3.2.1基本不等式的证明学案-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

3.2.1　基本不等式的证明 学习目标　1.了解基本不等式的证明过程.2.能利用基本不等式证明简单的不等式.3.会利用基本不等式求简单的函数的最值． 导语 国际数学家大会是世界上数学家的盛会，如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中证明勾股定理时采用了该图形，你能找到正方形ABCD的面积与四个直角三角形的面积之和的大小关系吗？带着这个问题我们继续研究不等式的相关知识． 一、基本不等式的推导与证明 问题1　我们可以将(a－b)2≥0变形，有不等式a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．该不等式对任意的实数a，b都能成立，我们称该不等式为重要不等式．现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论？ 问题2　上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的a>0，b>0都能成立？请给出证明． 知识梳理 基本不等式：如果a，b是正数，那么≤，当且仅当a＝b时，等号成立．我们把不等式≤(a，b≥0)称为基本不等式． 对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数． 注意点： (1)均值不等式常见的变形：①当a＞0，b＞0，则a＋b≥2；②当a＞0，b＞0，则ab≤2. (2)两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等． 例1　(1)若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　) A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2 C.＋> D.＋≥2 (2)不等式a＋1≥2(a>0)中等号成立的条件是(　　) A．a＝0 B．a＝ C．a＝1 D．a＝2 跟踪训练1　下列不等式的推导过程正确的是________．(填序号) ①若x>1，则x＋≥2＝2； ②若x<0，则x＋＝－ ≤－2＝－4； ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 二、用基本不等式证明不等式 例2　已知a，b，c均为正实数，且a＋b＋c＝1. 求证：≥8. 延伸探究　例2的条件不变，求证：＋＋≥9. 跟踪训练2　已知a，b，c为正数，求证：＋＋≥3. 三、用基本不等式求最值 例3　(1)若x>0，求＋4x的最小值； (2)若x<1，求＋x的最大值． 跟踪训练3　(1)当x>1时，求2x＋的最小值； (2)求函数f(x)＝的最小值． 1．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 2．已知a>0，b>0，a＋b＝4，则下列各式中正确的是(　　) A.＋≤ B.＋>1 C.≤2 D.≥1 3．如果a>0，那么a＋＋2的最小值是______． 4．设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2 1．(多选)下列条件可使＋≥2成立的有(　　) A．ab>0 B．ab<0 C．a>0，b>0 D．a<0，b<0 2．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| 3．已知x>－2，则x＋的最小值为(　　) A．－ B．－1 C．2 D．0 4．已知m＝a＋(a>2)，n＝4－b2(b≠0)，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．不确定 5．(多选)设y＝x＋－2，则(　　) A．当x>0时，y有最小值0 B．当x>0时，y有最大值0 C．当x<0时，y有最大值－4 D．当x<0时，y有最小值－4 6．若0<a<b，则下列不等式一定成立的是(　　) A．a>>>b B．b>>>a C．b>>>a D．b>a>> 7．函数y＝4x＋(x>－1)的最小值是________． 8．已知x<0，则x＋的最大值是________． 9．设a，b为正实数，求证：(a＋b)(a2＋b2)(a3＋b3)≥8a3b3. 10．设x>－1，求的最小值． 11．式子的最小值为(　　) A．3 B．4 C．6 D．8 12．下列不等式中一定成立的是(　　) A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C．x2＋≥2 D.≥ 13．(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab 1 学科网（北京）股份有限公司 $$