专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 2．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知二次函数与直线相交于点，求： (1)，的值； (2)函数 的图象的顶点的坐标及直线与抛物线的另一个交点的坐标． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 2．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ． 3．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_______． (3)该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式为_______． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 1．（2024·陕西西安·三模）已知二次函数，若对于范围内的任意自变量x，都有，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 3．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）已知抛物线上有两点，若，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（2024·江苏淮安·一模）若二次函数 的图象经过点，，则与的大小关系为 ． 3．（2024·江苏连云港·三模）已知拋物线． (1)若，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有 ①点在这条抛物线上，当且时，直接判断与的大小关系； ②点是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 1．（23-24八年级下·四川广安·期末）二次函数的图像如图所示，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 2．（2024·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③；④若x1，x2为方程的两个根，则；其中正确的有 （填序号）． 3．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围 3．（2024·湖南常德·一模）直线称作抛物线的关联直线．根据定义回答以下问题： (1)求证：抛物线与其关联直线一定有公共点； (2)当时，求抛物线与其关联直线一定都经过的点的坐标（用字母表示）． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 1．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为，（1）若对于，，有，则 ；（2）若对于，，都有，则的取值范围是 ． 3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】1（2024·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·浙江宁波·一模）已知抛物线经过，，三点，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）一元二次方程可以写成的形式，则二次函数的对称轴是直线 ． 3．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的对称轴； ②当时，比较，的大小，并说明理由； (2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 1．（23-24八年级下·北京·期中）已知点、为抛物线上的两点，当，时，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知，是二次函数的图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 3．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数． (1)若函数经过点，求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）. (3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围． 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 1．（2023九年级下·全国·专题练习）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，抛物线经过点，点在抛物线上，轴，且平分，则此抛物线的解析式是 ．    3．（2024·陕西渭南·一模）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线的抛物线向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移个单位长度 B．向上平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向上平移个单位长度 1．（2024·陕西汉中·二模）已知二次函数，将该二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象，当时，平移后所得的新二次函数的最大值（    ） A．3 B．5 C．7 D．10 2．（2023·山东济宁·模拟预测）将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为 ． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴相交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线L的表达式； (2)将抛物线L向左或向右平移m（）个单位长度，得到抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与y轴交于点，当为等腰直角三角形时，求m的值． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ） A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，已知抛物线（a是常数，且a＜0），直线过点且垂直于y轴．当时，沿直线将该抛物线在直线上方的部分翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为，且当时，函数的最大值与最小值之差小于7，则n的取值范围为 ． 3．（23-24九年级下·河北张家口·阶段练习）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______； (2)当抛物线经过时，求抛物线的解析式，并说明点能否在抛物线上．如果能请求出的值，如果不能请说明理由； (3)若将抛物线先向右平移个单位再向下平移个单位后，与抛物线重合，求的值； (4)当时，抛物线有最小值，直接写出的值． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是，； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是； 正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 3（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线． (1)证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______． (3)若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A．B． C． D． 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A．B．C． D． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 1．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 2．已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 3．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知点在抛物线上，点在直线，当时，下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 5．已知抛物线（为常数，）经过点，该抛物线的顶点横坐标为1，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 7．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 8．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 9．已知二次函数，都在二次函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 10．如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 11．已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 12．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 13．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，在直线上方抛物线上是否存在一点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点的坐标和的最大面积．    (3)将线段先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 14．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 15．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 二次函数的图象与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 题型一 y=ax2的图象与性质 题型二 y=a(x-h)2+k的图象与性质 题型三 y=ax2+bx+c的图象与性质 题型四 利用二次函数的性质比较函数值的大小 题型五 二次函数图象与各系数符号 题型六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断 题型七 利用二次函数的增减性求参数范围 题型八 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型九 根据二次函数的对称性求函数值 题型十 待定系数法求二次函数解析式 题型十一 二次函数图象的平移 题型十二 y=ax2+bx+c的最值 题型十三 利用二次函数对称性求最短路径 题型十四 二次函数与一次函数的综合 题型十五 二次函数图象与性质的综合 知识点01 二次函数的图像与性质 二次函数y=ax2的图象的性质： 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值0． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值0． 的性质： 上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 轴 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 轴 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质： 左加右减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 的性质：左加右减，上加下减 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 一般式：（，，为常数，）； 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点02 二次函数的图象与a，b，c的关系 学生对二次函数中字母系数a、b、c及其关系式的符号判断常有些不知所措，这里介绍几个口诀来帮助同学们解惑． 1．基础四看 “基础四看”是指看开口，看对称轴，看与y轴的交点位置，看与x轴的交点个数．“四看”是对二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象最初步的认识，而且这些判断都可以通过图象直接得到，同时还可以在此基础上进行一些简单的组合应用． 2．组合二看 (1)三全看点 在a、b、c间的加减组合式中，最常见的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等类型的式子，这类式子a、b、c三个字母都在，并且c的系数通常为1，这时只要取x为b前的系数代入二次函数y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，从而由其对应的y的值时进行判断即可． (2)有缺看轴 当a、b、c三个字母只出现两个间的组合时，这时对同学们来讲难度是较大的，如何解决呢？其实我们只要想一想为什么会少一个字母，这个问题就可以较好的解决．少一个字母的原因就是因为有对称轴为我们提供了a、b之间的转换关系，如果少的是字母c，则直接用对称轴提供的信息即可解决；如果少的是字母a或b，则可利用对称轴提供的a、b间转换信息，把a（或b）用b（或a）代换即可． 3．取值计算 当解题感到无从下手时，可以尝试取值法，只要根据函数图象的特点及所给出的数据（或范围），取相应点坐标代入函数的解析式中，求出其字母系数，即可进行相关判断． 二次函数的图象与系数之间的关系，解题的关键是弄清楚图象的开口方向、对称轴的位置、与坐标轴的交点及其图象中特殊点的位置，确定出与0的大小关系及含有的代数式的值的大小关系. (1)决定开口方向:当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下. (2)共同决定抛物线的对称轴位置:当同号时，对称轴在轴左侧;当异号时，对称轴在轴右侧(可以简称为“左同右异”);当时，对称轴为轴. (3)决定与轴交点的纵坐标:当时，图象与轴交于正半轴;当时，图象过原点;当时，图象与轴交于负半轴. (4) 的值决定了抛物线与轴交点的个数:当时，抛物线与轴有两个交点;当时，抛物线与轴有一个交点;当时，抛物线与轴没有交点. (5) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. (6) 的符号由时，的值确定:若，则;若，则. 知识点03 二次函数图象的平移 由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即 . 因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题， 注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． 知识点04 二次函数与一元二次方程 1.当二次函数的图象与x轴有两个交点时，，方程有两个不相等的实根。 2.当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，，方程有两个相等的实根。 3.当二次函数的图象与x轴没有交点时，，方程没有实根。 二次函数的图象与轴的位置关系有三种情况:①没有公共点;②有一个公共点;③有两个公共点，这对应着一元二次方程的根的三种情况: ①有实数根，此时△＜0;②有两个相等的实数根，此时△=0;③有两个不相等的实数根，此时△＞0. (2)解决函数图象过定点问题，一般方法是函数解析式中所含字母的项的和为0时，则函数值不受字母的影响，据此可求图象经过的定点坐标. (3)抛物线中三角形面积的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式来确定最值.在将点的坐标转化为线段的长度时，要注意符号的转换. 知识点05 二次函数与不等式 判别式 抛物线与x轴的交点 不等式的解集 不等式的解集 △＞0 或 △＝0 （或） 无解 △＜0 全体实数 无解 知识点06 待定系数求解析式 用待定系数法求抛物线的解析式，要根据具体已知条件灵活选择解析式的三种表达形式: (1)已知三点坐标，常设抛物线的解析式为一般式; (2)已知顶点(或最值)，常设抛物线的解析式为顶点式; (3)已知抛物线与轴的两个交点坐标为，常设抛物线的解析式为交点式. 二次函数解析式的形式 一般式： 顶点式： 交点式 顶点在原点： 过原点： 顶点在y轴： 求二次函数（a≠0）的最值的方法 配方法：任意一个二次函数的一般式都可以配方成的形式 若a＞0，当x=h时，函数有最小值，且 ②若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 公式法：因为抛物线的顶点坐标为（-），则 若a＞0，当x=时，函数有最小值，且 若a＜0，当x=h时，函数有最大值，且 【经典例题一 y=ax2的图象与性质】 【例1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）抛物线的开口向上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，由抛物线开口向上可得，进而求解，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵抛物线的开口向上， ∴， 故选：A． 1．（23-24九年级上·山东日照·期末）在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，它们图象的共同特点是（    ） A．都是关于轴对称，抛物线开口向上 B．都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点 C．当时，随的增大而增大 D．抛物线的顶点都是原点，顶点是抛物线的最低点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，在同一平面直角坐标系中，画出三个函数的图象，根据二次函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，画函数的图象，如图， A、三个函数的图象都是关于轴对称，函数和的图象开口向上，函数的图象开口向下，故此选项说法错误，不符合题意； B、三个函数的图象都是关于轴对称，抛物线的顶点都是原点，故此选项说法正确，符合题意； C、函数和，当时，随的增大而增大；函数，当时，随的增大而减小，故此选项说法错误，不符合题意； D、三个函数的图象的顶点都是原点，函数和的图象的顶点是最低点，函数的图象的顶点是最高点，故此选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点坐标分别为，，若抛物线与线段有交点，则a的取值范围是 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线与线段的交点需要在之间，将，分别带入函数求出a的值，抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大，即可得出结果． 【详解】解：由题意可知二次函数经过原点，想要抛物线与线段有交点，如下图： 抛物线与线段的交点需要在之间， 当抛物线经过A点时，，解得：， 当跑五项经过B点时，，解得：， 抛物线开口向上，a的绝对值越小，开口越大， ． 故答案为： 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知二次函数与直线相交于点，求： (1)，的值； (2)函数 的图象的顶点的坐标及直线与抛物线的另一个交点的坐标． 【答案】(1) (2)顶点 (即坐标原点)的坐标为，直线与抛物线的另一个交点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数与直线交点求解析式，将直线与函数的图象交点坐标可利用方程求解是解题的关键．直线与函数的图象交点坐标可将两函数解析式联立形成方程组求解，方程组的解对应着交点的横、纵坐标． 【详解】（1）解：点是直线与函数图象的交点， 点A的坐标满足二次函数和直线的关系式， （2）由(1)知二次函数为， ∴顶点的坐标为， 由，解得，， 当时，， 当时，， 直线与抛物线的另一个交点的坐标为． 【经典例题二 y=a(x-h)2+k的图象与性质】 【例2】（2024·浙江台州·一模）抛物线 经过点和，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据题意，由抛物线经过点和，从而可得①，②，又②①得，，即，故，最后即可判断得解．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意，抛物线经过点和， ①，②． ②①得，． ，即． ． ． ． ． 故选：C． 1．（2024·山东泰安·二模）已知二次函数（h为常数），在自变量x的值满足的情况下，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（　　） A．或4 B．0或6 C．1或3 D．或6 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质和最值，根据二次函数的性质和最值分类讨论是解题的关键．由解析式可知该函数在时取得最大值5，时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大，根据时，函数的最大值为，可分如下两种情况：①若，时，取得最大值；②若，当时，取得最大值，分别列出关于的方程求解即可． 【详解】解：∵，二次函数关于对称，在时取得最大值5， 时，随的增大而减小、当时，随的增大而增大， ①若，时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）； ②若，当时，取得最大值， 可得：， 解得：或（舍）． 综上，的值为或6， 故选：D． 2．（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）将、代入二次函数，然后再配方即可解答； （2）先把函数解析式化成顶点式确定顶点坐标，再判定抛物线开口方向向下，然后根据题意可得时，；当时，，再代入函数解析式求得m、n，最后求和即可． 【详解】解：（1）当、时， ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）∵， ∴顶点坐标为， ∵正中，， ∴抛物线开口向下， ∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3， ∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即，解得：， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：，． 3．（2024·江苏南京·三模）已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，的取值范围为_______． (3)该二次函数图象关于轴对称的图象所对应的函数表达式为_______． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，以及关于轴对称的函数图象的特征，熟练掌握二次函数的图象和性质，以及关于轴对称的函数图象的特征是解题的关键． （1）设二次函数的表达式为，根据顶点坐标求出，，再将点代入解析式即可求得； （2）求出当和时的函数值，再结合函数的最值，进行比较即可求出当时，函数值的范围； （3）根据关于轴对称函数的图象的特征是：当自变量取相同时，对应的函数值互为相反数，即可求解； 【详解】（1）解：设二次函数的表达式为， 顶点坐标是， ，， 二次函数解析式为， 又点在二次函数图象上，将点代入，即， 解得， 二次函数解析式为 （2）解：当时，， 当时，， 二次函数对称轴为，开口向上， 当，随的增大而减小；当，随的增大而增大； 在，取得最小值为， 当时，． （3）解： 关于轴对称的函数图象的特征是：当自变量取相同时，对应的函数值互为相反数， 二次函数关于轴对称的图象所对应的函数表达式为． 【经典例题三 y=ax2+bx+c的图象与性质】 【例3】（2024·陕西西安·模拟预测）关于x的二次函数的图象下列说法不正确的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时，图象上的最低点为 C．当时，y的值随x值的增大而增大 D．顶点一定在函数的图象上 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数性质，根据二次函数，反比例函数的图形与性质逐项分析解答即可．熟练掌握二次函数性质是关键． 【详解】解：A、抛物线对称轴为，故原说法正确，不符合题意； B、当时，抛物线解析式为，顶点的坐标，故原说法正确，不符合题意； C、当时，开口方向不确定，的增减性也不确定，故原说法错误，符合题意； D、，，图象的顶点为，故顶点一定在函数的图象上，故原说法正确，不符合题意． 故选：C． 1．（2024·陕西西安·三模）已知二次函数，若对于范围内的任意自变量x，都有，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、解一元一次不等式，理解二次函数的性质是解答本题的关键． 先将解析式化成顶点式，然后根据题意可得可求得当时函数值最大为，进而得到可得，最后再结合即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴抛物线的开口向上， 在对称轴的左侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y最大为， 即， 解得：， 又∵， ∴， 故选B． 2．（2024·上海·模拟预测）已知抛物线的对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，若抛物线上的点纵坐标，则m的取值范围为 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，化为顶点式等，根据题意将二次函数化为顶点式，得出，顶点坐标为，最小值为，确定，再由，得出，然后求不等式解集即可，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴对称轴为， ∵对称轴在y轴右侧，当时，y随x增大而增大，开口向上， ∴，顶点坐标为，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案； （2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 【经典例题四 利用二次函数的性质比较函数值的大小】 【例4】（2023·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上，若，点．，，在该抛物线上．若，比较，，，的大小，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 本题考查抛物线的性质，根据点和点在抛物线上得到，，表示出 ，， ，，，结合判断式子与0的关系即可得到答案； 【详解】解：∵点和点在抛物线上， ∴，， ∵，， ∴， ∵，，在该抛物线上， ∴，， ，， ∴，，，， ∴， 故选：D． 1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）已知抛物线上有两点，若，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．熟练掌握二次函数的图象与性质比较函数值的大小是解题的关键． 由，可知抛物线开口向下，对称轴为直线，则抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越小，由，，可得，进而可得． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值越小， ∵，，即 ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024·江苏淮安·一模）若二次函数 的图象经过点，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．分别把和代入解析式，计算出对应的函数值，然后比较大小． 【详解】解：当时，； 当时，， 所以． 故答案为：． 3．（2024·江苏连云港·三模）已知拋物线． (1)若，求抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)若抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有 ①点在这条抛物线上，当且时，直接判断与的大小关系； ②点是这条抛物线上不同的两点，求证：． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)①；②证明见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数顶点式以及二次根式的性质是求解的关键． （1）将的值代入可求出二次函数解析式，再化成顶点式，即可求出对称轴和顶点坐标； （2）①根据题意可得为抛物线的顶点，根据二次函数的图象及性质即可解答； ③关键抛物线的对称轴可求出的值，再求出函数解析式，C，D是抛物线上的点，分别用含的式子表示出和，进而求出，通过配方式，可证明结论． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的解析式为， ∴ ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：①∵抛物线过点，且对于抛物线上任意一点都有， ∴为抛物线的顶点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向上， ∴抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小， ∵， ∵当且时，点比点更接近对称轴， ∴； ②∵的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵是抛物线上不同的两点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题五 二次函数图象与各系数符号】 【例5】（2024年湖北省中考数学试题）如图，二次函数（）的图象关于直线对称，则下列结论正确的是（   ） A． B．若抛物线与x轴交于，两点，则 C． D．对任意实数t，总有 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性来求解，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况可解决问题． 【详解】解：由图知开口向下， ， 与交于正半轴， ， 图象关于直线对称， ， ， ，A选项错误； 若抛物线与x轴交于，两点， ，则，故B选项正确； ， ， 由图知，当时，， 不成立，故C选项错误； 当时，有，故D选项错误． 故选：B． 1．（23-24八年级下·四川广安·期末）二次函数的图像如图所示，则的取值范围是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口向上知，由二次函数与轴交于负半轴可以推出，又抛物线与轴有两个交点，然后利用前面的结论即可确定的取值范围． 【详解】解：抛物线的开口向上， ，① 二次函数与轴交于负半轴， ，② 抛物线与轴有两个交点，则， ，③， 联立①②③解之得：． 的取值范围是． 故选：D． 2．（2024·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线的对称轴为，与轴的一个交点位于，两点之间．下列结论：①；②；③；④若x1，x2为方程的两个根，则；其中正确的有 （填序号）． 【答案】③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 根据图象的对称轴为，得到，即可判断①；根据抛物线开口向下，对称轴在轴的右边，与轴交点在正半轴上，可分别得到，，，即可判断②；由时推导出时，，得到，即可判断③；由图像得到，，即可判断④． 【详解】∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴在轴的右边，与轴交点在正半轴上， ∴，，， ∴，故②错误； ∵抛物线的对称轴为直线，时， ∴时，，即， ∴， ∴，故③正确； ∵由图象可得：，， ∴，故④正确； ∴正确的有③④， 故答案为：③④． 3．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 【经典例题六 一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断】 【例6】（2024·安徽亳州·一模）反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图像，二次函数的图像，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的思想解答． 根据k的取值范围分当时和当时两种情况进行讨论，由反比例函数的图像与性质以及二次函数的图像与性质判断即可． 【详解】解：对于二次函数，当时，， ∴与y轴交于， 当时，，对于反比例函数，图像经过第一、三象限；对于二次函数，开口向下，与y轴交点在y轴负半轴； 当时，，对于反比例函数，图像经过第二、四象限；对于二次函数，开口向上，与y轴交点在y轴正半轴， ∴选项C符合题意． 故选：C． 1．（23-24八年级下·重庆九龙坡·期末）函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象等知识．熟练掌握二次函数图象，一次函数图象是解题的关键．分别确定各选项中一次函数的的取值范围，然后判断各选项中对应的二次函数图象的正误即可． 【详解】解：A中的，此时的图象应该开口向下，此时矛盾，故不符合要求； B中的，此时的图象应该开口向上，对称轴，故符合要求； C中的，此时的图象应该开口向上，此时矛盾，故不符合要求； D中的，此时的图象应该开口向下，对称轴，此时矛盾，故不符合要求； 故选：B． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象有三个不同的交点，则常数m的取值范围 【答案】0＜m＜4 【分析】首先作出分段函数y=的图象，根据函数的图象即可确定m的取值范围． 【详解】解：分段函数y=的图象如图： 故要使直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，常数m的取值范围为0＜m＜4． 故答案为0＜m＜4． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一． 3．（2024·湖南常德·一模）直线称作抛物线的关联直线．根据定义回答以下问题： (1)求证：抛物线与其关联直线一定有公共点； (2)当时，求抛物线与其关联直线一定都经过的点的坐标（用字母表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与直线的交点，二次函数图像上点的坐标特征， （1）联立方程得出，整理成，根据，可得结论； （2）根据抛物线和直线的特征即可求得； 解题的关键是掌握抛物线与直线的交点坐标的确定方法：把求二次函数（、、是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 【详解】（1）证明：∵抛物线与直线相交， ∴， ∴， 整理得：， ∵， ∴抛物线与其关联直线一定有公共点； （2）解：当时， 抛物线与其关联直线的解析式分别为：， 当时，分别代入抛物线及其关联直线的解析式得： ，， ∴抛物线与其关联直线恒过点； 当时，分别代入抛物线及其关联直线的解析式得： ，， ∴抛物线与其关联直线恒过点； ∴当时，抛物线与其关联直线一定经过的定点的坐标为，． 【经典例题七 利用二次函数的增减性求参数范围】 【例7】．（2024·山东临沂·三模）若二次函数的图象经过点，当时，有最大值，最小值，则的取值范围应是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数的图象经过点，可以求得的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质，时，有最大值，最小值，即可得到的取值范围． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 解得， ， 该函数的图象开口向下，对称轴是直线，当时，该函数取得最大值， 当时，有最大值，最小值，当时，， 根据对称性可得时，， ， 故选：C． 1．（22-23九年级下·浙江杭州·期中）已知点、是二次函数图象上的两个点，若当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据点A、B是该二次函数图象上的两点且纵坐标相等，可得对称轴为直线，再根据开口向上，时，y随x的增大而减小，可得，据此即可求解． 【详解】解：∵点、是二次函数图象上的两个点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线，且开口向上， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧， ， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，得到该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧是解决本题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江衢州·阶段练习）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为，（1）若对于，，有，则 ；（2）若对于，，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 3 【分析】（1）根据对称轴，结合，，有，即可作答； （2）对于，，都有，则根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出，的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：（1）∵，，有， ∴根据对称轴，即， （2）∵对于，，都有， ∴，， ∵， ∴离对称轴更近， 则，的中点在对称轴的右侧， ∴ ∵ 即， 故答案为：3， 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键． 3．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，有，求t的值； (2)若对于，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求得对称轴即可求解； （2）根据题意可得离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧，根据对称性求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵对于有， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线的对称轴为． ∴； （2）解：∵当， ∴，， ∵，， ∴离对称轴更近，，则与的中点在对称轴的右侧， ∴， 即． 【经典例题八 已知抛物线上对称的两点求对称轴】 【例8】1（2024·山东济南·二模）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线的图象与性质，判断对称轴在之间、确定函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值是解题的关键．由二次函数的图象经过点，两点，得出对称轴为直线，即可得出对称轴在之间，根据函数的最大值是时所对应的函数值，函数的最小值是时所对应的函数值，求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， 图象开口向上，对称轴为直线 ∵对称轴为直线， ∴ ， ∴ ， 当时，函数的最小值是时所对应的函数值， 且为 函数的最大值是时所对应的函数值， ∴， ∴，代入，得 故选：C． 1．（2023·浙江宁波·一模）已知抛物线经过，，三点，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据，可得，两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为，再由，可得点在点的右侧，，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，两点关于对称轴对称． ∴， 即抛物线解析式为． ∵， ∴点在点的右侧，且有， ∴． 情况1：如图1，当点与点均在对称轴的左侧时，此时； 当时，二次函数取到最大值为； 当时，二次函数取到最小值为， ∴，解得（舍去）． 情况2：如图2，当点与点在对称轴的两侧时，此时；到对称轴的水平距离为．到对称轴的距离为，当时，二次函数取到最大值为；当时，二次函数取到最小值为，∴，解得或（舍）． 综上，． 故选：B 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏南通·期中）一元二次方程可以写成的形式，则二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，求得二次函数与x轴的两个交点进而求对称轴是解题的关键． 根据一元二次方程可以写成的形式，即可得到二次函数与x轴的两个交点分别是，得到对称轴，再求的对称轴即可． 【详解】解：∵一元二次方程可以写成的形式， ∴函数可以写成， ∴抛物线与x轴的交点为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象向右平移1个单位得到， ∴二次函数的对称轴是直线， 故答案为：． 3．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的对称轴； ②当时，比较，的大小，并说明理由； (2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． （1）①利用抛物线经过点和点，函数值相等的两点连线的垂直平分线即为对称轴，即可得解； ②分当时和当时两种情况讨论，证明点比点离对称轴更近即可得解； （2）利用，开口向上得出，从而得到，结合“存在实数，当时，都有”得到，根据当时，有最小值，得出，从而得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点和点， ∴抛物线的对称轴是：直线， ②，理由如下： ∵， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 即点比点离对称轴更近， ∴， 当时， ∵ ∴， 即点比点离对称轴更近， ∴， 综上所述：． （2）∵即，开口向上， ∴， ∴ ， ∵， ∴随着m的增大而增大， 要使得存在实数，当时，都有， 只需保证， 即当时，， ∴的取值范围是． 【经典例题九 根据二次函数的对称性求函数值】 【例9】（2024·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若抛物线与x轴只有一个公共点．且过点，．则n的值为（   ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法等，解题的关键是由题意，得，又抛物线过点，，可知、关于直线对称，所以，，，，把点坐标代入，化简整理即可解决问题． 【详解】解：由题意， ， 又抛物线过点，， 、关于直线对称， ，，，， 把点坐标代入， ， ， ． 故选：B． 1．（23-24八年级下·北京·期中）已知点、为抛物线上的两点，当，时，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质以及根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先解出二次函数的对称轴，再结合开口方向向下，以及每个 选项的具体条件作进一步分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴开口向上且对称轴， ∴设关于对称轴对称点的坐标为 如图所示： 当时， ∵， ∴， ∵对称轴， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴ ∵开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴ 即 故A选项是错误的； 若， 当都位于对称轴的右侧时， 则 ∴ 当位于对称轴的异侧时， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴， 则 ∴ ∵， ∴ ∴ 故B选项是错误的； 若， 当位于对称轴的右侧时， ∵二次函数开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴不存在 当位于对称轴的异侧时， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴， 则 ∴ ∵， ∴ ∴ 故C选项是错误的； 当时， ∵， ∴， ∵对称轴， ∵关于对称轴对称点的坐标为 ∴ ∵开口向上，在对称轴的右边时，随的增大而增大 ∴ 即 故D选项是正确的； 故选：D． 2．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）已知，是二次函数的图象上的两点，则当时，二次函数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象的对称性得出，然后将其代入函数关系式即可求得二次函数的值，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，是二次函数的图象上两点， ∴ 关于对称轴对称， ∵， ∴， ∴， 将代入得， ， 故答案为：． 3．（2024·浙江台州·二模）已知，关于x 的二次函数． (1)若函数经过点，求抛物线的对称轴； (2)若点均在抛物线上，则p q（填“”，“”或“”）. (3)记，当时，始终成立，求t 的取值范围． 【答案】(1)直线 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由经过点，可得，再由对称轴是，进而可以判断得解； （2）依据题意，抛物线的对称轴是直线，结合的开口向上，从而抛物线上点离对称轴越近函数值就越小，又，故可判断得解； （3）依据题意，令，又当时，始终成立，即当时，恒成立，再结合抛物线的对称轴为直线，进行分类讨论即可判断得解． 【详解】（1）解：经过点， ． ． 抛物线的对称轴是直线． （2）解：由题意，抛物线的对称轴是直线． 的开口向上， 抛物线上点离对称轴越近函数值就越小． ， ． 故答案为：． （3）解：由题意，令， 又当时，始终成立， 当时，恒成立． 又抛物线的对称轴为直线， 可分以下情形讨论． ①当时，即． ， 当时，随的增大而减小． 当时，． ． 此时无解． ②当时，即． ， ． ． ． 此时． ③当时，即． ， 当时，随的增大而增大． 当时，． ． 故此时无解． 综上，． 【经典例题十 待定系数法求二次函数解析式】 【例10】（2024·四川南充·三模）已知抛物线：与抛物线：关于点成中心对称，若当时，有最大值为4，则m的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键.求出抛物线的顶点是，得到关于的中心对称点为，，分和两种情况分别进行解答即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点是， 设关于的中心对称点为， 则， 解得， ∴关于的中心对称点为， ∴，且抛物线：与抛物线：开口方向相反，形状相同，即， 当时，抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵当时，有最大值为4，且， ∴当时，，解得， ∴， 当时，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵当时，而 ∴当时，有最大值，最大值为， 显然，不符合题意， 综上可知，， 故选：C． 1．（2023九年级下·全国·专题练习）如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 抛物线解析式为， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式的知识点，准确分析是解题的关键．在利用待定系数法求二次函数解析式时，要根据题目所给的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，一般的，当已知抛物线上三点时，选用一般式，用待定系数法列三元一次方程组进行求解，已知抛物线顶点或对称轴时，设成顶点式，已知与轴交点时，可设交点式，通过图象设解析式求解即可． 2．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，抛物线经过点，点在抛物线上，轴，且平分，则此抛物线的解析式是 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，等腰三角形的判定；由平行、平分条件及勾股定理，可得，再由二次函数的性质得点B的坐标，由待定系数法即可求解． 【详解】解：在中，令，得， ∴，即； ∵， ∴， 由勾股定理得：； ∵轴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵轴， ∴； 把A、B两点坐标代入中， 得，解得：， ∴； 故答案为：． 3．（2024·陕西渭南·一模）如图，抛物线经过点和，与两坐标轴的交点分别为，，，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)点在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为，若使以、、为顶点的三角形与全等，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或； 【分析】本题考查二次函数的图像和性质、待定系数法求二次函数解析式及全等三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键． （1）将和代入，用待定系数法即得抛物线的表达式； （2）由得对称轴为直线，，，即知是等腰直角三角形，根据以、、为顶点的三角形与全等，得，即可求得或． 【详解】（1）解：将和代入得： ， 解得， 抛物线的表达式为； （2）如图： 由得对称轴为直线，，， ， 是等腰直角三角形， 在对称轴上，点在抛物线上，过点作对称轴的垂线，垂足为， ， 以、、为顶点的三角形与全等， ， 或， 或； 【经典例题十一 二次函数图象的平移】 【例11】（2024·江西九江·二模）在平面直角坐标系中，若把对称轴为直线的抛物线向上平移，使得平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点，则下列平移方式正确的是（    ） A．向上平移个单位长度 B．向上平移个单位长度 C．向上平移个单位长度 D．向上平移个单位长度 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，利用对称轴求得，可得抛物线解析式为，得到抛物线的顶点坐标为，根据平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点可得平移后的抛物线顶点在轴上，据此即可求解，掌握二次函数图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵平移后的抛物线与坐标轴恰好有两个交点， ∴平移后的抛物线顶点在轴上， ∴抛物线应向上平移个单位长度， 故选：． 1．（2024·陕西汉中·二模）已知二次函数，将该二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象，当时，平移后所得的新二次函数的最大值（    ） A．3 B．5 C．7 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与图象变化，熟练掌握最值求法是解答本题的关键．先推出平移后的抛物线解析式为，再根据增减性，求出，时的函数进行比较即可． 【详解】解：二次函数， 将二次函数的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数解析式为：， 则当时，随增大而增大，当时随增大而减小， 当时，，当时，， ∴当时，平移后所得的新二次函数的最大值在时取得， 即：当时，平移后所得的新二次函数的最大值为5， 故选：B． 2．（2023·山东济宁·模拟预测）将抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先将函数解析式整理成顶点式形式并求出顶点坐标，再根据绕顶点旋转后的图象与原图象开口相反，利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：， ， ， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线绕顶点旋转后的图象的解析式为， 即． 故答案为：． 3．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴相交于，B两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线L的表达式； (2)将抛物线L向左或向右平移m（）个单位长度，得到抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与y轴交于点，当为等腰直角三角形时，求m的值． 【答案】(1)抛物线L的表达式为 (2)m的值为2或4 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，等腰三角形的判定． （1）根据抛物线L的对称轴可得，从而求出b的值，把点代入，即可求出c的值，从而解答； （2）由可知当为等腰直角三角形时，只需．分两种情况讨论：①将抛物线L向右平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为，得到．由可得，求解即可；②将抛物线L向左平移m（）个单位长度后得到抛物线，同①思路即可解答． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线， ∴，解得， ∴． 将点代入中，得，解得 ∴抛物线L的表达式为； （2）∵， ∴当为等腰直角三角形时，只需． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴． 由（1）得， 分两种情况讨论： ①将抛物线L向右平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为， ∴． ∵ ∴ 当时，解得或（舍去）； 当时，解得或（舍去）， ∴m的值为2或4； ②将抛物线L向左平移m（）个单位长度后得到抛物线的表达式为， ∴． ∵ ∴ 当时，解得（舍去）或； 当时，解得（舍去）或； 当时，点，均与点O重合， 此时不存在为等腰直角三角形． 综上所述，m的值为2或4． 【经典例题十二 y=ax2+bx+c的最值】 【例12】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线 (n为常数)，当时，其对应的函数值最大为，则n的值为（    ） A．或7 B．1 或7 C．4 D． 或4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质．熟练掌握二次函数的增减性，是解题的关键．分，和三种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，对称轴为直线， ∴抛物线的开口向下，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小； 当时，则时，函数值y有最大值， 故， 解得：（舍去）； 当时，的最大值为，不符合题意； 当时，则时，函数值y有最大值， 故， 解得：（舍去），． 综上所述：n的值为或7． 故选：A． 1．（2024·四川乐山·中考真题）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 由，可知图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，，即关于对称轴对称的点坐标为，由当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，可得，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， ∴关于对称轴对称的点坐标为， ∵当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， 解得，， 故选：C． 2．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）平面直角坐标系中，已知抛物线（a是常数，且a＜0），直线过点且垂直于y轴．当时，沿直线将该抛物线在直线上方的部分翻折，其余部分不变，得到新图象G，图象G对应的函数记为，且当时，函数的最大值与最小值之差小于7，则n的取值范围为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标和二次函数的翻折，解题关键是准确理解题意，列出不等式． 先求得顶点M的坐标，然后根据轴对称的性质求得对称点的坐标，再求出时函数值，确定最大值和最小值，根据最大值与最小值之差小于7，列不等式即可． 【详解】解：， 当时，， 抛物线的顶点， 直线轴且过点， 点M关于直线的对称点， 抛物线y1的对称轴为直线，且自变量x的取值范围为， 当时的值与当时的值相等，为， 由题意得函数的最大值为n， 若，即时，的最小值为， ∵函数的最大值与最小值之差小于7， ，即， ， 若，即时，的最小值为， ∵函数的最大值与最小值之差小于7， 即， ， 综上，， 故答案为：．    3．（23-24九年级下·河北张家口·阶段练习）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为______； (2)当抛物线经过时，求抛物线的解析式，并说明点能否在抛物线上．如果能请求出的值，如果不能请说明理由； (3)若将抛物线先向右平移个单位再向下平移个单位后，与抛物线重合，求的值； (4)当时，抛物线有最小值，直接写出的值． 【答案】(1)直线 (2)；不能；理由见解析 (3)5 (4)4或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）将一般式转化为顶点式，写出对称轴即可； （2）把代入，求出函数解析式即可，把代入解析式进行判断即可； （3）根据平移规则，进行求解即可； （4）分和，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴对称轴为直线， 故答案为：直线； （2）把点代入抛物线的解析式，得，解得， 抛物线的解析式为． 点不可能在抛物线上． 理由如下：把点代入抛物线的解析式，得，整理得． ， 方程无实数根， 点不在抛物线上； （3）将抛物线先向右平移个单位再向下平移个单位后，与抛物线重合， ， 抛物线的解析式为． 抛物线先向右平移个单位再向下平移个单位后与抛物线重合，， ， ， ； （4）解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 当时，抛物线的开口向上， ∵， ∴当时，有最小值， 把点代入抛物线的解析式，得， ； 当时，抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∴当时，抛物线有最小值，把点代入抛物线的解析式，得， 解得． 综上，的值为4或． 【经典例题十三 利用二次函数对称性求最短路径】 【例13】（2023·山东泰安·二模）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，图象与轴交于点，则下面结论： ①； ②关于的方程的解是，； ③当时，； ④当时，； ⑤周长的最小值是； 正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】把代入，可判断①，根据于轴交点和对称轴，可确定与轴另一交点，从而确定方程的解，可判断②，把、分别代入，可判断③④，作点关于直线的对称点，计算的长，即可求解， 本题考查了，二次函数与坐标轴交点，根据二次函数图像确定方程的根，求最短路径，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图像性质． 【详解】解：把代入，， 解得：，二次函数解析式为：，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故②正确， 当时，，，故③正确， 当时，，故④正确， 作点关于直线的对称点，如图， 连接交直线于点， ∵， ∴， ∴此时的值最小， ∴此时周长有最小值， ∵， ∴周长的最小值为，故⑤正确， 综上所述，①②③④⑤正确， 故选：． 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 2．（22-23九年级上·河南许昌·期中）如图，抛物线与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，在其对称轴上有一动点M，连接，则当的周长最小时，点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据“将军饮马”模型，先求出，由二次函数对称性，关于对称轴对称，从而，，则周长的最小值就是的最小值，根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长，再求出直线的解析式，即可得到答案． 【详解】解：如图，点A关于函数对称轴的对称点为点B，连接交函数对称轴于点M，则点M为所求点， 抛物线与x轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点， 当时，， 解得：或， 即； 当时，，即， ∴抛物线对称轴为直线， 由二次函数对称性，关于对称轴对称，即， ， ， 周长的最小值就是的最小值， 根据两点之间线段最短即可得到的最小值为三点共线时线段长， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点M的坐标为 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题与二次函数综合，涉及“将军饮马”模型求最值、二次函数图像与性质、解一元二次方程、勾股定理求线段长等知识，熟练掌握动点最值的常见模型是解决问题的关键． 3（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线． (1)证明：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； (2)若该抛物线经过坐标原点，且对称轴在y轴的右侧，则m的值为______． (3)若O为坐标原点，该抛物线与y轴交于点C，当时，在该抛物线的对称轴上找一点P，使得的和最小，则P点的坐标为_______． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的情况来确定抛物线与x轴的交点情况，以及运用待定系数法求函数解析式的运用． （1）根据方程根的判别式的符号直接判断即可作答； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可得对称轴为：，根据对称轴在y轴的右侧，可得，再代入原点坐标，问题即可得解； （3）当时，，则抛物线的对称轴为：，作点O关于的对称点G，即有，连接交抛物线对称轴于点P，连接，根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小，利用待定系数法求出直线的解析式为：，当时，，问题随之得解． 【详解】（1）令，可得方程 ∵， ∴不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根， ∴不论m为何值，抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）， ∴抛物线的对称轴为：， ∵对称轴在y轴的右侧， ∴， ∵该抛物线经过坐标原点， ∴， 解得：（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：3； （3）当时，， ∴抛物线的对称轴为：直线， 作点O关于的对称点G，即有， 连接交抛物线对称轴于点P，连接，如图，    根据轴对称的性质、两点之间线段最短，可知此时的和最小， 当时，， ∴， 设直线的解析式为：， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴， 故答案为：． 【经典例题十四 二次函数与一次函数的综合】 【例14】（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 1．（2024·河南南阳·二模）如图，一次函数与二次函数的图象相交于两点，则函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与一次函数交点问题，由图象得出一元二次方程有两个不相等的正实数根，由此即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：一次函数与二次函数的图象相交于两点， 由图可得：一元二次方程有两个不相等的正实数根， 函数的图象与轴的正半轴有两个交点， 故选：A． 2．（23-24九年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线（是常数，且）经过点． （1）该抛物线的顶点坐标为 ． （2）若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标分别是，，且，则的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求出的值，再将抛物线解析式表示成顶点式，即可求解； （2）将一次函数和二次函数解析式联立，求出，然后表示出，求出的表达式，再将表达式化为顶点式，求二次函数的最值即可． 【详解】解：（1）将点代入抛物线， 可得，解得， ∴该抛物线解析式为， ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）将一次函数解析式与抛物线解析式联立， 可得， 整理可得， 解得，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取最大值，最大值为4． 故答案为：（1）；（2）4． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的顶点式、一次函数与二次函数的交点问题等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数 (1)当二次函数经过点时． ①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标； ②一次函数的图象经过点A，点在一次函数． 的图象上，点在二次函数 的图象上． 若，求n的取值范围． (2)设二次函数 的图象上有不重合的两点 其中且满足，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出，，根据，得到，令，利用二次函数的性质求出当或时，，则当或时，； （2）当时，解得，，根据得到，得到，令，利用二次函数的性质求出当时，，则当时，且满足。 【详解】（1）解：①∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为； ②∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴当或时，； （2）解；在中，当时， 解得，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， 在中，当时，即， 解得或， ∴由函数图象可知，当时，， ∴当时，且满足； 【经典例题十五 二次函数图象与性质的综合】 【例15】（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线过点，两点，若，时，y的最大值为，则t的值是（    ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线过点，两点，可以求得该抛物线的对称轴，然后再根据，时，y的最大值为即可求得的值． 【详解】解：∵抛物线过点，两点， ， 解得：， ∴抛物线即为， 它的开口向下，对称轴是直线， 当时，有最大值， 若，则， ∵当时，y的最大值为， ∴， 即， 解得：， ∵， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1．（2024·福建三明·三模）已知点，，，都在二次函数（，，为常数，且）的图象上，若，则的取值范围是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，由题意得，，，，再根据，求出，然后分和两种情况讨论即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】∵二次函数过点，，，， ∴，，，， ∴，即有， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， 综上可知：的取值范围是或， 故选：． 2．（2024·福建厦门·二模）抛物线经过，两点，若，当时，都有，则b的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是二次函数的性质，由条件可得，即，再结合，进一步解答即可． 【详解】解：∵抛物线经过，两点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 3．（2024·湖北荆州·二模）已知抛物线：的图像与x轴交于点，与y轴交于点，点为y轴上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点E是第一象限抛物线上一点，且，与x轴交于点D，求点E的横坐标； (3)点P是上的一个动点，连接，取的中点，设点构成的曲线是，直线与，的交点从左至右依次为，，，，则是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)为定值，等于1 【分析】（1）利用待定系数法，将点坐标代入，解方程组即可； （2）先证明，根据等腰三角形三线合一，得到平分，结合，推出，然后在中利用勾股定理求出的长度，得到的坐标，下一步求出直线的表达式，联立直线与抛物线，得到点的坐标； （3）设点，作轴于M，作轴于N，通过是中位线表示出点的坐标，然后将点代入抛物线，得到的轨迹方程，将的轨迹方程与分别与联立，利用未达定理，得到，的值，最后算出的值． 【详解】（1）将点，代入抛物线， 得到，解得 抛物线的解析式为 （2），， ， 又， 平分 设，则 在中， ，解得， 设直线解析式为，代入点，则，解得 直线解析式为 联立抛物线与直线， 得，（舍）， 点E的横坐标为； （3）为定值，理由如下： 设点，作轴于M，作轴于N，则， 又为中点， 为中位线 ，为中点 ， ， 将点代入抛物线， 化简得， 设，，，的横坐标分别为，，， 则 由得， 由得， 定值． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的中位线，韦达定理等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 1．已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（    ） A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有 C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，再分情况讨论，当时，当时，， 的大小情况，即可解题． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为， 当时，， ， 当时，， ， 故A、B错误，不符合题意； 当时，， 由二次函数对称性可知，， 当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于， 故C正确符合题意；D错误，不符合题意； 故选：C． 2．已知点，在抛物线上，当且时，都有，则m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质．根据题意和二次函数的性质，可以求得m的取值范围本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当且时，都有， ∴且时，都有， ∴且，解得； ∴m的取值范围为， 故选：D． 3．如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点 P，Q 都在x轴上，平行于x轴的直线与两条抛物线相交于A，B，C，D四点，若，，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N，得四边形是矩形，利用抛物线的对称性计算即可． 本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】分别作出两条抛物线的对称轴，交于点M，N， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， 故选B． 4．已知点在抛物线上，点在直线，当时，下列判断正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用：根据函数的性质画出函数的大致图像，根据图象数形结合，逐项判断即可． 【详解】解：由题意可知：抛物线的对称轴为， 抛物线与直线经过点， ， ∴抛物线开口向上，直线经过一、二、四象限， 当时，或， 当时，或，故A、B错误，不符合题意； 当时，图像位于轴的左侧，可知；故C正确，符合题意； 当时，图像位于轴的左侧，可知或；故D错误，不符合题意． 故选：C． 5．已知抛物线（为常数，）经过点，该抛物线的顶点横坐标为1，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据已知可得，根据该抛物线的顶点横坐标为1，得出抛物线开口向下，对称轴为直线，则，进而得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵抛物线经过点 ∴ ∵该抛物线的顶点横坐标为1， ∴抛物线开口向下则，对称轴为直线 ∴即， ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得： 故选：B． 6．已知二次函数的对称轴是直线，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性，求出二次函数图象与x轴的两个交点坐标，利用抛物线的对称性即这两个交点关于对称轴对称，即可求得． 【详解】解：令，解得：， 即抛物线与x轴的两个交点坐标为， 由于抛物线的对称轴是直线，即， 解得： 故答案为：． 7．对于一个二次函数（）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为 ． 【答案】4 【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有，解得，则， 抛物线“开口大小”为， 故答案为：． 8．在平面直角坐标系中，，，是二次函数图象上三点．若，，则 （填“”或“”）；若对于，，，存在，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、不等式的性质以及解不等式组，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．先求得二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得抛物线的对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴， ∴； ∵，，，， ∴， ∵存在， ∴，，且离对称轴最远，离对称轴最近， ∴，即，且， ∵，， ∴且， 解得， 故答案为：；． 9．已知二次函数，都在二次函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线过，从而对称轴是直线，故，即，又抛物线开口向下，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，再结合当时，，且，可得，即，再分类讨论即可得解． 【详解】解：由题意，抛物线过， 对称轴是直线． ，即． 又抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大． 又当时，，且， ． ． ①时，， ． ②时，， ． 综上，或． 故答案为：或． 10．如图，已知，，，抛物线过点C，顶点M位于第二象限且在线段的垂直平分线上，若该抛物线与线段没有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质．由点、的坐标结合抛物线的顶点位于第一象限且在线段的垂直平分线上，即可得出值以及，分点在线段下方及点在线段上方两种情况考虑抛物线与线段无公共点，当点在线段下方时，根据点的坐标即可得出；当点在线段上方时，由抛物线过点及当时值大于3，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出，进而得解． 【详解】解：抛物线的顶点位于第二象限且在线段的垂直平分线上，且点，， ，． 抛物线与线段无公共点分两种情况： ①当点在线段下方时， 点的坐标为， ． ②当点在线段上方时， 有， 解得：． 综上所述：的取值范围为或． 故答案为：或． 11．已知二次函数的图象经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若点和点均在该抛物线上，当时，请你比较，的大小关系； (3)若，且当时，y有最小值为，求a的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时， (3)或 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）把代入可得，然后根据对称轴公式计算即可； （2）由（1）得抛物线的解析式为，然后把和代入得到，然后对于a分为和两种情况讨论即可； （3）分为和两种情况，利用最值讨论即可解题． 【详解】（1）解：把代入得， 解得：， ∴对称轴为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为， 把点和点代入得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，，则； 当时，，则； （3）解：∵， ∴抛物线的解析式为， 当时，即时，有最小值，即，解得； 当时，即时，有最小值，即，解得； 综上所述，a的值为或． 12．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中． (1)求二次函数的表达式； (2)若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本小题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想等． （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 13．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表： 0 1 2 3 0 3 4 3 0 (1)求二次函数的表达式； (2)如图，连接，在直线上方抛物线上是否存在一点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点的坐标和的最大面积．    (3)将线段先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段，若抛物线与线段只有一个公共点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）由表格求出，设，连接，求得的面积的面积的面积的面积，再根据二次函数的性质解答； （3）由题意可得，利用配方法得到抛物线的顶点为，当时；当时，，分两种情况：当时，且，得；当时，且，得；当时，只有一个公共点，；由此得到或或． 【详解】（1）将代入，得 ， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）由表格可知，当时，或；当时，， ∴， 设，连接，   的面积的面积的面积的面积 ∴当时，的面积的面积最大，最大值是； （3）由题意可得， ∴抛物线的顶点为，当时；当时，， 当时，只有一个公共点，∴； 当时，开口向下，则且，得； 当时，开口向上，则且，得； 综上，或或． 【点睛】此题考查二次函数的综合应用，掌握二次函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系，图形面积的计算，分类讨论等知识思想是解题的关键． 14．如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方的抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值； (3)设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出所有符合条件的点N坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，，，， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，而，则，即可求解； （3）当为对角线时，由中点坐标公式和列出方程组，即可求解；当或为对角线，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 又过， 则， 则． 即， 即； （2）解：如图1，过点作轴于点，交于点，作 于点，连接、， 、， 则，， 由点、的坐标得，直线解析式为， ，， ． ， 又， ． ， 则， 当 时，； （3）解：存在，理由： 设点、点， 当为对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点的坐标为：； 当或为对角线，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：或， 即点的坐标为：，或； 综上，或或或． 【点睛】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式；结合对称点解决线段和最小问题；熟悉等腰直角三角形的性质，并应用于点的存在的研究；熟悉菱形的性质，并运用于菱形顶点的存在性研究是解决此题的关键． 15．已知，如图抛物线与轴交于点，与轴交于，两点，点在点左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式． (2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，求点的坐标． (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意得点C的坐标，将点B、C的坐标代入抛物线即可求得答案； （2）因为抛物线的对称轴为，点B和点A关于对称轴对称，的值最小转化为求，结合（1）求得点A的坐标，利用点A、C的坐标求得直线解析式，即可求得答案； （3）过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，利用抛物线和直线解析式表示点D和点E，求得的距离，将四边形面积分割求和，表示为一元二次函数，求该函数的最值即可解得答案； 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，， ∴，， 即点，代入得， 解得， 则抛物线的解析式； （2）解：由抛物线的解析式得对称轴为，， ∵点是抛物线对称轴上的一个动点， ∴， ∵点B关于对称轴的对称点为点A， ∴的值最小为，如图， 设直线的解析式为将点，代入得， 解得，则，当时，， 故当的值最小时，点； （3）解：过点D作直线轴，交于点E，交x轴于点F，过点C作于点G，如图， 设点，则点，得， ， ∵， ∴当时，， 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的最值以及三角形的面积公式，解题的关键是函数图象上点的特征、用点的坐标表示距离和面积分割求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$