第10讲 重难点拓展：“截长补短模型”证明三角形全等【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版）

第10讲 拓展专题：“截长补短模型”证明三角形全等 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法： ⑴过某一点作长边的垂线； ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法： ⑴延长短边。 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。 1．模型分析 当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明． 问题： 如图，在中，平分交于点，且，求证：． 截长法： 在上截取，连接，证明即可． 补短法： 延长至点，使，连接，证明即可． 请结合右边的证明结论．求证：． 请结合右边的【模型分析】证明结论． 求证：． 【截长法】 【补短法】 【分析】【截长法】在上截取，连接，证明，得到，再证明即可． 【补短法】延长到，使，连接，可得，由“”可证，可得，可得结论． 【解答】证明：【截长法】 在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，，又， ， 而， ， ， ． 证明：【补短法】 延长到，使，连接， ， ， ，且， ，且，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 题型归纳 【例1】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 如图，在中，，于D，求证：． 【例2】（2022秋•盱眙县期中）【初步探索】 （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系； 【灵活运用】 （2）如图2，为等边三角形，直线，为边上一点，交直线于点，且．求证：； 【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系． 【例3】．（2021秋•五峰县期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在中，，，为上任一点， 求证：． 【例4】．（2023秋•平桥区期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． （1）为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【例5】．（2021秋•泊头市期中）阅读在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 应用把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． （1）若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； （2）当时，、、三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） （3）如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？证明你的结论． 【例6】．（2023秋•建昌县期末）【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，装之间的数量关系 　 　． 【类比分析】 像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系． 过关检测 1.如图，在中，，的平分线交于点．求证：． 2.如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 3.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE. 4.如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 5．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 6.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 7.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC. 8.如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：． 9.已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，． 求证：． 10.在中，的平分线交于，，，求的大小． 11．已知：在中，，，求证：． 12.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE. 13.已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC 14.正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、 CF又有什么数量关系？ 15.正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 16.正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、 DE、BF又有什么数量关系？ 17．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，、分别平分、，与交于点O． （1）求的度数； （2）说明的理由． 18．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 19．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 拓展专题：“截长补短模型”证明三角形全等 截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段 在线段上截取 补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等 延长，使得 截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法： ⑴过某一点作长边的垂线； ⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 补短法： ⑴延长短边。 ⑵通过旋转等方式使两短边拼合到一起，证与长边相等。 1．模型分析 当题目中出现线段的和差关系时，考虑用截长补短法，该类题日中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，采用截长补短法进行证明． 问题： 如图，在中，平分交于点，且，求证：． 截长法： 在上截取，连接，证明即可． 补短法： 延长至点，使，连接，证明即可． 请结合右边的证明结论．求证：． 请结合右边的【模型分析】证明结论． 求证：． 【截长法】 【补短法】 【分析】【截长法】在上截取，连接，证明，得到，再证明即可． 【补短法】延长到，使，连接，可得，由“”可证，可得，可得结论． 【解答】证明：【截长法】 在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，，又， ， 而， ， ， ． 证明：【补短法】 延长到，使，连接， ， ， ，且， ，且，， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；此题利用了全等三角形中常用辅助线截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 题型归纳 【例1】截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题． 如图，在中，，于D，求证：． 解法一：（截长）在CD上截取，连接AE， ∵，∴， ∴， ∴，， ∴，∴， ∴． 解法二：（补短）延长CB到F，使，连接AF， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【例2】（2022秋•盱眙县期中）【初步探索】 （1）如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系； 【灵活运用】 （2）如图2，为等边三角形，直线，为边上一点，交直线于点，且．求证：； 【延伸拓展】 （3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系． 【分析】（1）由等边三角形知，，结合知，由知，证得，，再证是等边三角形得； （2）首先在上截取，由为等边三角形，易得是等边三角形，继而可证得，即可得，则可证得； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，进而推导得到，即可得出结论． 【解答】（1）解：如图1，延长到点，使，连接， 是等边三角形， ，， ， ， 又， ， ， ，， ，即， ， 即， 是等边三角形， ， 即； （2）证明：在上截取， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 直线， ， ， 在和中， ， ， ， ； 即． （3）解：； 证明：如图3，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 又， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 即， ． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 【例3】．（2021秋•五峰县期中）在“教、学、练、评一体化”学习活动手册中，全等三角形专题复习课，学习过七种作辅助线的方法，其中有“截长补短”作辅助线的方法． 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线段相等． 这两种方法统称截长补短法． 请用这两种方法分别解决下列问题： 已知，如图，在中，，，为上任一点， 求证：． 【分析】解法一：在上截取，使，连接，证明，得，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可； 解法二：延长到，使，连接，证明，得，再根据三角形的任意两边之差小于第三边证明即可． 【解答】解：解法一：如图，在上截取，使，连接， 在和中， ， ， ， 在中，， 即； 解法二：如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ， 在中，， 即． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【例4】．（2023秋•平桥区期中）阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． （1）为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程； （2）如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）在上截取，使得，连接， 平分， ， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为16． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【例5】．（2021秋•泊头市期中）阅读在证明线段和差问题时，经常采用截长补短法，再利用全等图形求线段的数量关系，截长法：将较长的线段截取为两段，证明截取的两段分别与给出的两段相等．补短法：延长较短两条线段中的一条，使得与较长线段相等，证明延长的那一段与另一条较短线段相等． 应用把两个全等的直角三角形的斜边重合，，组成一个四边形，以为顶点作，交边、于、． （1）若，，证明：；经过思考，小红得到了这样的解题思路：利用补短法，延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可求得结论．按照小红的思路，请写出完整的证明过程； （2）当时，、、三条线段之间有何数量关系？（直接写出你的结论，不用证明） （3）如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图③，其余条件不变，则、、之间有何数量关系？证明你的结论． 【分析】（1）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （2）延长到，使，证，推出，，证，推出即可； （3）在截取，连接，证，推出，，证，推出即可． 【解答】（1）证明：延长到，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （2）， 证明：延长到，使，连接， 由（1）知：， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． （3）， 证明：在截取，连接， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了四边形的综合题，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，运用了类比推理的方法，题目比较典型，但有一定的难度． 【例6】．（2023秋•建昌县期末）【问题初探】 （1）如图1，在四边形中，，．、分别是、上的点，且，探究图中，，之间的数量关系．甲同学探究此问题的方法：延长到点，使．连接．先证明，再证，请你根据甲同学的解题思路直接写出，，装之间的数量关系 　　． 【类比分析】 像（1）题一样，当已知（或求证）一条线段等于另外两条线段的和（或差）时，经常用到这种方法——截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，这样可以利用转化思想，把两条线段的和（或差）转化成一条线段，从而降低解题难度．请你用这种方法解答（2）． （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点．且，上述结论是否仍然成立？请说明理由． 【学以致用】 （3）如图3，在四边形中，，．若点在的延长线上，点在的延长线上，且，请直接写出与之间的数量关系． 【分析】（1）延长到点，使，由可得，有，，而，，可得，即可证，得，从而； （2）延长到点，使，连接，由，，得，可证，得，，而，故，根据可得，即得； （3）延长到，使，连接，由，，有，可知，得，，而，即可得，故，又，即得． 【解答】解：（1）延长到点，使，如图： ， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 延长到点，使，连接，如图： ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 即； （3），理由如下： 延长到，使，连接，如图： ，， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，角的和差等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 过关检测 1.如图，在中，，的平分线交于点．求证：． 方法一：（截长）在上截取，连接． 在和中 ，， ∴ ∴， 又∵ ∴，∴ ∴． 方法二：（补短）延长到点使得，连接． 在和中，，， ∴，∴ 又∵ ∴∴， ∴． 方法三：（补短）延长到点使得，连接 则有， 又∵，∴∴ ∴，∴ ∴AB+BD=AC 若题目条件或求证结论中含有“”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法. 2.如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B,∠1=∠2，求证：AB=AC+CD 解析：在AB上取一点E,使AE=AC, 连接DE, ∵AE=AC,∠1=∠2，AD=AD ∴△ACD≌△AED ∴CD=DE,∠C=∠3 ∵∠C=2∠B ∴∠3=2∠B=∠4+∠B ∴∠4=∠B，∴DE=BE,CD=BE ∵AB=AE+BE ∴AB=AC+CD 3.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE. 解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF, ∵CE⊥AB ∴CF=CB ∠CFB=∠B ∵∠AFC+∠CFB=180°，∠D+∠B=180° ∴∠D=∠AFC ∵AC平分∠BAD 即∠DAC=∠FAC 在△ACD和△ACF中 ∠D=∠AFC ∠DAC=∠FAC AC=AC ∴ACD≌△ACF（AAS） ∴AD=AF ∴AE=AF+EF=AD+BE 4.如图所示，AB∥CD,BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD. 解析： 在BC上取点F，使BF=AB ∵BE,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线 ∴∠ABE=∠FBE,∠BCE=∠DCE ∵AB∥CD ∴∠A+∠D=180° 在△ABE和△FBE中 AB=FB ∠ABE=∠FBE BE=BE ∴△ABE≌△FBE（SAS） ∴∠A=∠BFE ∴∠BFE+∠D=180° ∵∠BFE+∠EFC=180° ∴∠EFC=∠D 在△EFC和△EDC中， ∠EFC=∠D[来源:学§科§网] ∠BCE=∠DCE CE=CE ∴△EFC≌△EDC（AAS） ∴CF=CD ∵BC=BF+CF ∴BC=AB+CD 5．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 【答案】见解析 【分析】延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则． 【详解】证明：延长至点，使得，连接， 四边形中，，， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 6.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB． 【答案】证明见解析 【分析】如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论. 【详解】证明：如图，在上截取 平分 平分 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键. 7.如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O，求证：AE+CE=AC. 解析： 由题意可得∠AOC=120° ∴∠AOE=∠DOC=180°-∠AOC=180°-120°=60° 在AC上截取AF=AE，连接OF，如图 在△AOE和△AOF中， AE=AF ∠OAE=∠OAF OA=OA ∴△AOE≌△AOF（SAS） ∴∠AOE=∠AOF， ∴∠AOF=60° ∴∠COF=∠AOC-∠AOF=60° 又∠COD=60°， ∴∠COD=∠COF 同理可得：△COD≌△COF（ASA） ∴CD=CF 又∵AF=AE ∴AC=AF+CF=AE+CD 即AE+CD=AC 8.如图，是等边三角形，是顶角的等腰三角形，以D为顶点作一个角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，求证：． 延长AC到E点，使，连接DE，由题意可知 ，，，， ，，， ，， ，，， ，． 9.已知四边形ABCD是正方形，E、F分别在CB、CD的延长线上，． 求证：． 延长FD到G，使，连接AG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∴． 10.在中，的平分线交于，，，求的大小． 在上截取，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，∴ ∴， 11．已知：在中，，，求证：． 方法一：在上取一点，使，如图1， 在和中，，，． ∴． ∴，． 又∵ ∴， ∴ ∴． 方法二：延长到点，使，如图2， ∴． ∵，∴． 在和中，，，． ∴． ∴． ∵ ∴． 12.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,∠B+∠E=180°，求证：AD平分∠CDE. 解析：[来源:学&科&网] 延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC ∵∠1+∠2=180°，∠E+∠1=180° ∴∠2=∠E ∵AB=AE,∠2=∠E,BF=DE ∴△ABF≌△AED[来源:Z.xx.k.Com] ∠F=∠4，AF=AD ∵BC+BF=CD 即FC=CD 又∵AC=AC ∴△ACF≌△ACD ∴∠F=∠3 ∵∠F=∠4 ∴∠3=∠4 ∴AD平分∠CDE. 13.已知四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，AB=BC如图2，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,求证：∠PBQ=90°-∠ADC 解析： 如图2，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK, ∵∠ABC+∠ADC=180° ∴∠BAD+∠BCD=180° ∵∠BCD+∠BCK=180° ∴∠BAD=∠BCK 在△BAP和△BKC中 AP=CK ∠BAP=∠BCK AB=BC ∴△BPA≌△BKC（SAS）[来源:Z.xx.k.Com] ∴∠ABP=∠CBK,BP=BK ∵PQ=AP+CQ ∴PQ=QK ∵在△BPQ和△BKQ中 BP=BK BQ=BQ PQ=KQ ∴△BPQ≌△BKQ(SSS) ∴∠PBQ=∠KBQ ∴∠PBQ=∠ABC ∵∠ABC+∠ADC=180° ∴∠ABC=180°-∠ADC ∴∠ABC=90°-∠ADC ∴∠PBQ=90°-∠ADC 14.正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=60°，DB=DC，BDC=120°，请问现在EF、BE、 CF又有什么数量关系？ 数量关系为：EF=BE+FC，理由如下 延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG 由△ABC是正三角形得：ABC=ACB=60° 又∵DB=DC，BDC=120°，∴DBC=DCB=30° ∴DBE=ABC+DBC=60°+30°=90°，ACD=ACB+DCB=60°+30°=90° ∴GCD=180°ACD=90° ∴DBE=DCG=90° 又∵DB=DC，BE=CG，∴△DBE ≌△DCG（SAS） ∴EDB=GDC， DE=DG 又∵DBC=120°=EDB+EDC=GDC+EDC=EDG ∴GDF=EDGEDF=12060°=60° ∴GDF=EDF=60° 又∵DG=DE，DF=DF ∴△GDF ≌△EDF（SAS） ∴EF=GF=CG+FC=BE+FC 15.正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45°，请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？ 数量关系为：EF=BFDE．理由如下： 在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG 由四边形ABCD是正方形得 ADE=ABG=90°，AD=AB 又DE=BG ∴△ADE ≌△ABG（SAS） ∴EAD=GAB，AE=AG 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90°=DAG+GAB=DAG+EAD=GAE ∴GAF=GAEEAF=90°45°=45° ∴GAF=EAF=45° 又∵AG=AE，AF=AF ∴△EAF ≌△GAF（SAS） ∴EF=GF=BFBG=BFDE 16.正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45°，请问现在EF、 DE、BF又有什么数量关系？ 数量关系为：EF=DEBF.理由如下： 在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG 由四边形ABCD是正方形得 ADG=ABF=90°，AD=AB 又∵DG=BF ∴△ADG ≌△ABF（SAS） ∴GAD=FAB，AG=AF 由四边形ABCD是正方形得 DAB=90°=DAG+GAB=BAF+GAB=GAF ∴GAE=GAFEAF=90°45°=45° ∴GAE=FAE=45° 又∵AG=AF，AE=AE ∴△EAG ≌△EAF（SAS） ∴EF=EG=EDGD=DEBF 17．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，，、分别平分、，与交于点O． （1）求的度数； （2）说明的理由． 【答案】（1）120°；（2）见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠OAB+∠OBA=60°，从而得到∠AOB； （2）在AB上截取AE=AC，证明△AOC≌△AOE，得到∠C=∠AEO，再证明∠C+∠D=180°，从而推出∠BEO=∠D，证明△OBE≌△OBD，可得BD=BE，即可证明AC+BD= AB． 【详解】解：（1）∵AD，BC分别平分∠CAB和∠ABD，∠CAB+∠ABD=120°， ∴∠OAB+∠OBA=60°， ∴∠AOB=180°-60°=120°； （2）在AB上截取AE=AC， ∵∠CAO=∠EAO，AO=AO， ∴△AOC≌△AOE（SAS）， ∴∠C=∠AEO， ∵∠C+∠D=（180°-∠CAB-∠ABC）+（180°-∠ABD-∠BAD）=180°， ∴∠AEO+∠D=180°， ∵∠AEO+∠BEO=180°， ∴∠BEO=∠D， 又∠EBO=∠DBO，BO=BO， ∴△OBE≌△OBD（AAS）， ∴BD=BE，又AC=AE， ∴AC+BD=AE+BE=AB． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和，全等三角形的判定和性质，解题的关键是截取AE=AC，利用全等三角形的性质证明结论． 18．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC． 【答案】见解析 【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME， 在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）, ∵AD是∠BAC的平分线， ∴, 在△AMC和△AME中， ∵ ∴△AMC≌△AME（SAS）， ∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）． 又∵BE＝AB－AE， ∴BE＝AB－AC， ∴MB－MC＜AB－AC． 法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG， 同理可证得△ABM≌△AGM（SAS）， ∴BM=GM， ∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC 即MB－MC＜AB－AC． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形． 19．（2023·全国·九年级专题练习）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，见解析 【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论； （2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答； （3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答． 【详解】解：（1）EF＝BE+FD， 理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EG， ∵EG＝BG+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD， 故答案为：EF＝BE+FD； （2）（1）中的结论仍然成立， 理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠3＝∠2， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠2+∠4＝∠EAF， ∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF， 在△MAE和△FAE中， ， ∴△MAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EM， ∵EM＝BM+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD； （3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD， 理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH， 同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF， ∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∴∠HAE＝∠FAE， 在△HAE和△FAE中， ， ∴△HAE≌△FAE（SAS）， ∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$