第2节 矩形、菱形、正方形（Word练习）-【卓文中考·加速度】2024年云南中考数学复习

A矩　形 1.新考法在数学活动课上，同学们在判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）　　　 A.测量对角线是否互相平分 B.测量两组对边是否分别相等 C.测量对角线是否相等 D.测量其中三个内角是否都为直角 2.[2023十堰]如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化，下面判断错误的是（　　） 第2题图 A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B.对角线BD的长度减小 C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变 3.[2023贵州改编]如图，在矩形ABCD中，AB＝，连接AC，若∠ACD＝60°，则四边形ABCD的面积是（　　） 第3题图 A.2 B.3 C.2 D.3 4.[2022安徽]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） 第4题图 A.α－90° B.α＋45° C.90°－α D.180°－α 5.[2023杭州]如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB＝60°，则＝（　　） 第5题图 A. B. C. D. 6.[2023苏州]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA，OC为边作矩形OABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（　　） 第6题图 A. B.9 C.15 D.30 7.[2023台州]如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6.在边AD上取一点E，使BE＝BC，过点C作CF⊥BE，垂足为F，则BF的长为　 　.  第7题图 8.[2023陕西]如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4.点E在边AD上，且ED＝3，M，N分别是边AB，BC上的动点，且BM＝BN，P是线段CE上的动点，连接PM，PN.若PM＋PN＝4，则线段PC的长为　 　.  第8题图 9.[2023乐山]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边上任意一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，DF∥AC，分别交AC，BC于点E，F，连接EF. （1）求证：四边形ECFD是矩形； （2）若CF＝2，CE＝4，求点C到EF的距离. 第9题图 10.菱形与矩形结合如图，在菱形ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至点F，使EF＝BC，连接DF. （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）若BF＝8，DF＝4，求CD的长. 第10题图 11.新设问如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，连接BE，ED，DF，FB. （1）小明添加了一个条件OE＝OD，则可证明四边形BEDF是矩形，请帮他完成证明； （2）在（1）的条件下，若∠AOD＝60°，AE＝2OE＝4，求▱ABCD的面积. 第11题图 1.D　2.C　3.B　4.C　5.D　6.D 7.2　【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠A.在△ABE和△FCB中， ∴△ABE≌△FCB（AAS），∴FC＝AB＝4.∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝6.在Rt△FCB中，由勾股定理得BF＝＝＝2. 8.2　【解析】∵DE＝AB＝CD＝3，∴△CDE是等腰直角三角形，如答图，作点N关于EC的对称点N'，则N'在直线CD上，连接PN'.∵PM＋PN＝4，∴PM＋PN'＝4＝BC，即MN'＝4，此时M，P，N'三点共线且MN'∥AD，点P在MN'的中点处，∴PM＝PN'＝2，∴PC＝2. 第8题答图　 9.（1）证明：∵DF∥AC，DE∥BC， ∴四边形ECFD为平行四边形， 又∵∠C＝90°，∴四边形ECFD为矩形. 第9题答图 （2）解：如答图，过点C作CH⊥EF于点H. 在Rt△ECF中，CF＝2，CE＝4， ∴EF＝＝＝2. ∵S△ECF＝CF·CE＝EF·CH， ∴CH＝＝， ∴点C到EF的距离为. 10.（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC. ∵BE＝CF，∴BC＝EF，∴AD＝EF. ∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形. ∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形. （2）解：设BC＝CD＝x，则CF＝8－x， 在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2， ∴x2＝（8－x）2＋42，解得x＝5，∴CD＝5. 11.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO，BO＝DO. ∵AE＝CF，∴AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO， ∴四边形BEDF为平行四边形. ∵OE＝OD，∴EF＝BD，∴四边形BEDF是矩形. （2）解：如答图，过点D作DH⊥AC于点H，则∠DHO＝90°. ∵AE＝2OE＝4，∴OE＝2， ∴AO＝AE＋OE＝4＋2＝6，OD＝OE＝2. ∵∠AOD＝60°，∴∠ODH＝90°－∠AOD＝30°， ∴OH＝OD＝1， ∴DH＝＝＝， ∴S平行四边形ABCD＝4S△AOD＝4××6×＝12. 第11题答图 学科网（北京）股份有限公司 $$ B菱　形 1.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得的四边形是矩形，则四边形ABCD的两条对角线AC，BD一定是（　　） A.互相平分 B.互相垂直 C.互相平分且相等 D.互相垂直且平分 2.[2023乐山]如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为边BC的中点，连接OE.若AC＝6，BD＝8，则OE＝（　　）　　　　　　　　　　 第2题图 A.2 B. C.3 D.4　 3.[2023丽水]如图，在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则AC的长为（　　） 第3题图 A. B.1 C. D. 4.[2023金昌]如图，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D.若AB＝6 cm，则EF＝　 　.  　 第4题图 5.结合作图如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以C，B为圆心取AB的长为半径作弧，两弧交于点D.连接BD，AD.若∠ABD＝130°，则∠CAD＝　 　.  第5题图 6.[2023绍兴]如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是　 　.  第6题图 7.两个菱形如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证： （1）△ADE≌△CBF； （2）四边形BEDF是菱形. 第7题图 8.[2023十堰]如图，在菱形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝　 　.  第8题图 9.[2023舟山]如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF. （1）求证：AE＝AF； （2）若∠B＝60°，求∠AEF的度数. 第9题图 10.[2022凉山州]在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F. （1）求证：四边形ADBF是菱形； （2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长. 第10题图 1.D　2.B　3.D　4.2 cm　5.25°　6.10°或80° 7.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AD，BC∥AD， ∴∠CAD＝∠ACB. 在△ADE和△CBF中， ∴△ADE≌△CBF（SAS）. （2）如答图，连接BD交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO. ∵AE＝CF，∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形. 又∵BD⊥EF，∴四边形BEDF是菱形. 第7题答图 8.6　【解析】如答图，连接AC交BD于点O.∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝AD.∵菱形的面积等于24，BD＝8，∴＝24，∴AC＝6.∵BE＝BF，∴∠BEF＝∠BFE＝180°－∠EBF.∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝180°－∠ABC，∴∠BEF＝∠BAC，∴EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝.∵BA＝DA，∴＝，同理可证△DHG∽△DAC，∴＝，∴＋＝＋，即＝＝＝＝1，∴EF＋GH＝AC＝6. 第8题答图 9.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D. 又∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F， ∴∠AEB＝∠AFD＝90°， 在△ABE和△ADF中， ∴△ABE≌△ADF（AAS），∴AE＝AF. （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°. ∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°. 又∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°. 由（1）知△ABE≌△ADF，∴∠DAF＝∠BAE＝30°， ∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°， ∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF＝60°. 10.（1）证明：∵AF∥BC， ∴∠AFC＝∠FCD，∠FAE＝∠CDE. ∵点E是AD的中点，∴AE＝DE， ∴△FAE≌△CDE（AAS），∴AF＝CD. ∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∴AF＝BD， ∴四边形ADBF是平行四边形. ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BD＝BC，∴四边形ADBF是菱形. （2）解：∵四边形ADBF是菱形，∴S菱形ADBF＝2S△ABD. ∵点D是BC的中点，∴S△ABC＝2S△ABD， ∴S△ABC＝S菱形ADBF＝40， ∴AB·AC＝40，∴×8AC＝40， ∴AC＝10，∴AC的长为10. 学科网（北京）股份有限公司 $$ C正方形 1.[2023自贡]如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重合，点C的坐标是（　　）　　 第1题图 A.（3，－3） B.（－3，3） C.（3，3） D.（－3，－3） 2.[2023河北]如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF.若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（　　） 第2题图 A.4 B.8 C.12 D.16 3.[2023怀化]如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PE⊥AD于点E，PE＝3，则点P到直线AB的距离为　 　.  第3题图 4.[2023枣庄]如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝7，F为DE的中点.若△CEF的周长为32，则OF的长为　　　　. 第4题图 5.[2023重庆A卷]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　 第5题图 A.2α B.90°－2α C.45°－α D.90°－α 6.[2023安徽]如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，EF⊥AB于点F，连接DE并延长，交边BC于点M，交边AB的延长线于点G.若AF＝2，FB＝1，则MG＝（　　） 第6题图 A.2 B. C.＋1 D. 7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝AC，过点A作边BC的垂线AF交DC的延长线于点E，垂足为F，连接BE，DF，DF交AC于点O. （1）求证：四边形ABEC是正方形； （2）求证：DE＝BC. 第7题图 1.C　2.B　3.3　4. 5.A　【解析】在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°.如答图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG.∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°，∴∠GAE＝∠FAE＝45°.在△GAE和△FAE中，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴∠AEF＝∠AEG.∵∠BAE＝α，∴∠AEB＝90°－α，∴∠AEF＝∠AEB＝90°－α，∴∠FEC＝180°－∠AEF－∠AEB＝180°－2×（90°－α）＝2α.故选A. 第5题答图 6.B　【解析】∵四边形ABCD是正方形，AF＝2，FB＝1，∴CD＝AD＝BC＝AB＝3，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝90°，DC∥AB，AD∥BC，∴AC＝＝3.∵EF⊥AB，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ACB，∴＝，∴＝，∴EF＝2，∴AE＝＝2，∴CE＝AC－AE＝. ∵AD∥CM，∴△ADE∽△CME，∴＝，∴＝＝2，∴CM＝＝BM.在△CDM和△BGM中，∴△CDM≌△BGM（SAS）， ∴BG＝CD＝3，∴MG＝＝＝.故选B. 7.证明：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴BF＝CF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DE，∴∠BAF＝∠CEF. ∵∠AFB＝∠CFE， ∴△ABF≌△ECF（AAS），∴AB＝CE， ∴四边形ABEC是平行四边形. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴四边形ABEC是正方形. （2）∵AB＝CD＝EC，∴DE＝2AB. ∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴AB＝BC， ∴DE＝2×BC＝BC. 学科网（北京）股份有限公司 $$