3.1不等式的基本性质学案-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

学习目标　1.了解等式的基本性质.2.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题.3.初步学会用作差法(作商法)比较两实数的大小． 一、作差法比较大小 问题1　在初中，我们知道由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢？ 知识梳理 基本事实 依据 a>b⇔a－b>0 a＝b⇔a－b＝0 a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 注意点： (1)利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式． (2)对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小． (3)对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小． 例1　已知a，b均为正实数．试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 延伸探究 1．若a>0，b>0，则比较a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小． 2．对于an＋bn，你能有一个更具一般性的猜想吗？ 跟踪训练1　比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． 二、不等式的性质 问题2　你能根据下列等式的性质，类比出不等式的性质吗？ (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc. 知识梳理 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0， c>d>0⇒ac>bd 同向 注意点： (1)可加性是不等式中移项的根据． (2)应用同向可加性时，应注意“同向”． (3)同向同正可乘性应注意数的正负． 例2　(1)对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b>0，则> C．若a<b<0，则> D．若a>b，>，则a>0，b<0 (2)已知－1<x<4,2<y<3. ①求x－y的取值范围； ②求3x＋2y的取值范围． 延伸探究　若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围． 跟踪训练2　(1)(多选)若<<0，则下面四个不等式成立的有(　　) A．|a|>|b| B．a<b C．a＋b<ab D．ab>a2 (2)已知1<a<6,3<b<4，则a－b的取值范围是________，的取值范围是________． 三、利用不等式性质证明不等式 例3　已知a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 延伸探究　若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>. 跟踪训练3　已知c>a>b>0，求证：>. 1．设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．a－c>b－d B．ac>bd C．a＋c>b＋d D．a＋d>b＋c 2．已知x<a<0，则下列不等式一定成立的是(　　) A．x2<a2<0 B．x2>ax>a2 C．x2<ax<0 D．x2>a2>ax 3．若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是(　　) A．y1>y2 B．y1＝y2 C．y1<y2 D．随x值变化而变化 4．若1<a<2，－1<b<3，则a－b的取值范围是________． 1．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(　　) A.< B.< C．a2<b2 D．|a|>|b| 2．(多选)已知a，b，c，d∈R，则下列命题中错误的是(　　) A．若a>b，c>d，则a＋b>c＋d B．若a>－b，则c－a<c＋b C．若a>b，c<d，则> D．若a2>b2，则－a<－b 3．设a>1>b>－1，则下列不等式中恒成立的是(　　) A.< B.> C．a2>2b D．a>b2 4．已知0<a1<1,0<a2<1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M<N B．M>N C．M＝N D．M≥N 5．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是(　　) A．－3<a－|b|≤3 B．－3<a－|b|<5 C．－3<a－|b|<3 D．1<a－|b|<4 6．(多选)设a，b，c，d为实数，且a>b>0>c>d，则下列不等式正确的是(　　) A．c2<cd B．a－c<b－d C．ac>bd D.－>0 7．若－1<m<1，－1<n<1，则m－n的取值范围是________． 8．若A＝＋3与B＝＋2，则A________B．(填“>”“<”“≥”“≤”或“＝”) 9．利用不等式的性质证明下列不等式： (1)若a<b，c<0，则(a－b)c>0； (2)若a<0，－1<b<0，则a<ab2<ab. 10．已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小． 11．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y| 12．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中的一个重要参数，其值通常在(0,1)之间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机，则该手机的“屏占比”和升级前比的变化是(　　) A．“屏占比”不变 B．“屏占比”变小 C．“屏占比”变大 D．变化不确定 13．若a>b>0，则下列不等式中恒成立的是(　　) A.> B．a＋>b＋ C．a＋>b＋ D.> 1 学科网（北京）股份有限公司 $$