．    【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：4． 16．（23-24八年级下·山西运城·期中）如图，中，为的角平分线，作垂直于，的面积为8，则的面积为 ．    【答案】16 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图所示，延长交于，利用证明，得到，进而推出，，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于，   为的角平分线，， ，， 又， ， ， ，， ， ， 即， 故答案为：16 17．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图1，在中，，是高，是外一点，，，若，，，求的面积．小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取(如图2)．根据小颖的提示，可以求得的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；先通过等量代换推出，再利用“边角边”证明，再通过求出的面积即可． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知四边形，连接，，，若，则的面积等于 ．    【答案】 【分析】如图，将逆时针旋转到，连接、，则，，，证明，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，将逆时针旋转到，连接、，    ∴，， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，平行线间距离相等，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于正确的添加辅助线构造全等三角形． 三、解答题（10小题，共64分） 19．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）如图，点、在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据平行线的性质得出，进而即可证明． 【详解】证明：∵ ∴ 在中， ∴． 20．（23-24七年级下·山东青岛·期中）在下列图形中，按要求画出，使得， (1)如图①，所有小正方形边长都为1，点均在格点上； (2)如图②，已知“三角形内角和为”，用无刻度直尺与圆规作（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查作垂线，尺规作角等于已知角，掌握格点作垂线的方法，尺规作角的方法是解题的关键． （1）根据格点的特点，作垂线的方法即可求解； （2）作，即作角等于已知角即可求解． 【详解】（1）解：作图如下， （2）解：作图如下， ∴即为所求线段． 21．（2024·江苏无锡·二模）如图，中，点是的中点，过点作，连接并延长交于点，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用即可证明； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ∵， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）知：， ， ， ． 22．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）（1）如图①，在线段上找点O，连结，使平分的面积； （2）如图②，在线段上找点Q，连结，使； （3）如图③，已知每个小正方形的边长为1个单位，线段，是的边上的高，请直接写出_____． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形面积等知识，正确作出图形是解题的关键． （1）根据三角形的中线平分三角形的面积作图即可； （2）连接交于点Q，证明，得，再证明，然后根据平行线的判定即可得出结论； （3）根据面积法求出的面积，再由三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：（1）如图①，设的中点为R， 则点O为所求作的点．理由如下： ∵点R为的中点， ∴， ∴和等底同高， ∴和的面积相等， 即平分的面积． （2）如图②，连接交于点Q， 则点Q为所求的点．理由如下： 由图②可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图③，为高， ∵， ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． 23．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在和中，，，，且点，，在同一直线上，点，在同侧，连接，交于点．    (1)求证：≌； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 由，得出，再利用“”即可证明≌； 由，，得出，由外角的性质得出，由全等三角形的性质得出，由外角的性质得出，可得答案. 【详解】（1） 证明：， ∴， 即， 在和中， ， ≌； （2） ，， ∴. 是的外角， ∴. ≌， ∴， ∵是的外角， ∴. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平角的定义，三角形外角的性质，灵活选择判定定理是解题的关键． 24．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，是边上的中线，是上一点，交于， (1)若，，求的值. (2)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，涉及倍长中线、三角形三边关系的应用，根据三角形的中线求三角形面积，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先求出，，再根据即可求出结果； （2）延长，取，连接，证明，得出，根据三边关系得出，即可求出． 【详解】（1）解：∵是边上的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：延长，取，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于． (1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析，见解析； (2)． 【分析】（1）由已知推出，因为，，推出，根据即可得到答案； 由得到，，即可求出答案； （）与（）证法类似可证出，能推出，得到，，代入已知即可得到答案， 本题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴； 证明：由（）知：， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 26．（23-24八年级下·甘肃武威·期中）如图1，在长方形中，，点P从点B出发，以的速度沿向点C运动（点P运动到点C处时停止运动），设点P的运动时间为t 秒． (1)_____________．（用含t的式子表示） (2)当t为何值时，？ (3)如图2，当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点D运动（点Q运动到点D处时停止运动，两点中有一点停止运动后另一点也停止运动），是否存在这样的v值使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)时， (3)当或时，与全等 【分析】本题主要考查了列代数式，全等三角形的性质，熟知全等三角形对应边相等是解题的关键． （1）根据路程速度时间，根据点的速度，表示出，再表示出即可； （2）根据全等三角形对应边相等的性质得，即，求解即可； （3）分两种情况讨论，当，，时或当，，时，与全等，再根据全等三角形对应边相等的性质，分别计算求出的值，再计算的值即可． 【详解】（1）解：点从点出发，以秒的速度沿向点运动，点的运动时间为秒， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， 解得， 当时，； （3）解：情况一：当，，时， ， ， ， ， ， ， ∴， ； 情况二：当，，时， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当或时，与全等． 27．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）（1）如图1，与中，，，B、C、E三点在同一直线上，，则___________． （2）如图2，在中，，过点C作，且，求的面积． （3）如图3，四边形中面积为14且的长为7，求的面积． 【答案】（1）5；（2）2；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及应用，等腰直角三角形、四边形、三角形面积等知识． （1）由，得，可证明，即得，故； （2）过D作交延长线于E，由，得，即得，可证明，得，故； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，由面积为14且的长为7，得，又，，得是等腰直角三角形，即得，根据，可得，，即有，即可证明，从而，故． 【详解】解：（1）∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5； （2）过D作交延长线于E，如图2： ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）过A作于E，过B作交延长线于F，如图3： ∵面积为14且的长为7， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 28．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______ ． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，E、F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，若，请直接写出的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点G，使，连接，可判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定≌，进而得出，，再判定≌，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定≌，再判定≌，得出，最后根据，推导得到，利用，推导出的度数，即可得出结论． 【详解】解：（1），理由如下： 如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， 在和中， ， ≌， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 即， ，， ， 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 学科网（北京）股份有限公司 $$