专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 1．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是 (其中x、t为自变量). 3．判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 1．若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．若是关于的二次函数，则的值是 ． 3．当为何值时，函数是二次函数． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 1．若函数是二次函数，则常数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．若是二次函数，则a的取值范围是 ． 3．已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 1．二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 2．二次函数的二次项系数是 ． 3．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．   D．   2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 1．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数表达式为 （ ） A．y＝36(1-x) B．y＝36(1+x) C．y＝18(1-x)2 D．y＝18(1+x) 2．某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ． 3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 1．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 2．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 3．已知等边的边长为10，是上一动点，且，是射线上一点，且，以、为边构造．          (1)当点是中点时，求的长； (2)设；的面积为，当点在线段上时，求出关于的函数关系式，并求出定义域； (3)联结，若是直角三角形，求的长． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 1、有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为___ . 2、已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 3、某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝100（1﹣x）2 B．y＝100（1+x） C．y＝ D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 1．一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的顶点在线段上移动，与x轴交于C、D两点，若，当四边形是矩形时，此时抛物线的解析式是 ．    3．抛物线经过，，交轴于点求抛物线的解析式． 1．已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．下列函数是二次函数的有（　　） （1）y＝1﹣x2；（2）y＝；（3）y＝x（x﹣3）；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝2x+1；（6）y＝2（x+3）2﹣2x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（  ） A．5 B．7 C．12 D．﹣7 4．当函数 是二次函数时，的取值为（  ） A． B． C． D． 5．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图像上，则的值是（　　） A． B． C． D． 6．当 时，函数是二次函数． 7．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为 ． 8．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 9．已知，y与x的部分对此值如下表： x …… －2 －1 0 2 …… y …… －3 －4 －3 5 …… 则一元二次方程的解为 ． 10．已知抛物线经过点，设点，请在抛物线的对称轴上确定一点，使得的值最小，则点的坐标为 ． 11．已知函数（其中）． (1)当m为何值时，y是x的二次函数？ (2)当m为何值时，y是x的一次函数？ 12．已知关于x的函数． 当m为何值时，y是x的二次函数； 当m为何值时，y是x的一次函数； 13．已知． （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数； （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数． 14．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D（在的右侧），与y轴的交点为C，且，，对称轴是直线，求二次函数的解析式． 15．如图，抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)尺规作图：在该抛物线上作一点P，使得，且点P在x轴下方．（保留作图痕迹，不写作法） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次函数重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 二次函数的定义 题型二 由二次函数的定义求参数的值 题型三 根据二次函数的定义求参数的取值 题型四 二次函数的一般形式 题型五 根据实际条件判断二次函数的图象 题型六 二次函数关系式——销售问题 题型七 二次函数关系式——几何图形 题型八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题 题型九 待定系数法求二次函数解析式 知识点01 函数回顾 1．知识回顾： （1）函数的概念：在某个变化过程中有两个量x和y，如果在x的允许范围内，变量y随x的变化而变化，它们之间存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫自变量，y叫做因变量． （2）正比例函数：一般地，形如 的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数． （3）一次函数：形如，其中、为常数，且． 特殊情况：当时，称为常值函数； 当时，称为正比例函数． 知识点02 二次函数的定义 二次函数的定义：一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.它的定义域为一切实数． 知识点03 二次函数注意问题 二次函数应注意的问题： （1）a、b、c三个系数中，必须保证，否则就不是二次函数了；而b、c两数可以为0，如特殊形式：等． （2）由于二次函数的解析式是整式的形式，所以自变量的取值范围是任意实数． 【经典例题一 二次函数的定义】 【例1】下列函数中，是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义“形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”逐一判断即可． 【详解】A、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； B、，不是整式，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意； C、是二次函数，故该选项正确，符合题意； D、可整理为，是一次函数，不是二次函数，故该选项错误，不符合题意． 故选：C． 1．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据二次函数的定义判断即可； 【详解】y＝2x﹣1是一次函数； y＝﹣2x2﹣1是二次函数； y＝3x3﹣2x2不是二次函数； ④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数； y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数； 故二次函数有1个； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键． 2．下列函数中：①y=－x2；②y=2x；③y=22+x2－x3；④m=3－t－t2是二次函数的是 (其中x、t为自变量). 【答案】①④ 【分析】一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．根据二次函数的定义条件判定则可． 【详解】解：①y＝－x2，二次项系数为－1，是二次函数； ②y＝2x，是一次函数； ③y＝22＋x2－x3，含自变量的三次方，不是二次函数； ④m＝3－t－t2，是二次函数. 故填①④． 【点睛】本题考查二次函数的定义． 一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数． 判断一个函数是二次函数需要注意三点： (1)经整理后，函数表达式是含自变量的整式； (2)自变量的最高次数为2； (3)二次项系数不为0，尤其是含有字母系数的函数，应特别注意，二次项系数a是否为0． 3．判断下列函数是否是二次函数． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)是 (5)是 (6)不是 【分析】根据二次函数的概念求解即可． 【详解】（1），没有二次项，故不是二次函数； （2），符合，故是二次函数； （3），不是整式，故不是二次函数； （4），符合，故是二次函数； （5），符合，故是二次函数； （6），没有二次项，故不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的概念，判断一个函数是否是二次函数，关键看是否符合的形式． 【经典例题二 由二次函数的定义求参数的值】 【例2】如果函数是二次函数，则k的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题侧重考查知识点二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c为常数，且）的函数叫二次函数，掌握其定义是解决此题的关键． 二次函数中，自变量最高此项的次数的值是2．二次函数中，自变量最高此项的系数不为0． 【详解】解：根据二次函数的定义，得， 解得或． ， ， 当时，这个函数是二次函数． 故选：A． 1．若表示是的二次函数，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次函数的定义．根据二次函数的定义得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：表示是的二次函数， ， 解得． 故选：D． 2．若是关于的二次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义，根据二次函数定义，得到，，即可得到答案，熟记二次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，，即， ， 故答案为：． 3．当为何值时，函数是二次函数． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义，即可求解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：， 即当为时，函数是二次函数． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握形如的函数关系是解题的关键． 【经典例题三 根据二次函数的定义求参数的取值】 【例3】若函数是二次函数，则满足的条件为（    ）． A．为常数，且 B．为常数，且 C． D．可以为任意实数 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义即可得到答案． 【详解】由二次函数的定义可得， ， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握(是常数，)的函数，叫做二次函数． 1．若函数是二次函数，则常数m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义即可得到答案． 【详解】解：函数是二次函数， ， ， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的二次项系数不等于0是解题关键． 2．若是二次函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查根据二次函数的定义求参数．形如是常数，且）叫二次函数． 根据二次函数的定义知的二次项系数，求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：． 故答案为：． 3．已知函数． (1)若是一次函数，求的值； (2)若是二次函数，求的值满足什么条件． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）由一次函数的定义求解可得； （2）由二次函数的定义求解可得． 【详解】（1）若这个函数是一次函数， 则且， 解得； （2）若这个函数是二次函数， 则， 解得且． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 【经典例题四 二次函数的一般形式】 【例4】关于函数，下列说法中正确的是（    ） A．二次项系数是1 B．一次项系数是9 C．常数项是 D．是关于的一次函数 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的定义，理解二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：， ∴该函数是二次函数，其二次项系数是，一次项系数是9，常数项是10， 则A、C、D说法错误，B说法正确， 故选：B． 1．二次函数的常数项为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义，根据常数项是指不含字母的项，即可解答． 【详解】二次函数的常数项为， 故选：D． 2．二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项． 3．下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5)； (6) (为常数)． 【答案】(1)不是二次函数，是一次函数 (2)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0 (3)不是二次函数 (4)，是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是-3 (5)时，不是二次函数 (6)时，不是二次函数 【分析】（1）观察函数解析式，不含二次项，不是二次函数； （2）根据二次函数的定义即可判断； （3）根据二次函数的定义即可判断； （4）根据二次函数的定义即可判断； （5）根据二次函数的定义即可判断； （6）根据二次函数的定义即可判断． 【详解】（1）不是二次函数，是一次函数； （2），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是0，常数项是0； （3）不是二次函数； （4），是二次函数，二次项系数是、一次项系数是2，常数项是； （5）时，不是二次函数； （6）时，不是二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，掌握二次函数的定义是解题的关键．二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数． 【经典例题五 根据实际条件判断二次函数的图象】 【例5．匀速地向如图所示的一个空水瓶里注水，最后把空水瓶注满．在这个注水过程中，水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空水瓶的形状可知空水瓶的横截面先增大后减小，横截面为圆形，所以水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线，整体为水面高度增长速度先快、后慢、再快，对应函数图像先陡、后缓、再陡． 【详解】解：下面的容器较粗，中间最粗，上面最细， ∵容器横截面为圆形，横截面， ∴水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线， ∴对应函数图像先陡、后缓、再陡， 故选：C． 【点睛】本题考查了函数图像，解决本题的关键是根据底面积在变化从而判断水面高度h与注水时间t之间函数关系的大致图像满足二次函数的曲线． 1．如图，已知、是反比例函数图象的点，轴交于点轴，交轴于点，动点从坐标点出发，沿（图中“”所示路线）匀速运动，终点为过作轴，轴，垂足分别为、，设四边形的面积为，点运动时间为，则关于的函数图象大致为（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分①当点P从点O运动到点A的过程中，②当点P从点A运动到点B时，③当点P从点B运动到点C过程中，三种情况，分别判断各所对的函数图像即可. 【详解】设∠AOM=α，点P运动的速度为a， ①当点P从点O运动到点A的过程中， S=at·cosα·at·sinα=a2t2sinαcosα， 由于α及a均为常量， ∴本段图象应为抛物线，且S随着t的增大而增大； ②当点P从点A运动到点B时， 由反比例函数性质可知四边形OMPN的面积为k，保持不变， 故本段图象应为与x轴平行的线段； ③当点P从点B运动到点C过程中， OM的长在减小，△OPM的高与在B点时相同， 故本段图象应为一段下降的线段， 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的综合题和动点问题的函数图象，解题的关键是根据点的移动确定函数的解析式，判断每个时间段面积的变化，从而确定其图象． 2．如图1，在矩形ABCD中，，点和同时从点出发，点以的速度沿的方向运动，点以的速度沿的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为，△AEF的面积为，关于的函数图象如图2，图象经过点，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】 分析图形可知，图2中的图象分为三段：当点在上时；当点在上，且点在上时；当点在上，且点在上时．图2中的最高点是当点与点重合时，的值为；当点和点相遇时，即到达点时，用时秒．由此可求出，由此可求出当点运动秒后的值，即可求出的值，进而可求出的取值． 【详解】解：由图2可知，当点运动到点时， ，即， 当点和点相遇时，即到达点时，运动了秒，即， ， ∴或， ∵， ∴， ∴， 当时，如图，， ； 当时，点在上，点在上，如图， 此时，，， ∴， 解得或（舍去）． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到与的函数关系，然后根据一元二次方程和二次函数和一次函数图象与性质解决问题，能够准确进行分类讨论是解题的关键． 3．已知平行四边形的高与底边的比是，用表达式表示平行四边形的面积S与它的底边a的关系，并从图象观察平行四边形的面积随其底边的变化而变化的情况． 【答案】，图见解析 【分析】首先得出与的关系，进而由图象得出平行四边形的面积随其底边变化情况． 【详解】解：平行四边形的高与底边的比是， ， 则， 如图所示：平行四边形的面积随其底边增大而增大． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及函数图象性质，解题的关键是利用数形结合的思想求解． 【经典例题六 二次函数关系式——销售问题】 【例6】已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w（元），则w与x之间的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用这种产品每天的销售利润等于每千克的销售利润乘以每天的销售量，即可得出w与x之间的函数表达式． 【详解】解：根据题意得，， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出w与x之间的函数表达式是解题的关键． 1．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y关于x的函数表达式为 （ ） A．y＝36(1-x) B．y＝36(1+x) C．y＝18(1-x)2 D．y＝18(1+x) 【答案】C 【分析】原价为18，第一次降价后的价格是18×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2，则函数解析式即可求得． 【详解】原价为18， 第一次降价后的价格是18×（1-x）； 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：18×（1-x）×（1-x）=18（1-x）2． 则函数解析式是：y=18（1-x）2． 故选C． 【点睛】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 2．某工厂本年度的产值为100万元，若在今后两年里产值的年增长率均为x，两年后的产值为y万元．那么y关于x的函数解析式是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数，掌握二次变化的关系式是解决本题的关键．两年后的产值=本年度的产值增长率，把相关数值代入即可． 【详解】解：第一年度的产值为， ∴第二年度的产值为， ∴． 故答案为： 3．荔枝是夏季的时令水果，储存不太方便．某水果店将进价为18元/千克的荔枝，以28元/千克售出时，每天能售出40千克．市场调研表明：当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克．设降价x元． (1)降价后平均每天可以销售荔枝 千克（用含x的代数式表示）． (2)设销售利润为y，请写出y关于x的函数关系式． (3)该水果店想要使荔枝的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将价格定为多少元/千克？ 【答案】(1) (2) (3)24元/千克 【分析】（1）根据“当售价每降低1元/千克时，平均每天能多售出10千克”可直接得出结论； （2）利用利润=（售价-成本）×销售量可得出结论； （3）令y=480，求出x的值，再根据题意对x的值进行取舍即可． 【详解】（1）根据题意得，降价后平均每天可以销售荔枝：（40+10x）千克， 故答案为：（40+10x）． （2）根据题意得， 整理得 （3）令，代入函数得， 解方程，得， 因为要尽可能地清空库存，所以舍去取 此时荔枝定价为（元/千克） 答：应将价格定为24元/千克． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，列函数关系式，列代数式，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 【经典例题七 二次函数关系式——几何图形】 【例7】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： 1．如图所示，在中，，且，设直线截此三角形所得的阴影部分的面积为，则与之间的函数关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】中，，且，可得；再由平行线的性质得出，即，进而证明，最后根据三角形的面积公式，求出与之间的函数关系式． 【详解】解：如图所示， ∵中，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 即：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是二次函数解析式的求法，考查了等腰直角三角形的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形的面积等知识点．解题的关键是能够找到题目中的有关面积的等量关系． 2．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽为，相框内的面积是，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，根据题意列出函数整理并求出的取值范围即可． 【详解】解：根据题意，得 展开得： 整理得： 根据题意，得 解得：． ∴y与x之间的函数关系式为， 故答案为： 3．已知等边的边长为10，是上一动点，且，是射线上一点，且，以、为边构造．          (1)当点是中点时，求的长； (2)设；的面积为，当点在线段上时，求出关于的函数关系式，并求出定义域； (3)联结，若是直角三角形，求的长． 【答案】(1) (2)(0<x<10) (3)5 【分析】（1）延长DG交BC于点H，证△ADE，△BDH是等边三角形，再证BG⊥DH，在Rt△BDH中，由勾股定理得； （2）过点E作EM⊥FG于点M，由（1）可知△ADE为等边三角形，求出DE=AD=x，EF=DE=x，FM=EF=x，再由勾股定理求得，再根据平行四边形的面积公式求得(0<x<10)； （3）由△DBG是直角三角形知∠BGD=90°，再进一步证得DG=BD，DG=EF=AD，从而求得AD=BD=AB=5． 【详解】（1）解：延长DG交BC于点H ∵D为AB的中点，AB=10， ∴AD=BD=5 ∵DE∥AB ∴△ADE是等边三角形， ∴DE=AD=5， ∵DE=2EF， ∴EF=2.5 又∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG∥EF，DG=EF=2.5， ∴△BDH为等边三角形， ∴DH=BD=5， ∵DG=2.5， ∴G为DH的中点， ∴BG⊥DH， 在Rt△BDH中， ； （2）过点E作EM⊥FG于点M， 由（1）可知△ADE为等边三角形， ∴DE=AD=x，EF=DE=x， ∵， ∴DE∥FG， ∵DE∥BC， ∴FG∥BC， ∴∠EFG=∠C=60°， ∴FM=EF=x， ∴ ∴(0<x<10) 即(0<x<10)； （3）∵△DBG是直角三角形， ∴∠BGD=90°， 由（1）知△BDH是等边三角形， ∴G为DH的中点， ∴DG=BD， 又DG=EF=AD， ∴AD=BD=AB=5． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理等，解题关键是正确作出辅助线，构造等边三角形，利用等边三角形的性质推理论证． 【经典例题八 二次函数关系式——增长率、循环等其他问题】 【例8】一台机器原价为万元，如果每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元，则与之间的函数关系式为_____． 【答案】 【分析】根据题意列出函数解析式即可． 【详解】解：∵一台机器原价为万元，每年的折旧率是，两年后这台机器的价格为万元， ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列二次函数关系式，解题的关键是理解题意，掌握两年后价格原价． 1、有一个人患流感，经过两轮传染后共有y人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了x人，则y与x之间的函数关系式为___ . 【答案】y=x2+2x+1 【详解】试题解析：第一轮流感后的人数为 第二轮流感后的人数为 与之间的函数关系式为: 故答案为 2、已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为________． 【答案】 【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键． 3、某工厂2015年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长率为x（x＞0），设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝100（1﹣x）2 B．y＝100（1+x） C．y＝ D．y＝100+100（1+x）+100（1+x）2 【答案】D 【分析】直接表示出2016年，2017年的产量进而得出y关于x的函数关系式． 【详解】解：设2015，2016，2017这三年该产品的总产量为y吨，则y关于x的函数关系式为：y＝100+100（1+x）+100（1+x）2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，正确表示出2017年的产量是解题关键． 【经典例题九 待定系数法求二次函数解析式】 【例9】在平面直角坐标系中，将二次函数的图像沿直线翻折，它能够与另一个二次函数的图像重合，另一个二次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图像与几何变换，解题的关键是明确关于直线翻折得到的图像与原图像关于直线对称．根据直线对称的特点即可得出结论． 【详解】解：∵二次函数的图像的顶点为， ∴沿直线翻折后的二次函数的图像的顶点为， ∴另一个二次函数的表达式为，即． 故选：C． 1．一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．由于已知顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可得到抛物线解析式． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 故选：B． 2．如图，抛物线的顶点在线段上移动，与x轴交于C、D两点，若，当四边形是矩形时，此时抛物线的解析式是 ．    【答案】 【分析】本题考查二次函数性质与几何图形应用，根据矩形的性质得到，设抛物线解析式为，求得顶点坐标为，代入求出a即可得到抛物线的解析式． 【详解】∵四边形是矩形， ∴， 又∵C、D两点在x轴， ∴轴，轴，轴， ∴， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴顶点坐标为， 将点代入，得 ∴， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 3．抛物线经过，，交轴于点求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把点和点的坐标代入抛物线解析式，得到关于，的二元一次方程组，根据解二元一次方程组的方法即可得出，的值，进而得出抛物线解析式． 【详解】解：将点，代入， 得 解得： 抛物线的解析式为． 1．已知二次函数，当时有最大值8，其图象经过点，则其与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，由于已知顶点坐标，则可设顶点式，再把点代入求出a即可得到抛物线解析式，然后把顶点式化为一般式，再确定其与y轴的交点坐标即可． 【详解】解：由已知条件可得抛物线的顶点坐标为，可设解析式为， 代入点，得． 所以该二次函数的解析式为， 化成一般式为． 当时，， 所以，抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：C． 2．下列函数是二次函数的有（　　） （1）y＝1﹣x2；（2）y＝；（3）y＝x（x﹣3）；（4）y＝ax2+bx+c；（5）y＝2x+1；（6）y＝2（x+3）2﹣2x2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可得． 【详解】（1）函数是二次函数； （2）函数不是二次函数； （3）函数整理为，是二次函数； （4）只有当时，函数才是二次函数； （5）函数是一次函数； （6）函数整理为，是一次函数； 综上，是二次函数的为（1）（3），共有2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解题关键． 3．已知二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（  ） A．5 B．7 C．12 D．﹣7 【答案】B 【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b,c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可 【详解】∵二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点， ∴， 解得：， 将b＝4，c＝5代入方程﹣+bx+c+d＝0， 得：﹣+4x+5+d＝0， 又∵关于x的方程﹣+4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6， ∴把x＝6代入方程﹣+4x+5+d＝0， 得：﹣36+4×6+5+d＝0， 解得：d＝7， 经验证d＝7时，△＞0，符合题意， ∴d＝7． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法确定二次函数的解析式，一元二次方程根的定义，根的判别式，熟练掌握待定系数法和一元二次方程根的定义是解题的关键． 4．当函数 是二次函数时，的取值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义去列式求解计算即可． 【详解】∵函数 是二次函数， ∴a-1≠0，=2， ∴a≠1，， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟记二次函数的定义并灵活列式计算是解题的关键． 5．如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图像上，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特征，过点作轴，过点作于，过点作于，利用三角形全等的即可得出点坐标，代入即可得出的值．确定点的坐标是解题关键． 【详解】解：过点作轴，过点作于，过点作于， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵点、的坐标分别是、， ∴， 解得：， ∴， ∵点在抛物线的图像上， ∴， ∴， 故选：D． 6．当 时，函数是二次函数． 【答案】2 【分析】根据二次函数的定义计算即可． 【详解】∵函数是二次函数， ∴m=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次函数的定义即形如，熟练掌握定义是解题的关键． 7．已知二次函数的图象经过原点及点（，），且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数解析式为 ． 【答案】或 【分析】设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），由图象与x轴的另一交点到原点的距离为1可得到抛物线与x轴的另一交点坐标为（1，0）或（-1，0），然后分别把（0，0）、（1，0）、（-，-）或（0，0）、（-1，0）、（-，-）代入解析式中得到两个方程组，解方程组即可确定解析式． 【详解】解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）， 当图象与x轴的另一交点坐标为（1，0）时， 把（0，0）、（1，0）、（-，-）代入得 ，解得， 则二次函数的解析式为； 当图象与x轴的另一交点坐标为（-1，0）时， 把（0，0）、（-1，0）、（-，-）代入得 ，解得， 则二次函数的解析式为y=x2+x． 所以该二次函数解析式为y=-x2+x或y=x2+x． 故答案为：y=-x2+x或y=x2+x． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），然后把二次函数图象上三个点的坐标代入得到关于a、b、c的三元一次方程组，解方程组求出a、b、c的值，从而确定二次函数的解析式．也考查了分类讨论思想的运用． 8．定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ． 【答案】 【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数． 【详解】解：由题意得 解得 ∴函数的本源函数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”． 9．已知，y与x的部分对此值如下表： x …… －2 －1 0 2 …… y …… －3 －4 －3 5 …… 则一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】根据题意将，，代入，列出方程组，求出、、，再求解方程． 【详解】解：依题意有：将，，代入， 得：， 解得：， ， 解得：，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、求解一元二次方程，解题的关键是利用待定系数法求解出解析式． 10．已知抛物线经过点，设点，请在抛物线的对称轴上确定一点，使得的值最小，则点的坐标为 ． 【答案】（2，-1） 【详解】解：∵抛物线经过点A（4，0）， ∴0＝16a-16，解得b＝1， ∴抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴是：x＝−2， ∵两点之间线段最短， ∴要使得AD＋CD的值最小，只需点A、D、C共线； 连接AC交对称轴x＝2于点D，点D即为所求； 故设过点AC的直线是y＝kx+b（k≠0），点D（2，m）， 把A（4，0）、C（0，-2）代入，得， 解得， ∴直线AC解析式为， ∴点D（2，m）在直线上， ∴m＝−1， 即点D的坐标是（2，−1）； 故答案为：（2，−1）． 【点睛】本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求一次函数及二次函数解析式、二次函数的对称轴等有关于二次函数的知识点． 11．已知函数（其中）． (1)当m为何值时，y是x的二次函数？ (2)当m为何值时，y是x的一次函数？ 【答案】(1)2 (2)或或 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得且，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数；当且时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意，得 且， 解得， 即当时，y是x的二次函数； （2）①当且时，即时，y是x的一次函数； ②当且时，y是x的一次函数， 解得； ③当且时，y是x的一次函数， 解得； 即当为或或时，y是x的一次函数． 【点睛】本考查了二次函数和一次函数的定义，熟练掌握二次函数和一次函数的定义是解题的关键． 12．已知关于x的函数． 当m为何值时，y是x的二次函数； 当m为何值时，y是x的一次函数； 【答案】（1）（2）当或时，函数，是一次函数 【分析】（1）根据二次函数的定义得到得m-2≠0且m2-2m+2=2，然后解不等式和方程即可得到满足条件的m的值； （2）根据一次函数的定义分类讨论：当m-2=0且m-1≠0时，y是x的一次函数；当m2-2m+2=0且m-2≠0且m-1≠0时，y是x的一次函数；当m2+m-4=1且m-2≠0，m-2+m-1≠0时，y是x的一次函数，然后分别解方程或不等式即可． 【详解】解：函数，是二次函数， ； 函数，是一次函数， 解得：， ， ， ， 无解， 当或时，函数，是一次函数． 【点睛】本题考查二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．也考查了一次函数的定义． 13．已知． （1）当m为何值时，它是y关于x的一次函数； （2）当m为何值时，它是y关于x的二次函数． 【答案】（1）；（2）4或或或0或1 【分析】（1）根据形如y=kx+b （k≠0）是一次函数，可得答案； （2）根据形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函数，可得答案． 【详解】（1）由是关于x的一次函数， 得解得． 所以当时，它是y关于x的一次函数． （2）由是关于x的二次函数，得 ①，解得； ②，解得； ③解得； ④，解得或． 综上所述，当m的值为4或或或0或1时，它是y关于x的二次函数． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的定义，二次函数的一般形式中，二次项系数，解此类题易出现只关注满足指数的要求，而忽略对二次项系数的限制，从而导致错误． 14．如图，二次函数的图象与x轴的交点为A、D（在的右侧），与y轴的交点为C，且，，对称轴是直线，求二次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，依据题意，设二次函数的解析式为，然后将，代入解析式，再结合对称轴是直线，求出a，b，c即可得解． 【详解】解：由题意，设二次函数的解析式为， 又抛物线过，，对称轴是直线， ∴ 解得， ∴抛物线的解析式为 15．如图，抛物线经过，两点． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)尺规作图：在该抛物线上作一点P，使得，且点P在x轴下方．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法、垂直平分线等知识点，掌握垂直平分线的性质和作法成为解题的关键． （1）直接将，代入可求得b、c的值即可解答； （2）连接,然后作线段的垂直平分线与抛物线的交点即为所求． 【详解】（1）解：将，代入可得: ，解得：， 所以抛物线的函数解析式为． （2）解：如图：点P即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $$