第02讲：因式分解-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第02讲：因式分解 【考点梳理】 考点一、公式法(立方和、立方差公式) 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 考点二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 考点三、十字相乘法 1．型的因式分解 (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. 2．一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【题型突破】 题型一：提取公因式和公式法因式分解 1．下列各式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．分解因式： ． 3．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：分组分解法 4．常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式： 5．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 6．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 题型三：十字相乘法 7．已知，则的值为 ． 8．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解：（1）；（2）． 9．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 题型四：因式分解的综合 10．在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 11．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 12．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 【专题突破】 一、单选题 13．下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 14．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 15．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 16．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： ①因式分解：； ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形； ③若a，b，c为实数且满足，则以a，b，c作为三边能构成三角形． 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 17．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 18．下列因式分解结果正确的是(　　) A． B． C． D． 19．若（和不相等），那么式子的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 20．下列因式分解，正确的是（  ） A． B． C． D． 21．将多项式因式分解，结果为（   ） A． B． C． D． 22．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 23．若多项式可分解为，则的值为 ． 24．分解因式 ． 25．已知，则的值是 ． 26．若，则 ． 27．阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（为常数）有一个因式为，则因式分解 ． 28．若，则，的大小关系是 ． 29．已知，，，则代数式的值是 ． 30．对于二次三项式（为常数），有下列结论： ①若，且，则； ②若，则； ③若，则无论为何值，； ④若，且，其中为整数，则可能的取值有8个．其中正确的是 ．（只填写序号） 三、解答题 31．阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 32．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，原式 请根据上述材料将下列多项式进行因式分解： (1) (2) 33．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为 (为整数 因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成 (为整数． 例如：． 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______； 【拓展应用】（3）分解因式：． 34．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得： ．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 35．阅读理解：待定系数法是设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即：，展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：可以求出．所以． (1)若取任意值，等式恒成立，则________； (2)已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式； (3)根据（2）可将多项式分解因式为________．（直接写答案） 36．在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是． ③于是． 根据对应项系数相等，得，则． ④所以． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解：． 解：①把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． ②因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 请继续完成下列步骤： ③填空：______，______； ④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解； ⑤多项式因式分解的结果为______． (2)利用“试根法”因式分解：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲：因式分解 【考点梳理】 考点一、公式法(立方和、立方差公式) 这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)． 运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解． 考点二、分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组． 考点三、十字相乘法 1．型的因式分解 (1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和． . 因此，. 2．一般二次三项式型的因式分解 大家知道，． 反过来，就得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成． 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【题型突破】 题型一：提取公因式和公式法因式分解 1．下列各式分解因式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键． 利用因式分解的平方差公式、提公因式法逐个分解得结论． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意． 故选：D． 2．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查提公因式法，公式法分解因式，先提取公因式，再运用完全平方公式进行分解因式即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（）利用提公因式法即可求解； （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）利用平方差公式因式分解即可； （）先利用分组分解法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ， ， ； （4）解：原式 ， ． 题型二：分组分解法 4．常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法，但有一部分多项式只用上述方法就无法分解，如.通过观察，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解： ，这种分解因式的方法叫分组分解法.利用上述方法分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分组法分解因式．熟练掌握分组分解法依据，完全平方公式分解因式，平方差公式分解因式，是解决问题的关键． 前三项分为一组，后一项分为一组，前三项先用完全平方公式分解，而后整体用平方差公式分解． 【详解】 ． 故答案为：． 5．在学习完“因式分解”这章内容后，为了开拓学生的思维，张老师在黑板上写了下面两道题目让学生解答： 因式分解：（1）；（2）． 下面是晶晶和小舒的解法： 晶晶： （分成两组） （直接提公因式） 小舒： （分成两组） （直接运用公式） 请在她们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解：； (2)若，，求的值； (3)已知的三边a，b，c满足，是什么三角形？ 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形 【分析】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． （1）分组，先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可； （2）分组，利用提公因式法分解，整体代入求解即可； （3）整理后，利用完全平方公式分解，再利用三边关系即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． ∵，， ∴原式； （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴是等腰三角形． 6．先阅读以下材料，然后解答问题： 以上分解因式的方法称为分组分解法． (1)请用分组分解法分解因式： ①    ② (2)拓展延伸 ①若，求x，y的值； ②求当x、y分别为多少时，代数式有最小值，最小的值是多少？ 【答案】(1)； (2)①；②当，时，代数式有最小的值，最小的值是 【分析】本题考查了分组分解法分解因式，公式法分解因式； （1）根据分组分解法分解因式即可；根据分组分解法分解因式即可； （2）利用完全平方式分解因式即可求解；利用完全平方式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ； ②解： ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ② ∵，， ∴，时，代数式有最小的值，最小的值是．此时， ∴，， 即当，时，代数式有最小的值，最小的值是． 题型三：十字相乘法 7．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握用十字相乘法进行因式分解，将变形后再因式分解为，求出x的值，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 当时，原式， 当时，原式， 故答案为： 8．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的． 观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）． 说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）． 于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解． 尝试运用：例题：把多项式因式分解． 请利用上述方法将下列多项式因式分解： （1）； （2）． 【答案】观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2） 【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式： 观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可； 说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可； （1）仿照题意分解因式即可； （2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可． 【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即， 故答案诶：； 说理验证：由题意得， 故答案为：，，，； （1） ； （2） ． 9．利用整式的乘法运算法则推导得出：．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得．通过观察可把看作以x为未知数，a、b、c、d为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数与常数项分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则． 根据阅读材料解决下列问题： (1)用十字相乘法分解因式：； (2)用十字相乘法分解因式：； (3)结合本题知识，分解因式：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）利用十字相乘法进行求解即可； （2）利用十字相乘法进行求解即可； （3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ； （3）解： ， ． 题型四：因式分解的综合 10．在有理数范围分解因式 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法和公式法因式分解是解决此题的关键． （1）利用提公因式法因式分解即可； （2）把看着一个整体，利用完全平方公式因式分解即可； （3）设，先计算，再分解关于a的多项式，然后代入还原继续因式分解即可； （4）利用分组分解法，利用两次完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） （3）设， 则原式， ， ∴原式 （4） ， . 11．材料：把多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如：． (1)分解因式： (2)若a，都是正整数且满足，求的值； (3)若a，b为实数且满足 ， ，求S的最小值． 【答案】(1) (2) (3)S的最小值为6 【分析】本题考查了分组分解法因式分解，完全平方的非负性质，整体代入是解题的关键． （1）根据题意分组分解即可； （2）将变形为，再按照分组分解法可得，根据a，都是正整可求出a、b的值，进而可求出的值； （3）先由得，然后整体代入S中得，再将S分组，然后转化成，根据完全平方的非负性，即可求出S的最小值． 【详解】（1） ； （2）由得， ， ， ， ， ， ， ，， 解得，， ； （3）由得， ， ， ，， ， 当，时， ， ∴S的最小值为6． 12．八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式； 解法二：原式． 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 【类比】（1）请用分组分解法将因式分解； 【挑战】（2）请用分组分解法将因式分解； （3）若，，请用分组分解法先将因式分解，再求值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可； （2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可； （3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由，，整体代入得出答案即可． 此题主要考查了分组分解法，提取公因式法，公式法分解因式，以及整体代入法求代数式的值，正确分组再运用提公因式法或公式法分解因式，是解决问题的关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 当，时，原式． 【专题突破】 一、单选题 13．下列因式分解不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法因式分解，正确应用乘法公式是解题关键． 利用提取公因式，公式法分解得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意； B. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意； C. ，原因式分解错误，故此选项符合题意； D. ，原因式分解正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 14．设三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形的形状是（　　） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了公式法分解因式，勾股定理的逆定理，正确分组并灵活运用公式是解题的关键． 把、、组合在一起，用完全平分公式分解因式，再与一起用平方差分解因式，根据因式的积为0，可得，用勾股定理的逆定理判定即可． 【详解】解： ∵， ∴ ∵a、b、c是三角形的三边， ∴ ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 15．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，分别对各项因式分解，再逐一判断即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：、，该选项正确，符合题意； 、不是完全平方公式，不能因式分解，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 16．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式分解法无法直接分解的．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如：．下列说法： ①因式分解：； ②若a，b，c是的三边长，且满足，则为等腰三角形； ③若a，b，c为实数且满足，则以a，b，c作为三边能构成三角形． 其中正确的个数有（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的判定，构成三角形的条件；①将进行分组再因式分解，即可判断；②通过分组因式分解得，再进行下一步因式分解，即可判断；③将原等式化成，再进行因式分解，由构成三角形的条件，即可判断；能根据式子的特点进行恰当的分组，灵活运用因式分解法是解题的关键． 【详解】解：① ； 故符合题意； ②， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； 故符合题意； ③， ， ， ，，， ，，， ， ∴以a，b，c作为三边不能构成三角形， 故不符合题意； 故选：C． 17．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解．熟练掌握综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解的是解题的关键． 根据综合提公因式、公式法，提公因式法，运用平方差公式进行因式分解对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：A中，因式分解不彻底，故不符合要求； B中，因式分解不彻底，故不符合要求； C中，不是因式分解，故不符合要求； D中，因式分解正确，故符合要求； 故选：D． 18．下列因式分解结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，将各式因式分解后进行判断即可． 【详解】，则A不符合题意； ，则B不符合题意； 无法因式分解，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 19．若（和不相等），那么式子的值为（    ） A．2022 B． C．2023 D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，代数式求值．根据题意，得到，进而得到，推出，将变形为，将，，整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵和不相等， ∴， ∴ ； 故选B． 20．下列因式分解，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式是解题的关键． 根据提公因式法、公式法，十字相乘法分解因式对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：，错误，故A不符合要求； ，正确，故B符合要求； ，错误，故C不符合要求； ，错误，故D不符合要求； 故选：B． 21．将多项式因式分解，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先提取公因式，再对余下的项进行合并，整理，然后观察，如果能够分解的一定要分解彻底，如果不能分解，就是最后的结果． 【详解】解： ， 故选：C． 【点睛】本题考查用提公因式法进行因式分解的能力，难点在于把看作一个整体． 22．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式因式分解，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 二、填空题 23．若多项式可分解为，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握多项式乘以多项式的法则．先将的括号展开，求出a和b的值，代入求解即可． 【详解】解：， ∵多项式可分解为， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：2． 24．分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，涉及提公因式法因式分解及公式法因式分解，根据题中所给多项式的结构特征，先提公因式，再由平方差公式因式分解即可得到答案，灵活应用提公因式法及公式法因式分解是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 25．已知，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查因式分解法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，学会利用整体代入的思想解决问题．因式分解后利用整体代入的思想即可解决问题． 【详解】解：， ， 原式， 故答案为3 26．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握．题型可以简单总结为以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简，该题属于①，将代数式化简再将已知条件代入计算． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：2． 27．阅读材料：若（为常数）有一个因式为，则如何因式分解？ 解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解． 若（为常数）有一个因式为，则因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解求参数、以及通过列竖式做多项式除法进行因式分解，由题意同理求出中的值，再通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，即可解题． 【详解】解：（为常数）有一个因式为， 当时，有， 即当时，有， 解得， 多项式为， ， 故答案为：． 28．若，则，的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为， ， ， 所以． 29．已知，，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】由题意得到，，，再把要求的代数式用完全平方公式进行因式分解，整体代入即可得到答案． 【详解】∵，，， ∴，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键． 30．对于二次三项式（为常数），有下列结论： ①若，且，则； ②若，则； ③若，则无论为何值，； ④若，且，其中为整数，则可能的取值有8个．其中正确的是 ．（只填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】根据完全平方公式以及十字相乘法因式分解以及多项式乘以多项式的运算法则进而判断得出答案即可． 【详解】解：①若，且， 则有， ∴， 故说法①错误； ②若， ∴， ∴， ∴， 故说法②正确； ③若，则， 则， ∵， ∴， 故说法③错误； ④若，且， 则， ∴， ∵为整数， ∴或或或或或或或， ∴或或或或或或或共种， 故说法④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了完全平方公式以及多项式乘以多项式，十字相乘法因式分解等知识点，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则以及乘法公式是解本题的关键． 三、解答题 31．阅读材料，拓展知识． 第一步：要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出公因式a，再把它的后两项分成一组，提出公因式b，从而可得：，这种方法称为分组法． 第二步：理解知识，尝试填空． （1）______． 第三步：应用知识，解决问题． （2）因式分解： ①______． ②______． 第四步：提炼思想，拓展应用． （3）已知三角形的三边长分别是a、b、c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）这个三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了因式分解的分组分解方法，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）仿照例题，先分组，再利用提取公因式法分解即可； （2）①先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； ②先分组，用提取公因式法分解，再用平方差公式分解即可； （3）移项后分解因式，可得出，则可得出答案． 【详解】解：（1） 故答案为：； （2）① ； ② ； （3）这个三角形为等边三角形． 理由如下： ∵， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这个三角形是等边三角形． 32．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设，原式 请根据上述材料将下列多项式进行因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用完全平方公式及换元法进行因式分解： （1）设，参照材料中的方法进行因式分解； （2）设，参照材料中的方法进行因式分解． 【详解】（1）解：设， 原式 ； （2）解：设， 原式 ． 33．【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为 (为整数 因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成 (为整数． 例如：． 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 34．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得： ．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题： (1)尝试填空： ； (2)解决问题：因式分解：； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个三角形为等边三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意掌握分组法进行因式分解是解题的关键． （1）把和看做一组，分别提取公因数2，公因式y，得到，再提取公因式即可得到答案； （2）把和看做一组，分别提取公因数c和用平方差公式分解因式，得到，再提取公因式即可得到答案； （3）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：这个三角形为等边三角形，理由如下： ， ， ， ，， ，， ， 这个三角形为等边三角形． 35．阅读理解：待定系数法是设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值．待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解．因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，即：，展开等式右边得：，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：可以求出．所以． (1)若取任意值，等式恒成立，则________； (2)已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式； (3)根据（2）可将多项式分解因式为________．（直接写答案） 【答案】(1) (2)另一因式为 (3) 【分析】此题考查多项式乘以多项式法则、因式分解的实际运用； （1）直接对比系数得出答案即可； （2）根据多项式有因式设，根据多项式乘以多项式法则展开，对比系数即可得答案． （3）先因式分解，结合（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵等式恒成立， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． （2）解：∵多项式有因式， ∴设， ， ， ∴，，， 解得：，， ∴另一因式为． 又∵， ∴， 即另一因式为； （3）解：∵， ∴ ， 故答案为：． 36．在因式分解的学习过程中，我们知道可以利用提公因式法或公式法将部分多项式分解因式．下面以为例，介绍一种新的因式分解法——试根法． ①观察发现，时，，说明是方程的一个解（或“根”）．由此推断分解后有一个因式是． ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，另一个因式只能是一次式且一次项系数为7，所以设另一个因式是． ③于是． 根据对应项系数相等，得，则． ④所以． 以上因式分解的方法叫“试根法”． 利用“试根法”，解决下面的问题： (1)因式分解：． 解：①把代入该式，得．所以该多项式分解后有一个因式是． ②因为原多项式最高次项系数为2，所以设另一个因式是． 请继续完成下列步骤： ③填空：______，______； ④观察的各项系数特点，利用“试根法”对进行因式分解； ⑤多项式因式分解的结果为______． (2)利用“试根法”因式分解：． 【答案】(1)（1）③，；④；⑤ (2) 【分析】本题主要考查因式分解的拓展，解题的关键在于准确理解题意找到试根法的运算技巧. （1）③把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；④通过试根确定两个因式为和，再把两个因式相乘，利用根据对应项系数相等建立方程求解即可；⑤直接利用前面的结论把三个因式写成积的形式即可； （2）先用试根法分解为，再用试根法把分解为，最后综合在一起即可． 【详解】（1）解：③由题意，得， 根据对应项系数相等，得， 解得：， 故答案为：； ④当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， ∴； ⑤， 故答案为：； （2）解：当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， 又当时，，所以该多项式分解后有一个因式是，设另一个因式是． 于是， 根据对应项系数相等，得， 解得：， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$