专题12 等式性质与不等式性质 -2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题12 等式性质与不等式性质 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【典例例题】 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【典例1-1】（2024·高一·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【典例1-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·高一·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【变式1-2】（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式1-3】（2024·高一·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【典例2-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【典例2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【变式2-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【变式2-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【变式2-3】（2024·高一·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 题型三：作商法比较两数（式）的大小 【典例3-1】（2024·高一·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【典例3-2】（2024·高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【变式3-1】（2024·高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【变式3-2】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【变式3-3】（2024·高一·全国·课后作业）若，求证：． 【变式3-4】（2024·高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 【典例4-1】（2024·高二·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【典例4-2】（2024·高二·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【变式4-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则； C．若，则 D．若，则； 题型五：利用不等式的性质证明不等式 【典例5-1】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【变式5-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【变式5-2】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【变式5-3】（2024·高一·吉林长春·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知，，，，试比较M与N的大小，并说明理由． 题型六：利用不等式的性质比较大小 【典例6-1】（2024·高一·江苏·专题练习）下列命题中真命题的序号是 ． ①；②； ③；④； ⑤． 【典例6-2】（2024·高一·江苏·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③对于正数a，b，m，若，则． 其中真命题的序号是 ． 【变式6-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）若，，则a、b的大小关系是 ． 【变式6-2】（2024·高一·山西太原·阶段练习）设，，则m n（填入“<”或“>”） 【变式6-3】（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则按从小到大的顺序排列是 . 【变式6-4】（2024·高一·上海静安·阶段练习）已知，则下列命题为真命题的序号是 . ①若，则； ②若 且，则；③若，则 ；④若，则 . 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例7-1】（2024·高二·浙江绍兴·学业考试）已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（多选题）（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 2．（2024·高一·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 3．（2024·高一·上海·开学考试）设，若，则（    ）. A． B． C． D． 4．（2024·高一·河南·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高一·湖南益阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（2024·高二·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 9．（2024·高一·广东阳江·阶段练习）已知，，请用恰当的不等号或等号填空： . 10．（2024·高一·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 11．（2024·高一·全国·随堂练习）用“>”或“<”填空： （1） ；                    （2） ； （3） （）                （4） mb（，）； （5） （）；            （6） （）． 12．（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 13．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 四、解答题 14．（2024·高一·北京·期中）已知a，，试比较与的大小，并证明． 15．（2024·高一·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 16．（2024·高一·河南·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 17．（2024·高一·河南·阶段练习）已知，求证：的充要条件是． 18．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）设，，求，，的范围. 19．（2024·高一·河北唐山·期中）已知，，求的范围. 20．（2024·高一·江苏·课后作业）设，，求，，的范围． 21．（2024·高一·全国·课后作业）已知－≤α<β≤，求，的范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 等式性质与不等式性质 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： （3）可乘方性： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 【典例例题】 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【典例1-1】（2024·高一·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解析】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C 【典例1-2】（2024·高一·广东深圳·阶段练习）公司运输一批木材，总重600吨，车队有两种货车，A型货车载重量30吨，型货车载重量24吨，设派出A型货车辆，型货车辆，则运输方案应满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知可得，， 所以有. 故选：B. 【变式1-1】（2024·高一·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【解析】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D 【变式1-2】（2024·高一·贵州遵义·阶段练习）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即， 故选：D． 【变式1-3】（2024·高一·四川南充·阶段练习）火车站有某公司待运的甲种货物1530吨，乙种货物1150吨．现计划用A，B两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知35吨甲种货物和15吨乙种货物可装满一节A型货箱，25吨甲种货物和35吨乙种货物可装满一节B型货箱，据此安排A，B两种货箱的节数，下列哪个方案不满足：（    ） A．A货箱28节，B货箱22节 B．A货箱29节，B货箱21节 C．A货箱31节，B货箱19节 D．A货箱30节，B货箱20节 【答案】C 【解析】设A、B货箱分别有x，y节，则， A：共50节且，，满足； B：共50节且，，满足； C：共50节且，，不满足； D：共50节且，，满足； 故选：C. 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【典例2-1】（2024·高一·广东韶关·阶段练习）已知，则 .（填“”，“”，或“”） 【答案】 【解析】，故. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高一·全国·专题练习）已知，试比较与的大小. 【解析】由， 因为，，可得， 所以. 【变式2-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【解析】（1）， . （2）， ， ， 则， . 【变式2-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）（1）比较与的大小： （2）已知，都是正实数，比较与的大小． 【解析】（1）， 故； （2）， 因为，，故，， 当时，，即； 当时，，即； 【变式2-3】（2024·高一·云南红河·期中）比较下列两式大小： (1)与 (2)与 【解析】（1）由， 所以. （2）由， 所以． 题型三：作商法比较两数（式）的大小 【典例3-1】（2024·高一·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【解析】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【典例3-2】（2024·高一·上海·专题练习），则的大小关系为 ． 【答案】≥ 【解析】因为， 则 由 所以 故答案为： 【变式3-1】（2024·高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【解析】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 【变式3-2】（2024·高一·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【解析】， ， ， . 【变式3-3】（2024·高一·全国·课后作业）若，求证：． 【解析】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【变式3-4】（2024·高一·上海·专题练习）已知，比较与的大小 【解析】, 同理，, 从而， 即>. 题型四：利用不等式的性质判断命题真假 【典例4-1】（2024·高二·浙江温州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，显然不成立，故A错误； 对于B：因为，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，故D错误. 故选：B. 【典例4-2】（2024·高二·湖南娄底·学业考试）若，则下列各式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，因为，不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变， 所以，故A正确； 对于B，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个小于的整式，不等号方向改变， 所以，故B错误； 对于C，因为，不等式两边同时乘（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变， 所以，故C错误； 对于D，若，，此时，故D错误. 故选：A. 【变式4-1】（2024·高一·内蒙古呼和浩特·期中）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A：当时，，若，则，故A错误； 对于B：因为，所以，即，所以，故B正确； 对于C：当，，，时，满足，，但是，故C错误； 对于D：当时，，故D错误. 故选：B 【变式4-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，当，则，故A不正确； 对于B，当时，由可得，故B不正确； 对于C，当时，，故C不正确； 对于D，因为恒成立，所以由可得，故D正确. 故选：D. 【变式4-3】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则； C．若，则 D．若，则； 【答案】B 【解析】对于A：当，，故A错误； 对于B：，，因为，所以，故B正确； 对于C：当，时，则，，， 则，故C错误； 对于D：当时，，，则，故D错误； 故选：B. 题型五：利用不等式的性质证明不等式 【典例5-1】（2024·高一·黑龙江鸡西·期末）已知三个不等式：①a，b，x均为正数  ②  ③ 请你以其中两个作为条件，余下一个为结论组成一个不等式命题，并判断其真假，若真请给出证明，若假请举出反例说明. 【解析】方案一：条件：①②  结论：③ 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明： ∵a，b，x均为正数， ∴， ∴，即 方案二：条件①③  结论：② 若a，b，x均为正数，且，则，真命题 证明：∵即化简得 又∵a，b，x均为正数 ∴ ∴即 方案三：条件②③  结论：① 若，且，则a，b，x均为正数，假命题 例如：，，，满足且，但a，b，x并不全为正数. 三种方案选一种作答即可. 【典例5-2】（2024·高一·全国·专题练习）给出三个不等式．（1）；（2）；（3）．写出一个：以其中任意两个不等式为条件，剩下的一个不等式为结论的真命题，并加以证明． 【解析】以（2）（3）作为条件，可得（1）成立， 因为，对，两边同除得； 以（1）（2）作为条件，可得（3）成立， ，则，因为，则，则； 以（1）（3）作为条件，可得（2）成立， 因为，，两边同乘则得到 . 【变式5-1】（2024·高一·陕西榆林·期中）证明下列不等式： (1)已知，求证：； (2)已知，求证：. 【解析】（1），即， ，则. （2）， ， ， 则， 【变式5-2】（2024·高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【解析】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 【变式5-3】（2024·高一·吉林长春·阶段练习）（1）已知，，，求证：； （2）已知，，，，试比较M与N的大小，并说明理由． 【解析】（1）因为，， 所以，， 所以， 又，所以. （2）由题意， ， 因为，， 所以，，，， 所以， 即，当且仅当时，. 题型六：利用不等式的性质比较大小 【典例6-1】（2024·高一·江苏·专题练习）下列命题中真命题的序号是 ． ①；②； ③；④； ⑤． 【答案】②③⑤ 【解析】①当时，结论不成立．②．③．④取，得，∴结论不成立．⑤由可得，故正确； 故答案为：②③⑤ 【典例6-2】（2024·高一·江苏·专题练习）给出下列命题： ①若，则； ②若，则； ③对于正数a，b，m，若，则． 其中真命题的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】对于①，若，则，又，所以，所以，所以①正确； 对于②，若，则,即，②错误； 对于③，对于正数a，b，m，若，则，所以， 所以，又，所以，③正确． 综上，真命题的序号是①③． 故答案为：①③ 【变式6-1】（2024·高一·河北石家庄·阶段练习）若，，则a、b的大小关系是 ． 【答案】 【解析】，， 因为，所以， . 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·山西太原·阶段练习）设，，则m n（填入“<”或“>”） 【答案】 【解析】依题意，，，而，因此， 所以. 故答案为： 【变式6-3】（2024·高一·浙江嘉兴·阶段练习）已知，则按从小到大的顺序排列是 . 【答案】 【解析】由， 得，且， 所以. 故答案为： 【变式6-4】（2024·高一·上海静安·阶段练习）已知，则下列命题为真命题的序号是 . ①若，则； ②若 且，则；③若，则 ；④若，则 . 【答案】①②③ 【解析】对于①，由于，故，则；正确， 对于②，由可得，又，所以，故正确； 对于③，由于， 又，所以， 故，则，正确， 对于④，， 由于，则， 故，因此，故④错误， 故答案为：①②③ 题型七：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【典例7-1】（2024·高二·浙江绍兴·学业考试）已知，，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 故，，得 故选：B 【典例7-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，，则下列代数式的范围错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，则，则有，A正确； 对于B，，则，则有，B正确； 对于C，，，则有，C错误； 对于D，，，则有，D正确； 故选：C 【变式7-1】（多选题）（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）已知，则下列结果正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A中，由，可得，由不等式的性质，可得，所以A正确； 对于B中，由，根据不等式的性质，可得，所以B正确； 对于C中，由，可得，所以，所以C错误； 对于D中，由，可得，所以D错误. 故选：AB. 【变式7-2】（多选题）（2024·高一·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·甘肃酒泉·期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为a，b，c（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【解析】由长、宽、高之和不超过130cm得，由体积不超过得. 故选：C. 2．（2024·高一·四川眉山·阶段练习）将一根长为的绳子截成两段，已知其中一段的长度为m，若两段绳子长度之差不小于，则所满足的不等关系为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意,可知另一段绳子的长度为. 因为两段绳子长度之差不小于，所以， 化简得：. 故选：D 3．（2024·高一·上海·开学考试）设，若，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对A，由，则，故，即，故A错误； 对B，由A得，故，故B正确； 对C，由，则，，则，，故，故C错误； 对D，由A得，故，故D错误. 故选：B. 4．（2024·高一·河南·开学考试）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，则，则A选项错误； 因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确； 当时，，则C选项错误； 因为，由B选项可知，所以，则D选项错误. 故选：B 二、多选题 5．（2024·高一·吉林延边·阶段练习）已知实数x，y满足，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】因为，，则，，故A、C正确； 由题，故，B错误； ，则，故，D正确； 故选：ACD. 6．（2024·高一·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确； 对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，可得，故C错误； 对于D，由及，可得，故D正确． 故选：ABD． 7．（2024·高一·湖南益阳·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为，，根据不等式的性质，则，故A正确； 同理：，故BC正确. 如，，但不成立，故D错误. 故选：ABC 三、填空题 8．（2024·高二·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【解析】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 9．（2024·高一·广东阳江·阶段练习）已知，，请用恰当的不等号或等号填空： . 【答案】 【解析】因为，，则，由不等式的基本性质可得. 故答案为：. 10．（2024·高一·江苏·期中）比较大小： 4.（请从“”“”“”中选择合适的符号填空） 【答案】 【解析】由，则， 所以. 故答案为： 11．（2024·高一·全国·随堂练习）用“>”或“<”填空： （1） ；                    （2） ； （3） （）                （4） mb（，）； （5） （）；            （6） （）． 【答案】 > < < > < > 【解析】（1）由，得；（2）由，得； （3）由，，得；（4）由，，得； （5）由，得，则，； （6）由，得. 故答案为：>；<；<；>；<；> 12．（2024·高三·河南·开学考试）已知：，则大小关系是 ． 【答案】 【解析】由，得，因此， 显然，则， 所以大小关系是. 故答案为： 13．（2024·高三·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 四、解答题 14．（2024·高一·北京·期中）已知a，，试比较与的大小，并证明． 【解析】当时；当时，证明如下： ， 当时，，，故； 当时，，，故； 15．（2024·高一·河北保定·阶段练习）设，，. (1)证明：； (2)若，证明. 【解析】（1）证明:∵， ∴. a，b，c不同时为，则，∴； （2）. ∵，取等号的条件为， 而，∴等号无法取得，即， 又，∴，∴. 16．（2024·高一·河南·阶段练习）如果向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，这其中蕴含着著名的糖水不等式：． (1)证明榶水不等式； (2)已知是三角形的三边，求证：． 【解析】（1）， 因为，所以， 所以，即． （2）因为是三角形的三边，所以， 由（1）知， 同理， 所以， 所以原不等式成立． 17．（2024·高一·河南·阶段练习）已知，求证：的充要条件是． 【解析】证明：充分性（条件结论） 因为，所以， 又，所以， 所以充分性成立； 必要性（结论条件） 因为， 而，所以， 所以，所以必要性成立． 综上，的充要条件是． 18．（2024·高一·湖北武汉·阶段练习）设，，求，，的范围. 【解析】∵，， ∴，，，， ∴，， ∴. 故，，． 19．（2024·高一·河北唐山·期中）已知，，求的范围. 【解析】， ，又， . 20．（2024·高一·江苏·课后作业）设，，求，，的范围． 【解析】∵，， ∴，，， ∴； 当时，，则，所以； 当时，； 当时，， 综上，， 故，，． 21．（2024·高一·全国·课后作业）已知－≤α<β≤，求，的范围． 【解析】∵－≤α<β≤，∴. 两式相加，得. ∵， ∴， ∴－≤. 又∵α<β，∴. ∴. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$