专题研究三：定点、定值问题课件-2025届高三数学一轮复习

专题研究三 定点、定值问题 题型 定点问题 例1 2 2 2024安徽部分学校联考)已知双曲线C:。-言=1(a0,b0)的左、 6 右焦点分别为F,F2,离心率为2, 直线I交C于P,Q两点，且PF-PF =2V2. (1)求双曲线C的标准方程； 【答案】 【解析】 由IPF1-PF2=2V2. 可得2a=2V2,·a=V2, 又离心率为近÷合近：c=5, .b=Vc2-a2=1, :双曲线C的标准方程为对>2=1 (2)若点A(2,1),直线AP,AQ与y轴分别相交于M,N两点，且OM十ON =0,O为坐标原点，证明：直线1过定点 【答案】 证明见解析 【证明】 易知直线1的斜率存在，设直线1的方程为y=x十m,P(x1； y1),Qx2,y2),由题知x1,x2≠2，则y1,y2≠±1， y=kx十m, 消去y得 (1-2K3x2-4kmx-2m2-2=0. 1-2k2≠0，=8(m2+1-2k)>0, ǎ+==-是 1-2k21 直发似的方程对-合=0得，-即 同理可得州0 :6+0成=02+2=-0 2-x1 40y1+y2)-2x1+x2)+2x1x2-2xy2-2x2y1=0, :y1=kx1十m,y2=kx2十m, :(4k-2m一2)x1+x2)+8m+(2-4x1x2=0, (ak-2m-22+m+2-4均-=0 ·-2km+2k=(m-1)2, 当m=1时，等式恒成立，直线1过定点(0,1)， 当m≠1时，2k=1一m,直线1：y=x-2k+1, 此时直线1过定点(2,1)，不满足题意。 综上，直线1过定点(0,1) 状元笔记 定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程 而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组 的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意 2023·全国乙卷，理已知椭圆C:+=1a>b>0)的离心 思考题1 率为5点-2,0在C上. (1)求C的方程： 【答案号+- b=2, 【解析】 由题意可得a2=2+c2 a=3, 解得b=2, 所以椭圆方程为，大《 41. c=V5, (2)过点（一2,3）的直线交C于点P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点 分别为M,N,证明：线段MN的中点为定点！ 【答案】 证明见解析 【证明】 由题意可知，直线PQ的斜率存在， 设直线PQ:y=kx+2) +3,P(x1,y1),Q2,y2) y=k（x+2)+3, 联立方程 消去y得(4k2+9r2+8(2k+3x+162+3k)=0, 则4=64K2(2k+3)2-64(4K2+9)K2+3)=-1728心0，解得k<0,