【7】第7节 二次函数的实际应用（Word练习）-【卓文中考·加速度】2024年云南中考数学复习

第7节　二次函数的实际应用 1.[2023温州]一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m.已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系. （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？ 第1题图 2.[2023陕西]某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48 m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案.现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示： 方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12 m，拱高PE＝4 m.其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN. 方案二，抛物线型拱门的跨度ON'＝8 m，拱高P'E'＝6 m.其中，点N'在x轴上，P'E'⊥ON'，OE'＝E'N'. 要在拱门中设置高为3 m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）.方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A，D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上.现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3 m时，S2＝12 m2，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： （1）求方案一中抛物线的函数表达式； （2）在方案一中，当AB＝3 m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小. 第2题图 3.[2023河北]嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题. 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1 m长.嘉嘉在点A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2 的一部分，淇淇恰在点B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线C2：y＝－x2＋x＋c＋1的一部分. （1）写出C1的最高点坐标，并求a，c的值； （2）若嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值. 第3题图 4.[2023南充]某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件.已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6），售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y＝80＋0.01x2. （1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润.（A产品的最大日利润用含m的代数式表示） （3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由.[利润＝（售价－成本）×产销数量－专利费] 5.[2023孝感]加强劳动教育，落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地.2023年计划将其中1 000 m2的土地全部种植甲、乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系如图所示，其中200≤x≤700；乙种蔬菜的种植成本为50元/m2. （1）当x为多少时，y＝35元/m2； （2）设2023年甲、乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ （3）学校计划今后每年在这1 000m2土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降.若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025年的总种植成本为28 920元？ 第5题图 1.解：（1）∵8－6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线的函数表达式为y＝a（x－2）2＋3， 把点A（8，0）代入得36a＋3＝0， 解得a＝－， ∴抛物线的函数表达式为y＝－（x－2）2＋3. 当x＝0时，y＝－×4＋3＝＞2.44， ∴球不能射进球门. （2）设小明带球向正后方移动n m，则移动后的抛物线为y＝－（x－2－n）2＋3， 把点（0，2.25）代入得2.25＝－（0－2－n）2＋3， 解得n1＝－5（舍去），n2＝1， ∴当时他应该带球向正后方移动1 m射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处. 2.解：（1）由题意得，方案一中抛物线的顶点P（6，4）， 设抛物线的函数表达式为y＝a（x－6）2＋4， 把O（0，0）代入得0＝a·（0－6）2＋4， 解得a＝－， ∴y＝－（x－6）2＋4＝－x2＋x. ∴方案一中抛物线的函数表达式为y＝－x2＋x. （2）在y＝－x2＋x中， 令y＝3得3＝－x2＋x， 解得x1＝3，x2＝9. ∴BC＝9－3＝6（m）， ∴S1＝AB·BC＝3×6＝18（m2）. ∵18＞12，∴S1＞S2. 3.解：（1）∵抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2， ∴C1的最高点坐标为（3，2）. ∵点A（6，1）在抛物线C1：y＝a（x－3）2＋2上， ∴1＝a·（6－3）2＋2，∴a＝－， ∴抛物线C1：y＝－（x－3）2＋2. 当x＝0时，c＝1. （2）∵嘉嘉在x轴上方1 m的高度上，且到点A水平距离不超过1 m的范围内可以接到沙包， ∴此时，点A的坐标范围是（5，1）～（7，1）， 当经过（5，1）时，1＝－×25＋×5＋1＋1， 解得n＝； 当经过（7，1）时，1＝－×49＋×7＋1＋1， 解得n＝，∴≤n≤. ∵n为整数，∴符合条件的n的整数值为4和5. 4.解：（1）根据题意得w1＝（8－m）x－30（0≤x≤500）. w2＝（20－12）x－（80＋0.01x2） ＝－0.01x2＋8x－80（0≤x≤300）. （2）∵8－m＞0， ∴w1随x的增大而增大， 又∵0≤x≤500， ∴当x＝500时，w1有最大值，即w1最大＝－500m＋3 970（元）. 由w2＝－0.01x2＋8x－80＝－0.01（x－400）2＋1 520. ∵－0.01＜0，对称轴为直线x＝400. ∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大， ∴当x＝300时，w2最大＝－0.01×（300－400）2＋1 520＝1 420（元）. （3）①若w1最大＝w2最大，即－500m＋3 970＝1 420， 解得m＝5.1； ②若w1最大＞w2最大，即－500m＋3 970＞1 420， 解得m＜5.1； ③若w1最大＜w2最大，即－500m＋3 970＜1 420， 解得m＞5.1. ∵4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润： 当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可； 当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销； 当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销. 5.解：（1）当200≤x≤600时，设甲种蔬菜种植成本y（单位：元/m2）与其种植面积x（单位：m2）的函数关系式为y＝kx＋b， 把（200，20），（600，40）代入， 得解得 ∴y＝x＋10； 当600＜x≤700时，y＝40， ∴当y＝35时，35＝x＋10，解得x＝500， ∴当x为500 m2时，y＝35元/m2. （2）当200≤x≤600时，W＝x＋50（1 000－x）＝（x－400）2＋42 000. ∵＞0，∴抛物线开口向上， ∴当x＝400时，W有最小值，最小值为42 000，此时，1 000－x＝1 000－400＝600； 当600≤x≤700时，W＝40x＋50（1 000－x）＝－10x＋50 000. ∵－10＜0， ∴当x＝700时，W有最小值，最小值为－10×700＋50 000＝43 000. ∵42 000＜43 000， ∴当种植甲种蔬菜的种植面积为400 m2，乙种蔬菜的种植面积为600 m2时，W最小. （3）由（2）可知，甲、乙两种蔬菜总种植成本为42 000元，乙种蔬菜的种植成本为50×600＝30 000（元）， 则甲种蔬菜的种植成本为42 000－30 000＝12 000（元）， 由题意得12 000×（1－10%）2＋30 000（1－a%）2＝28 920， 设a%＝m，整理得（1－m）2＝0.64， 解得m1＝0.2＝20%，m2＝1.8（不符合题意，舍去）， ∴a%＝20%，∴a＝20，∴当a为20时，2025年的总种植成本为28 920元. 学科网（北京）股份有限公司 $$