高一数学期末模拟试卷-2023-2024学年高一数学人教B版2019

2023-2024学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 4．人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 8．如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（    ）      ①直线平面 ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线与所成角的取值范围是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知是所在平面内一点，，则下列命题是真命题的是（    ） A．外接圆的半径为 B．内切圆的半径为 C．若为的垂心，则在上的投影向量为 D．若为的外心，则在上的投影向量为 10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，，则（    ） A． B． C． D．外接圆的半径为 11．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则 . 13．已知是第二象限角，且，则 . 14．在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知复数． (1)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围； (2)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为A，B，求线段AB的长度． 16．已知向量满足，，且在上的投影向量为. (1)求及的值； (2)若，求的值. 17．已知函数. (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)求函数在上的值域. 18．记的内角的对边分别为，若，且. (1)求及； (2)若点在边上，且，求的面积. 19．在平行四边形中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥. (1)求证： 平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·辽宁·期末）已知复数，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】利用复数的运算结合复数的几何意义求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 2．（21-22高一下·福建莆田·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】由三角形内角和可判断A项，由三角形中大边对大角可判断B项，由正弦定理解三角形可判断C项，由余弦定理解三角形可判断D项. 【详解】对于A项，由，，可得，所以三角形只有一解； 对于B项，由，，，可得，所以，此时三角形有唯一的解； 对于C项，由正弦定理，可得， 可得B有两解，所以三角形有两解； 对于D项，由余弦定理得， 可得c有唯一的解，所以三角形只有一解． 故选：C． 3．（23-24高一下·辽宁·期末）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象的变换可得变换后的解析式. 【详解】根据题意可得，则. 故选：C. 4．（23-24高一下·贵州贵阳·期末）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法．假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为．已知，，若P，Q的余弦距离为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，得到方程，求出，由诱导公式求出答案. 【详解】， 故， 所以，则. 故选：C 5．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义求出，结合投影向量的定义即可求解. 【详解】由题意知，， 所以在上的投影向量为. 故选：B 6．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可代入求解. 【详解】， 故选：D 7．（23-24高一下·福建福州·期末）如图，四边形的斜二测画法直观图为等腰梯形．已知，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．四边形的周长为 D．四边形的面积为 【答案】D 【分析】利用斜二测画法将图形还原计算几何图形的面积与周长以及相关. 【详解】如图可知 ， 四边形的周长为，四边形的面积为. 故选:D. 8．（22-23高一下·天津和平·期末）如图，在正方体中，点在线段上运动，则以下命题正确的序号为（    ）      ①直线平面 ②平面与平面的夹角大小为 ③三棱锥的体积为定值 ④异面直线与所成角的取值范围是 A．①② B．①③ C．①③④ D．①④ 【答案】B 【分析】由线面垂直的性质定理与判定定理证明直线平面判断①，找出平面角后可判断②，由线面平行的性质可判断③，由异面直线所成的角的定义判断④． 【详解】如图，连接，正方形中，， 正方体的棱平面，平面，， ，平面，所以平面， 又平面，所以，同理． ，平面，所以平面，①正确； 因为平面，平面，所以， 又平面平面，，平面，平面， 则是平面与平面的夹角，显然三角形为等腰直角三角形，则该角大小为，②错； 因为，，，所以， 所以四边形为平行四边形，因此有， 又平面，平面，所以平面， ，因此到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，③正确； 由于，因此异面直线与所成角就是与所夹的角， 即图中或，设正方体棱长为1，易知， 当点为中点时，此时， 因为 是等边三角形，在线段，因此或中较小的角的范围是，④错误． 故选：B．    【点睛】关键点睛：本题对于较难的④的判断需要通过直线平移，从而将异面直线夹角进行转化，再根据等边三角形的性质和异面直线夹角的定义即可得到其范围. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·辽宁·期末）已知是所在平面内一点，，则下列命题是真命题的是（    ） A．外接圆的半径为 B．内切圆的半径为 C．若为的垂心，则在上的投影向量为 D．若为的外心，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解判断A；利用三角形面积公式计算判断B；利用投影向量的意义求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理得， 则外接圆的半径，A正确； 对于B，的面积为，设内切圆的半径为， 则，解得，B错误； 对于C，，若为的垂心， 则在上的投影向量为，C正确； 对于D，若为的外心，则在上的投影向量为，D正确. 故选：ACD 10．（22-23高一下·辽宁·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且，，则（    ） A． B． C． D．外接圆的半径为 【答案】AB 【分析】根据余弦定理可求出判断A，由余弦的半角公式求出判断C，再由余弦定理求出判断B，由正弦定理求外接圆半径判断D. 【详解】由余弦定理可知，，故A正确； 由，解得，故C错误； 由，解得，故B正确； 因为， 所以三角形外接圆直径，即，故D错误. 故选：AB 11．（23-24高一上·湖南益阳·期末）下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用和差角的正弦、二倍角公式逐项化简计算即得. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·河北邯郸·期末）已知向量，，若，则 . 【答案】/ 【分析】根据求出即可求解. 【详解】∵，∴，解得或， 则，. 故答案为： 13．（23-24高一上·浙江杭州·期末）已知是第二象限角，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式、二倍角的正弦公式化简即可得解. 【详解】因为是第二象限角，且， 所以，， 所以. 故答案为： 14．（23-24高一下·辽宁·期末）在棱长为4的正方体中，分别为线段上的动点，点为侧面的中心，则周长的平方的最小值为 . 【答案】/ 【分析】将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上，当三点在一条直线即可求出答案. 【详解】如图①，设侧面的中心为，根据正方体的结构特征可得： ， 则周长的最小值即的最小值. 将侧面绕着旋转至与平面在同一平面上， 将平面绕着旋转至与平面在同一平面上，如图②，则 ， 故周长的平方的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（22-23高一下·福建福州·期末）已知复数． (1)若在复平面内的对应点位于第二象限，求的取值范围； (2)若为纯虚数，设，在复平面上对应的点分别为A，B，求线段AB的长度． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解； （2）根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）在复平面内的对应点为， 因为点位于第二象限，所以，解得． 所以的取值范围为． （2）因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以，， ∴点，，∴, 所以． 16．（23-24高一下·四川成都·期末）已知向量满足，，且在上的投影向量为. (1)求及的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由投影向量的定义可求得，再由向量的夹角公式可求得； （2）由向量垂直建立方程，求解即可． 【详解】（1）因为，，且在上的投影向量为， 所以，所以， 所以， 因为，所以； （2）因为， 所以，即， 得，解得． 17．（23-24高一下·浙江衢州·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期和对称中心； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1)最小正周期为，对称中心为 (2) 【分析】（1）利用辅助角公式可得，可求周期与对称中心； （2）由，可得，可求值域. 【详解】（1）， 由，得函数的最小正周期为， 令，得，， 函数的对称中心为； （2）由（1）可得， ，， ， 函数的值域为. 18．（23-24高一下·四川成都·期末）记的内角的对边分别为，若，且. (1)求及； (2)若点在边上，且，求的面积. 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据三角恒等变换即可得，继而求解,由正弦定理边角互化即可求解, （2）根据向量的线性运算，结合模长公式可得，即可由面积公式求解. 【详解】（1）由得：， ， ，，故， 由于,所以， 由正弦定理以及可得，所以， （2） ， ， ， ， 由于，，所以，解得或（舍去） 所以 19．（23-24高一下·四川成都·期末）在平行四边形中，分别为的中点，将三角形沿翻折，使得二面角为直二面角后，得到四棱锥. (1)求证： 平面； (2)求证：平面平面； (3)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取中点，证明四边形是平行四边形，即可根据线线平行求证， （2）根据面面垂直的性质即可求解， （3）利用等体积法，求解点到平面的距离，即可求解. 【详解】（1）取中点，连接和， 因为，分别为，的中点，所以，且, 又，且, 所以，且． 所以四边形是平行四边形． 所以．平面,平面 故 平面 （2）由于在平行四边形中，分别为的中点， 所以，则， 因此，又，故， 由于二面角为直二面角，所以平面平面且两平面的交线为，又平面， 故平面， 平面，故平面平面. （3）由于平面平面且两平面的交线为，，平面，故平面, 由（2）知平面, 平面，故， 设点到平面的距离为，则，故， 设与平面所成角为，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$