3.2.2基本不等式的应用学案-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.2.2　基本不等式的应用 学习目标　1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 一、利用基本不等式的变形求最值 问题1　若两个正数的和为8，那么这两个正数分别是多少时，其积最大？ 问题2　若两个正数的积为16，那么这两个正数分别是多少时，其和最小？ 知识梳理 用基本不等式求最值 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值 已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 注意点： (1)口诀：和定积最大，积定和最小． (2)应用基本不等式求最值时，应把握不等式成立的条件：一正、二定、三相等． 角度1　积和为定值求最值 例1　(1)若a>0，b>0，a＋2b＝5，则ab的最大值为(　　) A．25 B. C. D. (2)若0<x<，则y＝2x·(1－3x)的最大值是________． (3)设实数x满足x>－1，则函数y＝x＋的最小值为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 角度2　常数代换法 例2　已知x>0，y>0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． 延伸探究 1．若把本例的条件“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值． 2．若把本例的条件“＋＝1”改为“x＋8y＝xy”，其他条件不变，求x＋2y的最小值． 跟踪训练1　(1)若x<0，求＋3x的最大值． (2)已知x，y均为正数，且＋＝1，求x＋y的最小值． 二、基本不等式的实际应用 例3　2020年6月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，至此北斗全球卫星导航系统星座部署全面完成．长征三号乙运载火箭的设计生产采用了很多新技术新材料，甲工厂承担了某种材料的生产，并以x千克/时的速度匀速生产(为保证质量要求1≤x≤10)，每小时可消耗A材料(kx2＋9)千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A材料10千克． (1)设生产m千克该产品，消耗A材料y千克，试把y表示为x的函数； (2)要使生产1 000千克该产品消耗的A材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A材料最少为多少？ 跟踪训练2　某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1 m宽的通道，沿前侧内墙保留3 m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？ 1．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是(　　) A．400 B．100 C．40 D．20 2．已知0<x<1，则x(3－3x)取最大值时x的值为(　　) A. B. C. D. 3．若a>0，b>0，且a＋b＝1，则＋的最小值为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 4．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元． 1．已知a>0，b>0且2a＋b＝2，则ab的最大值为(　　) A. B. C. D．1 2．设x，y为正数，则(x＋y)的最小值为(　　) A．6 B．9 C．12 D．7 3．已知实数a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝2，则＋的最小值为(　　) A．9 B. C．5 D．4 4．若对于任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　) A. B. C．(0，＋∞) D．(5，＋∞) 5．(多选)已知x>0，y>0，x＋y＝p，xy＝s，则下列命题正确的是(　　) A．如果s是定值，那么当且仅当x＝y时p的值最大 B．如果s是定值，那么当且仅当x＝y时p的值最小 C．如果p是定值，那么当且仅当x＝y时s的值最大 D．如果p是定值，那么当且仅当x＝y时s的值最小 6．(多选)已知某出租车司机为升级服务水平，购入了一辆豪华轿车投入运营，据之前的市场分析得出每辆车的营运总利润y(万元)与运营年数x的关系为y＝－x2＋12x－25，则下列判断正确的是(　　) A．车辆运营年数越多，收入越高 B．车辆在第6年时，总收入最高 C．车辆在前5年的平均收入最高 D．车辆每年都能盈利 7．已知a>0，b>0，＋＝4，则a＋4b的最小值为________． 8．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 9．已知正数x，y满足x＋y＝1. (1)求xy的最大值； (2)求＋的最小值． 10．某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比，比例系数为k，轮船的最大速度为15海里/小时．当船速为10海里/小时时，它的燃料费是每小时96元，其余航行运作费用(不论速度如何)总计是每小时150元，假定运行过程中轮船以速度v匀速航行． (1)求k的值； (2)求该轮船航行100海里的总费用W(燃料费＋航行运作费用)的最小值． 11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　) A．－ B. C. D．－4 12．(多选)一个矩形的周长为l，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对(S，l)的有(　　) A．(1,4) B．(6,8) C．(7,12) D. 13．若0<x<，则x的最大值为(　　) A．1 B. C. D. 14．设a，b∈R，a2＋b2＝k(k为常数)，且＋的最小值为1，则k的值为(　　) A．1 B．4 C．7 D．9 15．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，若不等式a≤x＋y恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，12] B．(－∞，14] C．(－∞，16] D．(－∞，18] 1 学科网（北京）股份有限公司 $$