2.2充分条件、必要条件、充要条件学案-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

学习目标　1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系.3.理解充要条件的意义，会判断一些简单的充要条件问题． 一、充分条件与必要条件 问题1　如何理解“绳锯木断”“水滴石穿”？“木断”是否一定是因为“绳锯”？“石穿”是否一定是因为“水滴”？ 知识梳理 充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q(读作p推出q) p⇏q(读作p不能推出q) 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后． (2)如果p⇒q，那么称p是q的充分条件或q是p的必要条件． (3)改变说法，“p是q的充分条件”还可以换成“q的一个充分条件是p”；“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 例1　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)p：a∈Q，q：a∈R； (2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)(x－2)＝0； (3)已知x∈R，p：x>2，q：x>4. 跟踪训练1　(1)“x>2”是“x2>4”的________条件． (2)指出下列哪些命题中q是p的必要条件？ ①在△ABC中，p：∠B与∠C互余，q：△ABC为直角三角形； ②p：|x|>2，q：x>2. 二、充要条件 问题2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题是真命题？如果条件和结论互换，这些命题的真假又是怎样的呢？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根，则ac<0； (4)若A∪B是空集，则A与B均是空集． 知识梳理 1．一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p. 2．如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为“p与q等价”，或“p等价于q”． 注意点： (1)如果p⇒q且q⇏p，则称p是q的充分不必要条件． (2)如果p⇏q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． (3)如果p⇏q且q⇏p，则称p是q的既不充分又不必要条件． 例2　(1)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． ①p：x＝1，q：x－1＝； ②p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； ③p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2； ④p：a是自然数；q：a是正数． (2)已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 跟踪训练2　(1)指出下列各组命题中，p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”)． ①p：x2>0，q：x>0； ②p：a能被6整除，q：a能被3整除； ③p：两个角不都是直角，q：两个角不相等； ④p：A∩B＝A，q：∁UB⊆∁UA. (2)已知当a<0时，设p：3a<x<a，q：x<－4或x≥－2.若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 三、判定定理、性质定理与充分、必要条件 知识梳理 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件，性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件． 例3　指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述． (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形； (2)正方形的对角线互相垂直且相等． 跟踪训练3　指出下面的定理是判定定理还是性质定理，并用充分、必要条件的语言来表述． (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 1．(多选)使x>4成立的一个充分条件是(　　) A．x>5 B．x>6 C．x>3 D．x<3 2．“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的(　　) A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．给出定理“等腰梯形在同一底上的两个角相等”，下列说法正确的是(　　) A．该定理是判定定理，可用充分条件的语言来表述 B．该定理是判定定理，可用必要条件的语言来表述 C．该定理是性质定理，可用充分条件的语言来表述 D．该定理是性质定理，可用必要条件的语言来表述 4．若“－1<x<3”是“x>2a－3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________． 1．“m≥－1”是“m≥－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(多选)使ab>0成立的充分条件是(　　) A．a>0，b>0 B．a＋b>0 C．a<0，b<0 D．a>1，b>1 3．使x>1成立的一个必要条件是(　　) A．x>0 B．x>3 C．x>2 D．x<2 4．“1<x<2”是“x≤2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．设a，b∈R，则“ab＋1＝a＋b”的充要条件是(　　) A．a，b都为1 B．a，b不都为1 C．a，b中至少有一个为1 D．a，b都不为0 6．(多选)下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A．p：a是无理数，q：a2是无理数 B．p：四边形为等腰梯形，q：四边形对角线相等 C．p：x>2，q：x≥1 D．p：a>b，q：ac2>bc2 7．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件． 8．已知“p：x>m＋3或x<m”是“q：－4<x<1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________． 9．指出下列命题中，p是q的什么条件？ (1)p：x2＝2x＋1，q：x＝； (2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0； (3)p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 10．设命题p：≤x≤1；命题q：a≤x≤a＋1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 11．设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(　　) A．x＋y＝2 B．x＋y>2 C．x2＋y2>2 D．xy>1 12．“函数y＝x2－2ax＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 13．已知p：x<－2或x>10，q：x<1＋a或x>1－a.若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$