1.4.1 充分条件与必要条件（教学课件）-2024-2025学年高一年级数学同步课堂系列（人教A版2019A必修第一册）

1.4.1　充分条件与必要条件 1 温故知新 1.全集 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 元素，那么就称这个集合为_____ 记法 ____ 所有 U 全集 温故知新 2.补集 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中 _ 集合A的所有元素组成的集合称为集合A _ 全集U的补集，简称为集合A的补集，记作_____ 符号语言 ∁UA＝________________ 图形语言   不属于 相对于 ∁UA {x|x∈U，且x∉A} 温故知新 性质 (1)∁UA⊆U； (2)∁UU＝ ，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝ ； (4)A∪(∁UA)＝ ；A∩(∁UA)＝∅ ∅ A U 学习目标 1.通过典例，理解充分条件、必要条件的概念.(重点) 2.通过典例，了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. 3.能通过充分性、必要性解决简单的问题，提升逻辑推理素养与数学抽象素养.(难点) 创设情境 同学们，在初中，我们已经对命题有了初步地认识：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.中学数学中的许多命题可以写成“若p，则q”“如果p，那么q”等形式.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.今天我们再次复习了解下命题的概念及其真假，同时将进一步探究“若p，则q”形式的命题中p和q的关系. 内容索引 二、充分条件与必要条件 三、充分条件与必要条件的应用 一、命题的概念及其真假 一 命题的概念及其真假 8 问题　下列语句的表述形式有什么特点？你能判断这些语句的真假吗？ 提示 两个特点：(1)均是陈述句，(2)能够判断真假. 其中(1)(4)为真；(2)(3)为假. （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若x2-4x+3=0，则x=1； （4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b。 新知讲解 命题：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做 . 判断为真的语句是 ；判断为假的语句是 . 中学数学中的许多命题可以写成“若p, 则 q”"如果 p, 那么q" 等形式. p称为命题的 ，q称为命题的 . 命题 真命题 假命题 结论 条件 例1 （多选）下列语句是命题的是（ ） A. 3是15的约数 B. x2+2x+1≥0 C. 4不小于2 D. 你准备考北京大学吗？ A: 3能被15整除，为真命题，所以是命题； B: x2+2x+1≥0，为真，所以B是命题； C: 4≥2，所以4不小于2为真命题，所以C是命题 D: “你准备考北京大学吗？”是疑问句，不是陈述句，所以D不是命题。 故选 ABC 反思感悟 判断命题及其真假的方法 （1）先看是否为陈述句； （2）再看能否判断真假； （3）能判断真假的陈述句就是命题 跟踪训练1　给出下列命题：①若整数a是6的倍数，则整数a是2和3的倍数。②若ab=0，则a=0.判断这两个命题的真假，命题①②中的条件和结论有什么关系 ①为真命题；②为假命题。 命题①中只要满足条件“整数a是6的倍数”，必有结论“整数a是2和3的 倍数”；命题②中满足条件“ab=0”，不一定有结论“a=0”, 还可能“b=0”。 二 充分条件与必要条件 14 问题　观察下面几个命题，请把它们变成“若p，则q”的形式。 提示　若两条直线所形成的同位角相等，则这两条直线平行. (2)内错角相等，两直线平行； 提示　若两条直线所形成的内错角相等，则这两条直线平行. (3)同旁内角互补，两直线平行； 提示　若两条直线所形成的同旁内角互补，则这两条直线平行. (1)内错角相等，两直线平行； 新知讲解 充分条件与必要条件   “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 P q p⇏q 条件关系 p是q的 条件 q是p的 条件 p不是q的 条件 q不是p的 条件 ⇒ 充分 必要 充分 必要 新知讲解 定理关系 数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个_________ 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个_________ 充分条件 必要条件 新知讲解 注意点： (1)前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后. (2)若p⇒q，则p是q的充分条件或q是p的必要条件，或q的充分条件是p或p的必要条件是q. (3)充分、必要条件不唯一. 例2　(1)判断下列命题中p是否为q的充分条件？ ①在△ABC中，A,B,C所对边分别为a,b,c.p：∠A＜∠B，q：a＜b； 在△ABC中，由大角对大边知，∠A＜∠B⇒a＜b，故p是q的充分条件. ②已知x，y∈R，p：x＝2，q：x2-x-2＝0； 由x＝2⇒x2-x-2＝0，故p是q的充分条件. ③已知x∈R，p：x＜3，q：x＜1. 方法一　由x＜3⇏x＜1，p的不等式范围较大，q的范围较小， 因此p不是q的充分条件. 方法二　设集合A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜1}， 所以B⊆A，所以p不是q的充分条件. (2)判断下列命题中q是否为p的必要条件？ ①p：一个四边形是菱形，q：四边形的对角线互相垂直； ②p：A⊆B，q：A∪B＝B； 因为菱形的对角线相互垂直，所以q⇒p，因此q是p的必要条件. 因为p⇒q， 所以q是p的必要条件. 21 ③p：am＜bm，q：a＜b. 因为p⇏q， 所以q不是p的必要条件. 22 反思感悟 充分、必要条件的判断方法 (1)判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立. (2)也可利用集合的关系判断，如果条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”.若A⊇B，则甲是乙的必要条件. 跟踪训练2　判断下列各项中p与q的关系. (1)p：α＝120°，q：α为钝角； 由于p⇒q，q⇏p，故p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)p：a－1＝0，q：(a＋1)(a－1)＝0. 由于p⇒q，q⇏p，故p是q的充分条件，q是p的必要条件. 三 充分条件与必要条件 的应用 25 例3　已知集合P＝{x|－2<x<4}，Q＝{x|3m－2≤x≤5m＋2，m∈R}.若P的充分条件为Q，求实数m的取值范围. 由已知，P的充分条件为Q，则Q是P的子集. 当3m－2>5m＋2，即m<－2时，Q＝∅，满足题意， 26 反思感悟 充分条件与必要条件的应用技巧 (1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题. (2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解. 跟踪训练3　已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是___________. －1≤a≤5 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件， 所以Q⊆P， 28 课堂小结 1.知识清单： (1)充分条件、必要条件的概念. (2)充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系. (3)充分条件、必要条件的判断. (4)充分条件与必要条件的应用. 2.思想方法：等价转化. 3.易错点：充分条件、必要条件不唯一；求参数范围时能否取到端点值. 知识像一艘船让它载着我们驶向理想的彼岸 谢谢 $$