第3.4节 共点力平衡（2）-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（沪科版2020上海必修第一册）

第三章 相互作用与力的平衡 第3.4节 共点力平衡（2） 课程标准 ①知道用共点力平衡分析解决斜面上物体处于静止状态的受力； ②综合运用重力、弹力、摩擦力来分析解决一些复杂问题。 物理素养 物理观念：能够解释平衡状态的含义，并能够判断一个物体所处的状态是否平衡； 科学思维：能够通过实验和练习归纳出应用力的平衡条件解决实际问题的基本步骤和基本方法； 科学探究：能够从物理现象和实验中归纳简单的科学规律； 科学态度与责任：意识到物理规律在现实生活中的重要作用，增强对物理学习的兴趣。 1. 斜面摩擦角： (1) 摩擦角：物体A放在平板的右端，逐渐抬高右端，当物体A刚好下滑或匀速下滑，斜面与水平面成α角，称摩擦角。 (2) 由得：，即摩擦角只与斜面粗糙程度有关。斜面越粗糙，摩擦角越大。 (3) 处于摩擦角状态，物体所受合力为0，即斜面对物体的摩擦力和支持力的合力与物体重力等大反向，即竖直向上。 2. 求最值： 极值是指研究满足共点力平衡的条件下，某个力取最大或最小，一般用几何方法求解，有些复杂问题需要用到三角函数等数学知识。 3. 细绳的连接点： 绳子能滑动，两边的倾角相同，张力相同。 【考点01】 斜面摩擦角 例1. 如图甲所示，质量为M的直角劈B放在水平面上，在劈的斜面上放一个质量为m的物体A，用一个竖直向下的力F作用于A上，物体A刚好沿斜面匀速下滑。若改用一个斜向下的力F'作用在A时，物体A加速下滑，如图乙所示，则在图乙中地面对劈的摩擦力f大小为　 　，支持力N 　 　Mg（填＞，＜或＝）。 【答案】0，＞ 【解析】设斜面的倾角为θ。对于图甲，以A为研究对象，分析受力，作出力图如图1所示． 根据平衡条件：（mg+F）sinθ＝μ（mg+F）cosθ，得μ＝tanθ 对于乙图，以B为研究对象，分析受力，作出力图如图2所示。 设地面对B的摩擦力方向水平向右， 根据平衡条件得水平方向：f＝f1cosθ﹣N1sinθ，又f1＝μN1 得到f＝μN1cosθ﹣N1sinθ＝tanθ•N1cosθ﹣N1sinθ＝0。 竖直方向：N＝Mg+f1sinθ+N1cosθ＞Mg 图1 图2 【考点02】 求最值问题 例2. 如图所示，质量为m的物体与水平面间动摩擦因数为µ，现用力F拉物体使之匀速运动。求 （1）θ多大时F最小？ （2）这个最小力Fmin多大？ 【答案】（1）arctan μ （2） 【解析】物体受到四个力作用:重力mg、拉力F、地面支持力N和滑动摩擦力f。由于物体做匀速直线运动，故4力平衡，如图所示。 由于物体所受支持力和摩擦力成正比，所以合力方向不变，，把支持力和摩擦力的合力F1看成一个力，则转化为收到3个力，即重力不变，一个力F1方向不变，求F的最小值问题。 即F的方向和F1垂直时，F最小，所以 【考点03】 细绳的连接点 例2. 如图，长为5m的轻绳的两端分别系在竖直立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B上，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重12N的物体，求 （1）平衡时，绳的张力T=___________； （2）若将右侧悬点由A稍向下移至A1点（绳长不变），重新平衡后，绳上的张力将________（填变大、变小或不变）。 （3）若将右侧悬点由A稍向左移至A2点（绳长不变），重新平衡后，绳上的张力将________（填变大、变小或不变）。 【答案】（1）10N （2）不变 （3）变小 【解析】 （1）物体受到三个力的作用：物体的重力G =12N，绳子B对物体的拉力TB，绳子A对物体的拉力TA，细绳与竖直方向夹角为θ，由于连接AB的是同一条绳子并能滑动，则有TA=TB=T。 由正交分解，根据竖直方向受力平衡得：TB cosθ+TAcosθ = G. 由几何关系得到cosθ=0.6，即 （2）右侧悬点由A稍向下移至A1点，由几何关系知θ不变，所以细绳张力不变； （3）右侧悬点由A稍向左移至A2点，由几何关系知θ变小，所以细绳张力变小。 【考点04】 斜面上物体的摩擦力方向 例2. 要使一个质量为m的物体A能够静止在倾角为θ的斜面上，施加一个水平向右推力，如图所示；已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，物体受到的最大静摩擦力近似认为是物体受到的滑动摩擦力。 （1）画出物体恰好不滑动时的受力分析图； （2）求推力的范围。 【答案】（1）见解析图1，图2 （2） 【详解】（1）当物体A恰好能够不沿斜面向下滑而静止在斜面上时，推力F最小，此时物体所受的最大静摩擦力Ff沿斜面向上，受力分析图如图1： 图1 图2 当物体A恰好能够不沿斜面向上滑而静止在斜面上时，推力F最大，此时物体所受的最大静摩擦力沿斜面向下，受力分析图如图2 （2）当推力F最小时，由平衡条件， 垂直斜面方向上 沿斜面方向上 解得 当推力F最大时，由平衡条件，垂直斜面方向上 ， 沿斜面方向上 ，解得 所以物体静止在斜面上，推力F的范围为： 1．如图所示，倾角为α＝30°的斜面光滑，球所受重力为100N，用水平细绳拉住，球静止在斜面上，则斜面受到球的压力大小为________N，水平绳子的拉力大小为_________N。 【答案】   200     100 【详解】[1][2]对小球进行受力分析，如图所示 由平衡条件可得 ， 所以绳子拉力为100N，再由牛顿第三定律可得，斜面受到球的压力大小为200N。 2．如图所示，水平放置的两固定光滑硬杆OA、OB成θ角，在两杆上各套一轻环P、Q，两环用细绳相连。现用一大小为F的恒力沿OB方向拉圆环Q，当两环处于平衡状态时，在水平方向上，OA杆对P环的作用力　 　，OB杆对Q环的作用力　 　。 【答案】，Fcotθ。 【解析】以P为研究对象，稳定时，P环受到轻绳的张力和杆的支持力，杆的支持力方向与杆垂直，根据平衡条件得知，稳定时轻绳与杆垂直，再以Q为研究对象，分析受力如图所示， 根据平衡条件得：Tsinθ＝F，N＝Tcosθ， 解得：T＝，N＝Fcotθ 对P环，由平衡条件知：0A杆对P环的作用力为：FN＝T＝ 3．汽车陷入泥泞地，无论如何发动和用力推，都不能使汽车从泥泞地中出来。驾驶员灵机一动，想出一个好办法，用钢索将汽车与附近固定不动的石块相连并拉紧钢索，然后在钢索中央用垂直钢索的力拉钢索，居然用较小的力就使钢绳产生了很大的拉力，从而使汽车移动。假设图中汽车与石块相距，在力F作用下钢索的中点被拉过，此时大小为，在汽车在图示位置受到的拉力大小为_________N。若欲继续使汽车缓慢移动，拉力将_________。（填“变小”、“变大”或“不变”） 【答案】    4000    变大 【详解】[1]根据题意，对拉绳的结点受力分析，如图1所示 图1 图2 由平衡条件有 解得 由绳子拉力的特点可知，汽车在图示位置受到的拉力大小为 [2]根据题意，继续使汽车缓慢移动，对汽车受力分析，如图2所示 由平衡条件可得 ， 解得 由于变大，减小，不变，则变大。 4．如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的轻质细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1。现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2（k2>k1）的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2。则T1________T2，F1________F2（均选填“>”“＝”或“＜”）。 【答案】  ＝     ＜ 【详解】[1][2]以小球B为研究对象，进行受力分析如图所示 由平衡条件可知，弹簧的弹力F和绳子的拉力T的合力F合与重力mg大小相等，方向相反， 即 F合＝mg 由三角形相似（力的三角形和几何三角形相似）得 又OA＝OB＝L，设弹簧长度为x，得：T＝mg， 故绳子的拉力T只与小球B受到的重力有关，与弹簧的劲度系数无关，所以 T1＝T2 当弹簧的劲度系数变大时，弹簧的压缩量减小，故长度x增大，则 F1＜F2 5．如图，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂一质量为M的物体；OO′段水平，长度为L；绳子上套一可沿绳滑动的轻环。现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L，则此时轻绳的拉力为________，钩码的质量为________。 【答案】   【详解】[1][2]根据题意可知，重新平衡之后，如图所示 对物块，由平衡条件有 即绳子的拉力为，由几何关系知，绳子与竖直方向夹角θ为30°，则环两边绳子的夹角为60°， 设钩码的质量为，由平衡条件有 解得 6．如图，在天花板上A点用长为L的轻细绳悬挂细质量为M的小球搭在半径为R的光滑半圆球上，半圆球的球心位于A点的正下方，半圆球顶与A点的距离为h，则绳对小球的拉力为　 　，小球所受的支持力为　 　。 【答案】， 【解析】对小球受力分析如图：重力Mg、支持力N和拉力T。 根据平衡条件知，N与T的合力F＝Mg，方向竖直向上。 根据图中两个阴影三角形相似可得： 解得 ， 7．如图所示，四块相同的石料砌成圆弧形对称结构，每块石料对应的圆心角均为30°，其中第3、4块石料固定在地面上，假定石料间的摩擦力可以忽略不计，则1对2的作用力与3对1的作用力大小之比是______；地面对3的作用力与3的重力之比为______。 【答案】        【详解】[1]对1进行受力分析，如图1所示 图1 图2 则 [2]对3分析，可知1对3的作用力和3自身的重力的合力等于地面对3的作用力， 由1分析过程可知 所以1对3的作用力和3自身重力的合力，且分析可知两力的夹角为，分析如图2所示 则 则 8．如图所示，在水平桌面上放一块重为的木块，木块与桌面间的动摩擦因数，在木块上加一块重为的木块，与之间的动摩擦因数。当、两木块一起沿桌面匀速滑动时，作用在木块上的水平拉力的大小为_____N，此时木块受到木块的摩擦力大小为____N。 【答案】 12     0 【详解】[1]当、两木块一起沿桌面匀速滑动时，A、B整体分析，受平衡力， 则 [2]当、两木块一起沿桌面匀速滑动时，B处于平衡状态，所受合力为零，此时木块受到木块的摩擦力大小为0。 9．如图所示，水平细杆上套一环A，环A与球B间用一轻质绳相连，质量分别为、，由于B球受到风力作用，环A与B球一起向右匀速运动。已知绳与竖直方向的夹角为，则当风力增大时，轻质绳对B球的拉力________，杆对环A的支持力________。（选填“增大”、“减小”或“不变”） 【答案】   增大     不变 【详解】[1]对球B受力分析，受重力、风力和拉力，如图1 图1 图2 则根据平衡条件有：绳对B球的拉力 当风力增大时，增大，则T增大； [2]把环和球当作一个整体，对其受力分析如图2 根据共点力平衡条件可得：杆对A环的支持力大小 显然与风力的大小无关，保持不变。 10．如图所示，一个质量为m的物块静止于倾角为θ的斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，此时对物块施加一个水平向左且平行于斜面底端的力F，且F从零缓缓增大直至物块沿斜面刚好运动，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（  ） A．由于F变大，所以水平方向的合力变大 B．摩擦力的方向一直在变化，但大小始终不变 C．F的最大值一定大于mgsin D．F的最大值一定小于 【答案】D 【详解】A．F从零缓缓增大直至物块沿斜面刚好运动，物块始终处于平衡状态，故水平方向的合力在这个过程中一直是零，A错误； B．根据物块在斜面上的受力可知 ， 物块所受的摩擦力：， 可见随着的变化，摩擦力的大小方向都随之发生变化，B错误； CD．F从零缓缓增大直至物块沿斜面刚好运动，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，F达到最大值时 故 由此可知 ，与的大小关系无法确定，C错误，D正确。 11．如图所示，一足够长的斜面体静置于粗糙水平地面上，一小物块沿着斜面体匀速下滑，现对小物块施加一水平向右的恒力F，当物块运动到最低点之前，下列说法正确的是（　　） A．物块与斜面体间的弹力不变 B．物块与斜面体间的摩擦力增大 C．斜面体与地面间的弹力不变 D．斜面体与地面间的摩擦力方向水平向左 【答案】B 【解析】AB、设斜面的倾角为θ，未加力F时，对物块受力分析，由共点力的平衡条件可得 垂直斜面方向 N＝mgcosθ 在沿斜面方向 f＝μN＝mgsinθ 加力F后，对物块受力分析如图 垂直斜面方向 N′＝mgcosθ+Fsinθ 沿斜面方向 f′＝μN′＝μN+μFsinθ 物块与斜面体间的弹力增大Fsinθ，θ为斜面倾角，物块与斜面体间的摩擦力增大μFsinθ，故A错误，B正确； C、分析斜面体的受力，由于物块对斜面体的摩擦力和压力都变大，在竖直方向上分量增大，所以斜面体对地面的弹力增大，故C错误； D、未加力F时，物块匀速下滑，沿斜面方向有mgsinθ＝μmgcosθ，整理可得μ＝tanθ 加水平力F后，斜面体在水平方向受力有 （mgcosθ+Fsinθ）sinθ＝μ（mgcosθ+Fsinθ）•cosθ，所以斜面体与地面间的摩擦力不存在，故D错误。 12．如图所示，人的质量为65kg，小车的质量为50kg，人与小车、小车与地面间的动摩擦因数均为0.4，现在人用力拉绳，使人和小车一起向左匀速运动。（取）求: （1）地面对小车的摩擦力的大小； （2）小车对人的摩擦力的大小和方向． 【答案】（1）；（2），水平向右 【详解】（1）根据题意，由平衡条件可知，地面对车的支持力为 由公式可得，地面对小车的摩擦力的大小为 （2）根据题意，设绳子的拉力为，由平衡条件有 解得 对人受力分析，由平衡条件有 ，方向水平向右。 13．如图所示，重力为G的均匀链条，两端用等长的轻绳连接，挂在等高的地方，绳与水平线成θ角，求： （1）绳子的张力大小； （2）链条最低点的张力大小。 【答案】（1）； （2）。 【解析】（1）对链条受力分析，受重力和两个拉力，如图1所示： 图1 图2 根据平衡条件，有：2Tsinθ＝mg， 解得：T＝； （2）对左半边链条受力分析，受重力、拉力和右半边链条的拉力，如图2所示： 由平衡条件可得：F＝。 14. 一细绳一端固定在竖直放置的光滑圆环上的B点，另一端系一质量为m的小球于A点，小球穿过圆环，细绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示，求细绳的拉力和环对小球的弹力。 【答案】细绳的拉力是mg，环对小球的弹力是mg 【解析】此题是静态平衡，可构成一个矢量三角形，小球受力分析→矢量平移→力三角形和几何三角形相似→列方程求解。 相似三角形，细线与竖直方向角度有微小变化，环的弹力不变。 15．如图所示，两根长度均为的轻绳，下端结于一点挂一质量为的物体，两个质量均为的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根轻绳上端系在小环上，整个系统静止。重力加速度大小g取。 （1）求每个小环对杆的压力大小； （2）若小环与杆之间的动摩擦因数，求两环之间的最大距离。 【答案】（1）10N；（2）0.4m 【详解】（1）根据对称性，杆对两个小环的支持力大小相等， 对两个小环和物体整体分析有： 由牛顿第三定律可知，每个小环对杆的压力大小为 ，解得 （2）小环刚好不滑动时，小环受到的静摩擦力达到最大值，设此时绳拉力大小为T，与竖直方向夹角为θ，对M由平衡条件得 对m由平衡条件得 解得 由几何关系可得，两环之间的最大距离为 16．如图所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止． （1）求轻绳的拉力大小； （2）求小环对杆的压力； （3）问小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？ 【答案】（1）； （2）Mg+mg． （3）μ至少为． 【解析】（1）对M由平衡条件得：2Tcos30°﹣Mg＝0， 得：T＝ （2）对两小环和木块整体由平衡条件得： 2N﹣（M+2m）g＝0， 解得：N＝Mg+mg （3）小环刚好不滑动，此时小环受到的静摩擦力达到最大值，则：Tsin30°﹣μN＝0 解得动摩擦因数μ至少为：μ＝ 17．如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，∠ACB＝30°；轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，轻杆的G点用细绳FG拉住一个质量也为10kg的物体，g＝10m/s2，求： （1）轻绳AC段的张力FAC与细绳EG的张力FEG之比； （2）横梁BC对C端的支持力大小和方向； （3）轻杆HG对G端的支持力大小和方向． 【答案】（1）1：2； （2）100N，和水平方向成30°向斜右上方；（3）173 N，方向水平向右． 【解析】题图a和b中的两个物体M1、M2都处于平衡状态，根据平衡条件可判断，与物体相连的细绳拉力大小等于物体的重力．分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图a和b所示． （1）图a中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，绳AC段的拉力 FAC＝FCD＝M1g 图b中由FEGsin30°＝M2g 得：FEG＝2M2g，所以得； （2）图a中，根据几何关系得：FAC＝FCD＝M1g＝100 N，且夹角为120°； 故FNC＝FAC＝M1g＝100N，方向和水平方向成30°向斜右上方； （3）图b中，根据平衡方程有： FEGsin30°＝M2g； FEGcos30°＝FG 所以FG＝M2gcot30°＝M2g≈173 N，方向水平向右。 18．倾角为θ=30°的斜面体放在水平地面上，一个重为G的球在水平力F的作用下，静止在光滑斜面上。 （1）求水平力F的大小和斜面体对球的支持力N1； （2）若将力F从水平方向逆时针转过某一角度α（α可求出）后，仍保持F的大小，且小球和斜面也仍旧保持静止，求此时斜面体对球的支持力N2和水平地面对斜面体的摩擦力f。 【答案】（1），；（2）， 【详解】（1）对球受力分析，如图1所示 图1 图2 根据平衡条件有：， （2）若将力F从水平方向逆时针转过某一角度α（α可求出）后，仍保持F的大小，如图2所示 根据几何关系可知，F转过的角度为 所以图中力的三角形为等腰三角形，则有 ，所以 对整体分析，有 19．如图所示，用轻绳悬挂一个重为 mg 的小球，现对小球再施加一个力 F，使绳与竖直方向成 θ 角，小球处于平衡，试就下列各种情况，分别求出力 F 的大小。 （1）若力 F 为水平方向； （2）若力 F 垂直于绳向上； （3）若力 F 与绳拉力大小相等。 （4）若保持 θ 角不变，外力 F 从水平方向逆时针转 90 度，求此过程中绳子拉力和力 F 如何变化。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）绳子拉力逐渐减小，力 F先变小后变大 【详解】（1）若力 F 为水平方向，以小球为对象，根据受力平衡可得 ， 联立解得 （2）若力 F 垂直于绳向上，以小球为对象，根据受力平衡可得 ， 联立解得 （3）若力 F 与绳拉力大小相等，根据对称性可知，F与竖直方向的夹角也为，以小球为对象， 根据受力平衡可得 且 联立解得 （4）以小球为对象，根据三角形定则可知小球的受力如图所示 由图可知，外力 F 从水平方向逆时针转 90 度，此过程中绳子拉力逐渐减小，力 F先变小后变大。 20. 如图所示有黑白两条毛巾交替折叠放在地面上，白毛巾的中间用绳与墙壁连结着，黑毛巾的中部用手将它拉住，欲将其分离开来，若两条毛巾的质量均为m，毛巾之间及其与地面之间的动摩擦因数为μ，问：将黑毛巾匀速拉出需加多大的水平力? 【答案】5μmg 【解析】滑动摩擦力方向与接触面相切，与相对运动的方向相反． 对黑毛巾的4个接触面分别进行压力的分析，受力平衡，所以 F=f=1/2μmg+ 2/2μmg+ 3/2μmg+ 4/2μmg =5μmg 21．如图，通过施加一水平力，并用木板P将8个质量均为的相同木块夹在竖直墙壁之间，木板与木块均处于静止状态。木块之间的动摩擦因数为、木块与木板、墙壁之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，求： （1）4、5木块之间的摩擦力大小； （2）施加在轻质木板上的最小水平力。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）根据题意，将8个木块看成整体，受力分析，受木板向上的摩擦力、墙壁向上的摩擦力和本身的重力，由平衡条件有 解得 方向向上，同理把2、3、4、5、6、7看成整体，1对2的摩擦力为，8对7的摩擦力为， 则有 解得 同理可得2对3，7对6的摩擦力为，3对4，6对5的摩擦力为，设5对4的摩擦力为， 对4受力分析，由平衡条件有 解得 （2）根据题意，由公式，结合上述分析可知，木板与木块之间，木板与墙壁之间的压力最小为 ， 木块与木块之间的压力最小为 则施加在轻质木板上的最小水平力为。 22．如图所示，静置于水平地面上的两个完全相同、质量均为2m的半圆柱体A、B刚好接触。现将一质量为m的光滑圆柱体C放置在两半圆柱体上，半圆柱体A、B与地面保持相对静止。已知圆柱体C与半圆柱体A的截面半径之比r：R＝1：4，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）圆柱体C对半圆柱体A的压力的大小； （2）半圆柱体A与地面间的动摩擦因数μ满足的条件。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）如图所示，设半圆柱体A对圆柱体C支持力与水平方向夹角为，由几何关系 解得：， 根据对称性可知A、B对C的支持力大小相等，均设为F，对C受力分析可得 解得： 由牛顿第三定律，圆柱体C对半圆柱体A的压力大小为 （2）对B受力分析，设地面支持力大小为，静摩擦力大小为f。根据平衡条件 半圆柱体B与地面保持相对静止的条件为 ， 联立解得 23. 如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，且与地面的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。 （1） 计算未拉A时，C受到B作用力的大小F。 （2） A 在移动过程中所受摩擦力f大小是否变化？若不变，请求出其大小；若变化，分析如何变化。 （3） 计算动摩擦因数μ的最小值。 【答案】（1）；（2）不变；μmg（3） 【详解】（1）未拉A时，C受到AB的作用力大小相等，方向与竖直方向夹角均为30°，则 2Fcos30°=mg 可得 （2）A 在移动过程中，对ABC整体可知，A对地面的压力大小恒定为mg，则所受摩擦力f大小不变， 恒定为f=μmg （3）圆柱C恰好降落到地面时，B对C支持力最大为Fm，如图所示， 则根据力的平衡可得 2Fmcos60°=mg 解得 Fm=mg 所以最大静摩擦力至少为 fm=Fmcos30°=mg B对的地面的压力为 FN=mBg+mCg=mg B受地面的摩擦力为 f=μmg 根据题意有 fm=f 解得 μ= 24．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示。已知重力加速度为g，木楔在整个过程中始终静止。 （1）木块与木楔斜面间的动摩擦因数μ； （2）当α和θ满足何种关系时，拉力F有最小值，并求此最小值； （3）当F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力是多大？ 【答案】（1）tanθ （2）当α＝θ时，拉力F有最小值为mgsin2θ； （3）mgsin4θ 【解析】（1）木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有：mgsinθ＝μmgcosθ，解得：μ＝tanθ； （2）木楔在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有： 沿斜面方向根据平衡条件：Fcosα＝mgsinθ+Ff 垂直于斜面方向：Fsinα+FN＝mgcosθ 根据摩擦力的计算公式：Ff＝μFN 联立解得：F＝ 则当α＝θ时，F有最小值，为Fmin＝mgsin2θ； （3）因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力， 即Ff＝Fcos（α+θ） 当F取最小值mgsin2θ时，Ff＝Fmincos2θ＝mgsin2θcos2θ＝mgsin4θ。 19. 如图所示，A物体的质量，B物体的质量。A、B之间和B与地面间的动摩擦因数均为0.5。先用绳将A系于墙上，已知，然后用水平力F拉物体B，将其匀速拉出。求：绳子拉力T的大小和水平力F的大小。 【答案】250N，350N 【详解】据题意可知A、B做匀速直线运动，两物体处于平衡状态，对A物体受力分析如图所示 水平方向平衡方程有 A受到的摩擦力 联立解得绳子拉力大小为 对B物体受力分析如图所示 由水平方向平衡方程有 竖直方向平衡方程有 而地面对B物体的摩擦力为 根据牛顿第三定律 联立解得 代入数据联立解得 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 相互作用与力的平衡 第3.4节 共点力平衡（2） 课程标准 ①知道用共点力平衡分析解决斜面上物体处于静止状态的受力； ②综合运用重力、弹力、摩擦力来分析解决一些复杂问题。 物理素养 物理观念：能够解释平衡状态的含义，并能够判断一个物体所处的状态是否平衡； 科学思维：能够通过实验和练习归纳出应用力的平衡条件解决实际问题的基本步骤和基本方法； 科学探究：能够从物理现象和实验中归纳简单的科学规律； 科学态度与责任：意识到物理规律在现实生活中的重要作用，增强对物理学习的兴趣。 1. 斜面摩擦角： (1) 摩擦角：物体A放在平板的右端，逐渐抬高右端，当物体A刚好下滑或匀速下滑，斜面与水平面成α角，称摩擦角。 (2) 由得：，即摩擦角只与斜面粗糙程度有关。斜面越粗糙，摩擦角越大。 (3) 处于摩擦角状态，物体所受合力为0，即斜面对物体的摩擦力和支持力的合力与物体重力等大反向，即竖直向上。 2. 求最值： 极值是指研究满足共点力平衡的条件下，某个力取最大或最小，一般用几何方法求解，有些复杂问题需要用到三角函数等数学知识。 3. 细绳的连接点： 绳子能滑动，两边的倾角相同，张力相同。 【考点01】 斜面摩擦角 例1. 如图甲所示，质量为M的直角劈B放在水平面上，在劈的斜面上放一个质量为m的物体A，用一个竖直向下的力F作用于A上，物体A刚好沿斜面匀速下滑。若改用一个斜向下的力F'作用在A时，物体A加速下滑，如图乙所示，则在图乙中地面对劈的摩擦力f大小为　 　，支持力N 　 　Mg（填＞，＜或＝）。 【考点02】 求最值问题 例2. 如图所示，质量为m的物体与水平面间动摩擦因数为µ，现用力F拉物体使之匀速运动。求 （1）θ多大时F最小？ （2）这个最小力Fmin多大？ 【考点03】 细绳的连接点 例2. 如图，长为5m的轻绳的两端分别系在竖直立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B上，绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重12N的物体，求 （1）平衡时，绳的张力T=___________； （2）若将右侧悬点由A稍向下移至A1点（绳长不变），重新平衡后，绳上的张力将________（填变大、变小或不变）。 （3）若将右侧悬点由A稍向左移至A2点（绳长不变），重新平衡后，绳上的张力将________（填变大、变小或不变）。 【考点04】 斜面上物体的摩擦力方向 例2. 要使一个质量为m的物体A能够静止在倾角为θ的斜面上，施加一个水平向右推力，如图所示；已知物体与斜面间的动摩擦因数为μ，物体受到的最大静摩擦力近似认为是物体受到的滑动摩擦力。 （1）画出物体恰好不滑动时的受力分析图； （2）求推力的范围。 1．如图所示，倾角为α＝30°的斜面光滑，球所受重力为100N，用水平细绳拉住，球静止在斜面上，则斜面受到球的压力大小为________N，水平绳子的拉力大小为_________N。 2．如图所示，水平放置的两固定光滑硬杆OA、OB成θ角，在两杆上各套一轻环P、Q，两环用细绳相连。现用一大小为F的恒力沿OB方向拉圆环Q，当两环处于平衡状态时，在水平方向上，OA杆对P环的作用力　 　，OB杆对Q环的作用力　 　。 3．汽车陷入泥泞地，无论如何发动和用力推，都不能使汽车从泥泞地中出来。驾驶员灵机一动，想出一个好办法，用钢索将汽车与附近固定不动的石块相连并拉紧钢索，然后在钢索中央用垂直钢索的力拉钢索，居然用较小的力就使钢绳产生了很大的拉力，从而使汽车移动。假设图中汽车与石块相距，在力F作用下钢索的中点被拉过，此时大小为，在汽车在图示位置受到的拉力大小为_________N。若欲继续使汽车缓慢移动，拉力将_________。（填“变小”、“变大”或“不变”） 4．如图所示，质量均为m的小球A、B用劲度系数为k1的轻弹簧相连，B球用长为L的轻质细绳悬于O点，A球固定在O点正下方L处，当小球B平衡时，绳子所受的拉力为T1，弹簧的弹力为F1。现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为k2（k2>k1）的另一轻弹簧，在其他条件不变的情况下仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为T2，弹簧的弹力为F2。则T1________T2，F1________F2（均选填“>”“＝”或“＜”）。 5．如图，一不可伸长的光滑轻绳，其左端固定于O点，右端跨过位于O′点的固定光滑轴悬挂一质量为M的物体；OO′段水平，长度为L；绳子上套一可沿绳滑动的轻环。现在轻环上悬挂一钩码，平衡后，物体上升L，则此时轻绳的拉力为________，钩码的质量为________。 6．如图，在天花板上A点用长为L的轻细绳悬挂细质量为M的小球搭在半径为R的光滑半圆球上，半圆球的球心位于A点的正下方，半圆球顶与A点的距离为h，则绳对小球的拉力为　 　，小球所受的支持力为　 　。 7．如图所示，四块相同的石料砌成圆弧形对称结构，每块石料对应的圆心角均为30°，其中第3、4块石料固定在地面上，假定石料间的摩擦力可以忽略不计，则1对2的作用力与3对1的作用力大小之比是______；地面对3的作用力与3的重力之比为______。 8．如图所示，在水平桌面上放一块重为的木块，木块与桌面间的动摩擦因数，在木块上加一块重为的木块，与之间的动摩擦因数。当、两木块一起沿桌面匀速滑动时，作用在木块上的水平拉力的大小为_____N，此时木块受到木块的摩擦力大小为____N。 9．如图所示，水平细杆上套一环A，环A与球B间用一轻质绳相连，质量分别为、，由于B球受到风力作用，环A与B球一起向右匀速运动。已知绳与竖直方向的夹角为，则当风力增大时，轻质绳对B球的拉力________，杆对环A的支持力________。（选填“增大”、“减小”或“不变”） 10．如图所示，一个质量为m的物块静止于倾角为θ的斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数为μ，此时对物块施加一个水平向左且平行于斜面底端的力F，且F从零缓缓增大直至物块沿斜面刚好运动，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（  ） A．由于F变大，所以水平方向的合力变大 B．摩擦力的方向一直在变化，但大小始终不变 C．F的最大值一定大于mgsin D．F的最大值一定小于 11．如图所示，一足够长的斜面体静置于粗糙水平地面上，一小物块沿着斜面体匀速下滑，现对小物块施加一水平向右的恒力F，当物块运动到最低点之前，下列说法正确的是（　　） A．物块与斜面体间的弹力不变 B．物块与斜面体间的摩擦力增大 C．斜面体与地面间的弹力不变 D．斜面体与地面间的摩擦力方向水平向左 12．如图所示，人的质量为65kg，小车的质量为50kg，人与小车、小车与地面间的动摩擦因数均为0.4，现在人用力拉绳，使人和小车一起向左匀速运动。（取）求: （1）地面对小车的摩擦力的大小； （2）小车对人的摩擦力的大小和方向． 13．如图所示，重力为G的均匀链条，两端用等长的轻绳连接，挂在等高的地方，绳与水平线成θ角，求： （1）绳子的张力大小； （2）链条最低点的张力大小。 14. 一细绳一端固定在竖直放置的光滑圆环上的B点，另一端系一质量为m的小球于A点，小球穿过圆环，细绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示，求细绳的拉力和环对小球的弹力。 15．如图所示，两根长度均为的轻绳，下端结于一点挂一质量为的物体，两个质量均为的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根轻绳上端系在小环上，整个系统静止。重力加速度大小g取。 （1）求每个小环对杆的压力大小； （2）若小环与杆之间的动摩擦因数，求两环之间的最大距离。 16．如图所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止． （1）求轻绳的拉力大小； （2）求小环对杆的压力； （3）问小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？ 17．如图所示，轻绳AD跨过固定在水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10kg的物体，∠ACB＝30°；轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，轻杆的G点用细绳FG拉住一个质量也为10kg的物体，g＝10m/s2，求： （1）轻绳AC段的张力FAC与细绳EG的张力FEG之比； （2）横梁BC对C端的支持力大小和方向； （3）轻杆HG对G端的支持力大小和方向． 18．倾角为θ=30°的斜面体放在水平地面上，一个重为G的球在水平力F的作用下，静止在光滑斜面上。 （1）求水平力F的大小和斜面体对球的支持力N1； （2）若将力F从水平方向逆时针转过某一角度α（α可求出）后，仍保持F的大小，且小球和斜面也仍旧保持静止，求此时斜面体对球的支持力N2和水平地面对斜面体的摩擦力f。 19．如图所示，用轻绳悬挂一个重为 mg 的小球，现对小球再施加一个力 F，使绳与竖直方向成 θ 角，小球处于平衡，试就下列各种情况，分别求出力 F 的大小。 （1）若力 F 为水平方向； （2）若力 F 垂直于绳向上； （3）若力 F 与绳拉力大小相等。 （4）若保持 θ 角不变，外力 F 从水平方向逆时针转 90 度，求此过程中绳子拉力和力 F 如何变化。 20. 如图所示有黑白两条毛巾交替折叠放在地面上，白毛巾的中间用绳与墙壁连结着，黑毛巾的中部用手将它拉住，欲将其分离开来，若两条毛巾的质量均为m，毛巾之间及其与地面之间的动摩擦因数为μ，问：将黑毛巾匀速拉出需加多大的水平力? 21．如图，通过施加一水平力，并用木板P将8个质量均为的相同木块夹在竖直墙壁之间，木板与木块均处于静止状态。木块之间的动摩擦因数为、木块与木板、墙壁之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为，求： （1）4、5木块之间的摩擦力大小； （2）施加在轻质木板上的最小水平力。 22．如图所示，静置于水平地面上的两个完全相同、质量均为2m的半圆柱体A、B刚好接触。现将一质量为m的光滑圆柱体C放置在两半圆柱体上，半圆柱体A、B与地面保持相对静止。已知圆柱体C与半圆柱体A的截面半径之比r：R＝1：4，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）圆柱体C对半圆柱体A的压力的大小； （2）半圆柱体A与地面间的动摩擦因数μ满足的条件。 23. 如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，且与地面的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。 （1） 计算未拉A时，C受到B作用力的大小F。 （2） A 在移动过程中所受摩擦力f大小是否变化？若不变，请求出其大小；若变化，分析如何变化。 （3） 计算动摩擦因数μ的最小值。 24．质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑。如果用与木楔斜面成α角的力F拉着木块匀速上升，如图所示。已知重力加速度为g，木楔在整个过程中始终静止。 （1）木块与木楔斜面间的动摩擦因数μ； （2）当α和θ满足何种关系时，拉力F有最小值，并求此最小值； （3）当F取最小值时，木楔对水平面的摩擦力是多大？ 19. 如图所示，A物体的质量，B物体的质量。A、B之间和B与地面间的动摩擦因数均为0.5。先用绳将A系于墙上，已知，然后用水平力F拉物体B，将其匀速拉出。求：绳子拉力T的大小和水平力F的大小。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$