第2.3节 匀变速直线运动的规律（2）：位移-【帮课堂】2024-2025学年高一物理同步学与练（沪科版2020上海必修第一册）

第二章 匀变速直线运动 第2.3节 匀变速直线运动的规律（2）：位移 课程标准 ①理解匀变速直线运动位移的概念和变化规律； ②理解位移公式 描述匀变速直线运动的规律； ③能运用匀变速直线运动的导出公式，分析解决生活中简单的实际问题； ④理解匀变速直线运动的平均速度公式，，分析解决实际问题。 物理素养 物理观念：握匀变速直线运动的位移与时间关系的公式，及其简单应用； 科学思维：培养学生运用数学知识-函数图象的能力； 科学探究：培养学生认真严谨的科学分析问题的品质； 科学态度与责任：从知识是相互关联、相互补充的思想中，培养学生建立事物是相互联系的唯物主义观点。 一、匀变速直线运动的位移公式：位移与时间的关系 1. 匀变速直线运动的位移与时间的关系式： 2. 微元法思想进行推导： 在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。 由图可知，梯形OAPQ的面积为 ① ② 将②代入①可得，匀变速直线运动的位移公式为： 也可以这样理解：梯形OAPQ的面积可看成S1和S2之和，其中，， 所以，利用面积表示位移可以得到 3. 适用条件：位移公式只适用于匀变速直线运动． 4. 矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向． ①匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值． ②若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反． 5. 两种特殊形式 ①当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比． ②当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式． 例1. 某质点从静止开始做匀加速直线运动，第5s内的位移为27m，求： （1）质点运动加速度的大小． （2）第2s末速度的大小． 【答案】（1）6m/s2 （2）12m/s 【解析】解：（1）质点做初速度为零的匀加速直线运动， 第5s内的位移：×a×52﹣×a×42＝27，解得：a＝6m/s2； （2）第2s末的速度：v＝at＝6×2＝12m/s 例2. 如图（a）所示“滑板”是常见的娱乐休闲活动。在空旷的水平地面上，有一小孩从静止开始，连续三次蹬地后，滑板沿直线继续滑行了24m后停下。某同学用v-t图像描述了上述运动过程，如图（b）所示。求： （1）滑板减速滑行过程中的最大速率； （2）小孩蹬地时滑板加速度的大小。 【答案】（1）6.67m/s；（2）3.72m/s2 【详解】 （1）小孩滑行时水平方向只受摩擦力的作用，做匀减速直线运动，与初速度为零的匀加速直线运动具有对称性，因此有 将 s2=24m =(12-4.8)s=7.2s 代入可解得 a2≈0.93m/s2 根据 可解得 ≈6.67m/s （2）小孩加速过程中速度的增加量与滑行过程中速度的减少量相等，加速的时间共计 t1=0.8s+0.8s+0.8s=2.4s 减速的时间共计 t2=1.2s+1.2s+7.2s=9.6s 根据 可解得 =3.72m/s2 二、匀变速位移速度公式：速度与位移的关系 1. 匀变速直线运动位移与速度的关系推导 (1)由位移公式：x＝v0t+at2和速度公式v＝v0+at消去t得：v2﹣v02＝2ax． 式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移； 速度与时间的关系式v＝v0＋at。 位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。 由以上两个公式消去t，可得 3.公式的适用条件：匀变速直线运动。 4.公式的意义：反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求第四个未知量。 5.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。 6.两种特殊形式 (1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动) 匀变速直线运动的位移﹣速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系． 2. 适用条件：此公式仅适用于匀变速直线运动； 3. 矢量性：公式中四个矢量v、v0、a、x要规定统一的正方向． 例3. 汽车紧急刹车后，停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线。由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度。已知汽车刹车减速运动的加速度大小为8.0m/s2，测得刹车线长25m。汽车在刹车前的瞬间的速度大小为（　　） A．10m/s B．15m/s C．20m/s D．30m/s 【答案】C 【详解】由题可知末速度v=0，加速度a=-8m/s2，位移x=25m，根据解得 故C正确，ABD错误。故选C。 例4. 如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是。一颗子弹沿水平方向以速度射入A，以速度穿出B。子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动。则子弹穿出A时的速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设子弹穿出A时的速度为v，由速度位移公式可得，射穿A过程满足 射穿B过程满足联立解得故选C。 三、平均速度公式 1. 平均速度=中间时刻的瞬时速度 ⑴ 由 ⑵ 图象证明 在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度， 即有：（非常重要！） 注意：此式仅适用于匀变速直线运动！ 物理含义：在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度， 又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。 2. 匀变速直线运动的位移中点的瞬时速度推导： 前半段：vx/22﹣v02＝2a 后半段：vt2﹣vx/22＝2a 将两式相减得：vx/2＝ 结论：不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，位移中点的速度均大于时间中点的速度， 即：vx/2＞vt/2． 2.匀变速直线运动中间时刻的速度与中间位置速度的大小关系： （1）在匀变速直线运动，不管匀加速直线运动和匀减速直线运动，中间位置速度一定大于中间时刻速度。 （2）注意：在匀速直线运动，中间位置速度等于中间时刻速度。 例5. （多选）物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小是3m/s，1s以后速度大小是9m/s，在这1s内该物体的（　　） A．位移大小可能小于5m B．位移大小可能小于3m C．加速度大小可能小于11m/s2 D．加速度大小可能小于6m/s2 【答案】AC 【解析】1s后的速度大小为9m/s，方向可能与初速度方向相同，也有可能与初速度方向相反。 规定初速度的方向为正方向，若1s末的速度与初速方向相同，1s内的位移，加速度 若1s末的速度与初速度方向相反，1s内的位移， 加速度 负号表示方向。所以位移的大小可能小于5m，但不可能小于3m。故A正确，B错误。 所以加速度的大小可能小于11m/s2，不可能小于6m/s2．故C正确，D错误。 例6. 滑雪运动员由静止开始沿一斜坡匀加速下滑，经过斜坡中点时的速度为v，则他通过斜坡后半段的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设斜坡的长度为，运动员到达底端的速度为，根据匀变速直线运动速度位移公式得 ，，联立两式可得： 故运动员通过斜坡后半段的平均速度为：，故选B。 三、匀变速直线运动推论：相邻等时间间隔位移差公式 推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。 两式相减得：，即任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是定值 拓展： 注意：此公式不要求初速度为0！ 例7. 从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一个小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍照，如图所示，测得=15cm；=20cm，则小球的加速度是 ；拍摄时B球的速度是 ；CD间的距离是 ；A球上面滑动的小球还有 个。 【答案】5m/s2; 1.75m/s2; 25cm; 2 【解析】匀变速直线运动在连续相等时间内的位移之差是一恒量结合该推论求出小球的加速度.根据某段时间内的平均速度等干中间时刻的瞬时速度求出B球的速度，结合速度时间公式求出B球运动的时间，判断出上面还有几个小球 ， CD=0.20+(0.20-0.15)=0.25m vB =atB，解得tB=0.35s，每隔0.1s释放一个，所以B上面有3个，即A上面有2个小球。 例8. 有一个小球沿斜面下滑，用频率为0.1s的频闪相机拍摄不同时刻小球的位置，如图所示，测得比小球连续相等时间内的位移如下表： S1（cm） S2（cm） S3（cm） S4（cm） S5（cm） 8.20 9.30 10.40 11.50 12.60 根据以上数据求小球下滑的加速度a＝　 　 m/s2． 【答案】1.1 【解析】由表格中的数据知，相等相等时间内的位移之差为1.1cm，位移之差相等，小球做匀加速直线运动． 根据△x＝aT2，有：＝1.1m/s2． 【考点01】 匀变速运动的位移中点和时间中点速度 例9. 如图所示是质点做匀变速直线运动的s﹣t图象的一部分，图线上P点对应的速度大小（　　） A．小于2m/s B．等于2m/s C．大于2m/s D．无法确定 【答案】C 【解析】图线AB段对应时间内物体的位移为2m，时间为1s，故物体在AB段的平均速度为： ＝2m/s，而平均速度等于中点时刻的速度，P是位移中点，匀变速的中间位置的速度大于中间时刻的速度，所以图线上P点对应的速度大于2m/s，故C正确。 【考点02】 x-t函数表达式分析匀加速运动 例10. 一个物体在水平面上以恒定的加速度运动，它的位移与时间的关系是x＝24t﹣6t2，则它的速度为零的时刻是（　　） A． B．6s C．2s D．24s 【答案】C 【解析】根据匀变速直线运动位移与时间的关系公式与x＝24t﹣6t2对比可得： v0＝24m/s a＝﹣12m/s2 根据公式v＝v0+at得 ＝2s 故选：C。 【考点03】 列方程组解题 例11. 一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15m有一棵树，如图所示，汽车通过AB两相邻的树用了3s，通过BC两相邻的树用了2s，求汽车运动的加速度和通过树A时的速度为多少？ 【答案】汽车在A点初速度为3.5 m/s，运动的加速度1 m/s2 【解析】设汽车经过A点时的速度为v0，加速度为a， 对AB段运动由位移时间公式 对BC段运动由位移时间公式 其中x1＝15m，x2＝30m，t1＝3s，t2＝5s 联立方程①②并代入数据得： a＝1m/s2，v0＝3.5m/s ✅方法总结 1. 应用位移公式的解题步骤： ①选择研究对象，分析运动是否为变速直线运动，并选择研究过程。 ②初速度v0、加速度a、时间t、位移x，若有三个已知量，即可用x＝v0t+at2求第四个物理量。 ③规定正方向（一般以v0方向为正方向），判断各矢量正负代入公式计算。 2. 利用v﹣t图象处理匀变速直线运动的方法： ①把图像转化为物体运动过程，即能根据图像描述物体的运动过程。 ②利用图象斜率求解v、a时，须注意其矢量性，即正负含义和变化情况。 ③利用图象求解位移时，须注意位移的正负：t轴上方位移为正，t轴下方位移为负。 面积的代数和表示物体位移的大小，面积的绝对值的和等于物体的路程。 【A组】 1．对匀变速直线运动的理解，下列说法正确的是（　　） A．速度保持不变 B．速度随时间均匀变化 C．位移随时间均匀变化 D．加速度随时间均匀变化 【答案】B 【详解】AB．对于匀变速直线运动，速度随时间均匀变化，故A错误，B正确； C．对于匀变速直线运动，位移随时间的平方均匀变化，故C错误； D．对于匀变速直线运动，加速度保持恒定，故D错误。 2．物体做直线运动的频闪照片如图所示，则（　　） A．加速度向左 B．速度向左 C．加速度向右 D．速度向右 【答案】C 【详解】由题图可知，从左向右物体在相等的时间间隔内的位移越来越大，故物体可能向右做加速运动或向左做减速运动，即加速度方向向右。故选：C。 3．汽车在水平公路上自A向B做匀减速直线运动停于B点，初速度为3m/s，加速度为0.4m/s2。若汽车在某1s内通过了0.05m的位移，则在这1s末汽车（　　） A．已停止运动 B．刚好停止运动 C．一定没有停止运动 D．可能没有停止运动 【答案】A 【解析】应用逆向思维，把末速度为零的匀减速反向看成初速度为零的匀加速运动，初速度为零，匀加速t=1s的位移>0.05m，该车在这1s末之前已停止运动。A正确。 4．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s，1s后速度的大小为10m/s，在这1s内该物体的（　　） A．位移的大小可能小于4m B．位移的大小一定等于7m C．加速度的大小可能小于4m/s2 D．加速度的大小一定小于10m/s2 【答案】A 【解析】当1s后的速度方向与初速度方向相同，则加速度：，方向与初速度方向相同，位移为：，位移的方向与初速度方向相同； 当1s后的速度方向与初速度方向相反，则加速度为：，负号表示加速度方向与初速度方向相反，位移为：，位移方向与初速度方向相反，A正确。 5．一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动，刚运动了8s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以刹车做匀减速运动，经4s刚好停在巨石前，则汽车（　　） A．加速、减速过程的加速度大小之比a1：a2＝2：1 B．加速、减速过程位移之比s1：s2＝1：1 C．加速、减速过程平均速度大小之比v1：v2＝1：1 D．加速、减速过程平均速度大小之比v1：v2＝1：2 【答案】C 【解析】设运动过程中的最大速度为v A.加速段的末速度就是减速段的初速度，加速段初速度为零，减速段末速度为零。 根据公式v﹣v0＝at可知，a＝ 根据题意有a1＝ a1＝ a1：a2＝1：2，故A错误。 B.匀变速运动的平均速度 可知，平均速度大小相同，均为 s1＝×8s s2＝×4s 因此，s1：s2＝2：1 C.匀变速运动的平均速度v＝可知，平均速度大小相同，故C正确，D错误。 6．下列为位移x随时间t变化图象，能反映汽车刹车过程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】汽车刹车过程是匀减速运动过程，设汽车的初速度为v0，加速度大小为a，则汽车的位移与时间关系为x＝v0t﹣，所以位移与时间是成二次函数关系，且开口向下，故D正确。 7．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s与开始刹车后7s汽车通过的位移之比是（　　） A．1：1 B．3：1 C．3：4 D．4：3 【答案】C 【解析】汽车速度减为零的时间， 则刹车后2s内的位移＝30m， 刹车后7s内的位移， 则开始刹车后2s与开始刹车后7s汽车通过的位移之比为3：4，故C正确。 8．某飞机从着陆到停下来所用的时间为t，滑行的距离为x，假设飞机做加速度逐渐减小的减速直线运动，则飞机着陆时的速度应是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】飞机做加速度逐渐减小的减速直线运动，速度时间图线如图实线所示。 虚线是匀变速直线运动，位移大小，根据图线围成的面积知， 飞机着陆的位移比匀变速直线运动的位移小，即，解得：，故C正确。 9．如图，当轿车以18km/h的速度匀速驶入高速公路ETC收费通道时，ETC天线完成对车载电子标签的识别后发出“滴”的一声。此时轿车距自动栏杆7m，司机发现栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，使轿车刚好没有撞杆。已知刹车的加速度大小为5m/s2．则司机的反应时间为（　　） A．0.5s B．0.7s C．0.9s D．1s 【答案】C 【详解】轿车的速度为：v0＝18km/h＝5m/s，设司机的反应时间为△t，轿车在这段时间内做匀速直线运动，位移为：x1＝v0t，随后做匀减速直线运动，位移为：，由题意可知两段位移之和为：L＝x1+x2，代入数据联立解得：△t＝0.9s，故C正确。 10．物体由静止开始做匀加速直线运动，速度为v时位移为s，当位移为3s时，速度为（　　） A．v B．3v C．6v D．9v 【答案】A 【详解】由v2＝2ax可知，加速度为：a＝； 再对3s过程由v2＝2a•3s可知其位移为时的速度为：v′＝v，故选：A。 11．近日，由蓝箭航天自主研发的国产可重复使用火箭取得了重大进展。回收火箭是非常具有挑战性的任务，返回的火箭着陆前发动机重新点火，做匀减速直线运动，直至着陆。点火后的第1s内和第2s内火箭位移大小依次为90m和50m，则点火后3s内的位移是（　　） A．150m B．151.25m C．152.5m D．153.75m 【答案】B 【详解】第1s内的平均速度 第2s内的平均速度 则加速度大小 初速度为 减速至0 的数据 则点火后3s内的位移 ，故选B。 12．消防员日常技能训练中，消防员从四楼窗户沿绳竖直下降到地面过程的图像如图所示。消防员在与时段内的（　　） A．位移大小之比为 B．平均速度大小之比为 C．速度变化量大小之比为 D．加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．在与时段内，位移大小之比为面积之比，即为4∶1，故A错误； B．根据匀变速直线运动的平均速度等于初速度与末速度之和的一半，得两时段内的平均速度大小之比为1∶1，故B错误； C．速度变化量分别为与，大小之比为1∶1，故C错误； D．根据加速度的定义式得两时段内的加速度分别为与，大小之比为1∶4，故D正确。 故选D。 13．根据我国机动车运行安全的技术标准，一辆满载的大型汽车，如行驶速度为 30 km/h，制动距离必须在8.0 m 以内。当它的行驶速度为 60 km/h 时，制动距离须控制在（　　）以内。 A．8m B．16m C．32m D．64m 【答案】C 【详解】根据 加速度相同，则 ，所以当它的行驶速度为 60 km/h 时，制动距离须控制在32m以内。故选C。 14．汽车在平直的公路上匀速行驶，发现前方有险情后紧急刹车，刹车后经过2s速度减半，再滑行15m速度减为零，刹车过程可以看成匀减速直线运动，则汽车匀速行驶时的速度大小为（　　） A．25m/s B．28m/s C．30m/s D．32m/s 【答案】C 【详解】取运动方向为正方向，设汽车匀速行驶时的速度大小为v ，，代入数据解得：v=30m/s，故选C。 15．（多选）汽车以的速度开始刹车，刹车中加速度大小为，关于汽车的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．刹车后6s末的速度为2m/s B．刹车后6s内的位移为25m C．刹车后6s内的位移为24m D．停止前第3s、第2s、最后1s的位移之比为5：3：1 【答案】BD 【详解】汽车开始刹车到最终停止的过程为匀减速直线运动，初速度，末速度为零， 加速度为。设汽车经过时间t停止运动，则有 A．汽车在5s末停止运动，此后速度为零，A错误。 BC．汽车5s末停止运动，刹车位移 第6s内汽车静止不动，B正确，C错误。 D．汽车的刹车过程，反过来看就是初速度为零，加速度为的匀加速直线运动，则有 可知汽车最后1s，第2s，第3s内的位移之比为1：3：5。那么，汽车停止前第3s、第2s、最后1s的位移之比就为5：3：1。D正确。故选BD。 【B组】 16．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝5+2t3（m），它的速度随时间t变化的关系为v＝6t2（m/s），该质点在t＝0到t＝2s间的位移为　 　m；t＝2s到t＝3s间的平均速度为　 　m/s． 【答案】16，38． 【解析】根据题意，质点离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝5+2t3（m），故： t＝0时，x＝5m； t＝2s时，x′＝21m； t＝3s时，x′′＝59m 故2s内位移为：△x＝x′﹣x＝21m﹣5m＝16m； 第三秒内的位移为：△x′＝x′′﹣x′＝59m﹣21m＝38m； 故第3秒内的平均速度为： 17．汽车以15m/s的初速度做匀减速直线运动，若在第二秒内通过的位移是7.5m，则汽车的加速度大小为　 　m/s2，在刹车之后的1s内、2s内、3s内汽车通过的位移之比为　 　． 【答案】 5，5：8：9． 【解析】第2s内的位移为7.5m，则第2s内的平均速度为7.5m/s，根据平均速度推论知，1.5s末的速度为7.5m/s， 汽车的加速度． 汽车速度减为零的时间 ． 则汽车刹车后1s内的位移 刹车后2s内的位移 刹车后3s内的位移 在刹车之后的1s内、2s内、3s内汽车通过的位移之比为5：8：9． 18．如图所示，物体由静止从A点沿斜面匀加速下滑，随后在水平面上做匀减速运动，最后停止于C点，已知AB＝4m，BC＝6m，整个运动历时10s，则物体在B点的速度大小为　 　m/s，物体在BC运动的加速度为　 　m/s2． 【答案】2，． 【解析】设B点的速度为v，则AB段和BC段的平均速度都为，有： t1+t2＝xAB+xBC，解得：＝2m/s． 根据v2﹣v02＝2ax得BC段的加速度为： 19．上海中心大厦的电梯是最快的竖直升降电梯。电梯从静止开始，经20s到达最大速度18m/s，接着匀速上升了14s，最后又用了12s的时间匀减速运动，到达相应楼层停止，则匀加速阶段的加速度为________；电梯上升的总高度为_________m。 【答案】     0.9     540 【详解】[1]由得匀加速阶段的加速度为 [2]匀加速阶段位移为 匀速阶段位移为 匀减速阶段位移为 所以电梯上升的总高度为 20．一辆正在刹车的货车其速度随时间变化的函数关系是v＝22－4t，那么该货车刹车过程中最后1s内与最后2s内通过的位移比为______；第3s内与第4s内的平均速度比为______。 【答案】     1：4     3：2 【详解】[1]根据速度时间关系 对比得 ， 可将汽车看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，所以该货车刹车过程中最后1s内的位移 货车刹车过程中最后2s内通过的位移 可得该货车刹车过程中最后1s内与最后2s内通过的位移比为： [2]第3s内的位移 第4s内的位移 根据平均速度公式 ，则第3s内与第4s内的平均速度比为 21．老鼠离开洞穴后沿直线运动，测得它距洞口不同距离S的速度v如下表。分析表中数据可知，老鼠的速度v与它距洞口的距离S的关系是v＝　 　；它从距洞口1米处的A点运动到距洞口4米处的B点所用的时间是　 　s。 S（m） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 v（m/s） 4.00 2.00 1.33 1.00 0.80 0.67 【答案】 ，3.75 【解析】（1）结合表格中给出的数据，根据数学分析知，速度﹣位移满足以下关系：2×＝s，得v＝ （2）作出v-1﹣x图象，图中的曲线与横轴所围“面积”的数值正是老鼠从A到B所需的时间 则t14＝＝3.75s 22．某人骑自行车沿一坡路直线运动，已知在坡顶的速度是1m/s，他以0.5m/s2的加速度匀加速行驶了4s，恰好到达坡底，试求： （1）他在3s末时的瞬间速度； （2）坡路的长度； （3）在坡路上行驶的平均速度． 【答案】（1）2.5m/s； （2）8m． （3）2m/s． 【解析】（1）自行车做匀加速直线运动，已知加速度a＝0.5m/s2，初速度 v0＝1m/s，则他在3s末时的瞬间速度为： v3＝v0+at3＝1+0.5×3＝2.5（m/s） （2）坡路的长度为：x＝v0t+＝1×4+×0.5×42＝8（m） （3）在坡路上行驶的平均速度为：＝2m/s 23．以16m/s的速度行驶的汽车，制动刹车后做匀减速运动，在4.0s内前进48m．求： （1）汽车的加速度； （2）从汽车开始刹车时计时，9.0s内汽车前进的距离． 【答案】；64m 【解析】设初速度的方向为正方向． （1）如4s内已经停止，平均速度为8m/s，最大位移为，所以4s时汽车未停止 由位移公式，有： 解得： 加速度方向向后． （2）刹车的总时间为： 由位移公式有： 即： 5s内汽车前进的距离为：x＝64m 24．图为酒店送货机器人。一次送货，机器人沿直走廊送货到30m远的客房，机器人从静止开始做匀加速直线运动，2s时速度达到1.2m/s，然后做匀速直线运动，距离客房2.4m时开始做匀减速直线运动，到达客房门口恰好停止。求： （1）匀加速阶段的加速度大小； （2）匀减速阶段的平均速度； （3）此次送货的时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设机器人匀加速阶段的加速度大小为，则有 （2）设机器人匀减速运动的平均速度为，则有 （3）设匀加速运动的位移为，匀速运动的位移为，匀减速运动的位移为， 则有 ， 则匀速运动的时间为 匀减速运动的时间为 此次送货的时间为 25．有一架电梯，从一楼启动之后匀加速上升，加速度为a1=2m/s2，制动时匀减速上升，加速度大小为a2=1m/s2，楼高84m，求： （1）若上升过程中最大速度为8m/s，求启动到最大速度时的位移大小； （2）若上升的最大速度为10m/s，求电梯运动到楼顶的最短时间； （3）如果电梯先加速上升，然后匀速上升，再减速上升，全程共用时间为24s，求上升过程中的最大速率。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）若上升过程中最大速度为8m/s，启动到最大速度位移 （2）若上升过程中最大速度为10m/s，启动到最大速度位移 电梯加速到最大速度的时间 电梯减速运动的位移 电梯减速运动的时间 匀速运动的时间 则总时间 （3）设最大速度为vm，则整个过程 其中，，又 ，解得 26．如图所示，倾角为的光滑斜面与粗糙的水平面平滑连接。现将一滑块（可视为质点）从斜面上A点由静止释放，最终停在水平面上的C点。已知A点距水平面的高度，滑块在上滑动的加速度大小为，B点距C点的距离。（滑块经过B点时速度大小不变，取）求： （1）滑块在水平面上滑动的加速度大小； （2）滑块从A点释放后，经过时间时速度大小； （3）改变滑块在斜面上释放高度h，L的大小也改变，求h与L的比值大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）设滑块在B点时速度为，滑块在斜面上做匀加速直线运动，加速度， 则有，解得 滑块在水平面上做匀减速直线运动，加速度为，则有 ，解得 滑块在水平面上滑动的加速度大小为。 （2）设滑块在斜面上运动时间，则 可知时滑块在水平面上运动了 设时滑块速度大小为，则有 （3）改变滑块在斜面上释放高度h的大小，滑块在斜面和水平面上的加速度不变， 设滑块在B点的速度为，则有 ， 联立可得 27．某跳伞运动员做低空跳伞表演。当飞机悬停时距离地面h1=225m，此时运动员离开飞机做自由落体运动，当运动员距离地面h2=100m时立即打开降落伞，此后可认为运动员匀减速竖直下降，落地速度刚好为5m/s（g=10m/s2，结果保留到小数点后一位），求： （1）运动员打开降落伞时的速度大小； （2）运动员打开降落伞后的加速度大小； （3）运动员离开飞机后在空中下落的总时间。 【答案】（1）50m/s；（2）12.4m/s2；（3）8.6s 【详解】（1）运动员先做自由落体运动 由运动学公式 ，有 （2）运动员打开降落伞后的加速度为 ，加速度大小12.4m/s2。 （3）运动员离开飞机后自由落体运动时间 伞打开后运动员运动时间为 所以运动员下落的总时间为 28. “奔跑吧”设计了一款“快步流星”游戏，如示意图所示，0刻度线正上方有排球，计时按钮置于嘉宾要挑战的距离处。某嘉宾将计时按钮放在8m处，他从14m处起跑，跑到计时按钮时按下按钮，排球由静止开始下落，他恰好接到排球（即挑战成功）。若嘉宾起跑的加速度为，运动过程中的最大速度为8m/s，不计他按下按钮的时间，重力加速度取，求： （1）他按下按钮时的运动速度大小； （2）排球下落前距地面的高度； （3）嘉宾从起跑到接住球所用的时间。 【答案】（1）8m/s；（2）5.0m；（3）2.25s 【详解】（1）嘉宾加速阶段通过的位移为 计时器与嘉宾起跑点间的距离为 可知他按下按钮时，已经处于匀速运动阶段，则他按下按钮时的运动速度大小 （2）设排球下落时间为，根据题意有 所以排球下落的高度为 （3）嘉宾加速运动时间为，则有 嘉宾匀速运动时间为，则有 解得 运动总时间 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 匀变速直线运动 第2.3节 匀变速直线运动的规律（2）：位移 课程标准 ①理解匀变速直线运动位移的概念和变化规律； ②理解位移公式 描述匀变速直线运动的规律； ③能运用匀变速直线运动的导出公式，分析解决生活中简单的实际问题； ④理解匀变速直线运动的平均速度公式，，分析解决实际问题。 物理素养 物理观念：握匀变速直线运动的位移与时间关系的公式，及其简单应用； 科学思维：培养学生运用数学知识-函数图象的能力； 科学探究：培养学生认真严谨的科学分析问题的品质； 科学态度与责任：从知识是相互关联、相互补充的思想中，培养学生建立事物是相互联系的唯物主义观点。 一、匀变速直线运动的位移公式：位移与时间的关系 1. 匀变速直线运动的位移与时间的关系式： 2. 微元法思想进行推导： 在匀变速直线运动中，虽然速度时刻变化，但只要时间足够小，速度的变化就非常小，在这段时间内近似应用我们熟悉的匀速运动的公式计算位移，其误差也非常小，如图所示。 由图可知，梯形OAPQ的面积为 ① ② 将②代入①可得，匀变速直线运动的位移公式为： 也可以这样理解：梯形OAPQ的面积可看成S1和S2之和，其中，， 所以，利用面积表示位移可以得到 3. 适用条件：位移公式只适用于匀变速直线运动． 4. 矢量性：公式中x、v0、a都是矢量，应用时必须选取正方向．一般选v0的方向为正方向． ①匀加速直线运动中，a与v0同向，a取正值；匀减速直线运动中，a与v0反向，a取负值． ②若位移的计算结果为正值，说明位移方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明位移方向与规定的正方向相反． 5. 两种特殊形式 ①当v0＝0时，x＝at2，即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移x与t2成正比． ②当a＝0时，x＝v0t，即匀速直线运动的位移公式． 例1. 某质点从静止开始做匀加速直线运动，第5s内的位移为27m，求： （1）质点运动加速度的大小． （2）第2s末速度的大小． 例2. 如图（a）所示“滑板”是常见的娱乐休闲活动。在空旷的水平地面上，有一小孩从静止开始，连续三次蹬地后，滑板沿直线继续滑行了24m后停下。某同学用v-t图像描述了上述运动过程，如图（b）所示。求： （1）滑板减速滑行过程中的最大速率； （2）小孩蹬地时滑板加速度的大小。 二、匀变速位移速度公式：速度与位移的关系 1. 匀变速直线运动位移与速度的关系推导 (1)由位移公式：x＝v0t+at2和速度公式v＝v0+at消去t得：v2﹣v02＝2ax． 式中v0和v是初、末时刻的速度，x是这段时间的位移； 速度与时间的关系式v＝v0＋at。 位移与时间的关系式x＝v0t＋at2。 由以上两个公式消去t，可得 3.公式的适用条件：匀变速直线运动。 4.公式的意义：反映了初速度v0、末速度v、加速度a、位移x之间的关系，当其中三个物理量已知时，可求第四个未知量。 5.公式的矢量性：公式中v0、v、a、x都是矢量，必须选取统一的正方向，一般选v0的方向为正方向。 6.两种特殊形式 (1)当v0＝0时，v2＝2ax。(初速度为零的匀加速直线运动) (2)当v＝0时，－v＝2ax。(末速度为零的匀减速直线运动) 匀变速直线运动的位移﹣速度关系式反映了初速度、末速度、加速度与位移之间的关系． 2. 适用条件：此公式仅适用于匀变速直线运动； 3. 矢量性：公式中四个矢量v、v0、a、x要规定统一的正方向． 例3. 汽车紧急刹车后，停止运动的车轮在水平地面上滑动直至停止，在地面上留下的痕迹称为刹车线。由刹车线的长短可知汽车刹车前的速度。已知汽车刹车减速运动的加速度大小为8.0m/s2，测得刹车线长25m。汽车在刹车前的瞬间的速度大小为（　　） A．10m/s B．15m/s C．20m/s D．30m/s 例4. 如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是。一颗子弹沿水平方向以速度射入A，以速度穿出B。子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动。则子弹穿出A时的速度为（　　） A． B． C． D． 三、平均速度公式 1. 平均速度=中间时刻的瞬时速度 ⑴ 由 ⑵ 图象证明 在匀变速直线运动中，对于某一段时间t，其中间时刻的瞬时速度， 即有：（非常重要！） 注意：此式仅适用于匀变速直线运动！ 物理含义：在匀变速直线运动中，某一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度， 又等于这段时间内初速度和末速度的算术平均值。 2. 匀变速直线运动的位移中点的瞬时速度推导： 前半段：vx/22﹣v02＝2a 后半段：vt2﹣vx/22＝2a 将两式相减得：vx/2＝ 结论：不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，位移中点的速度均大于时间中点的速度， 即：vx/2＞vt/2． 2.匀变速直线运动中间时刻的速度与中间位置速度的大小关系： （1）在匀变速直线运动，不管匀加速直线运动和匀减速直线运动，中间位置速度一定大于中间时刻速度。 （2）注意：在匀速直线运动，中间位置速度等于中间时刻速度。 例5. （多选）物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小是3m/s，1s以后速度大小是9m/s，在这1s内该物体的（　　） A．位移大小可能小于5m B．位移大小可能小于3m C．加速度大小可能小于11m/s2 D．加速度大小可能小于6m/s2 例6. 滑雪运动员由静止开始沿一斜坡匀加速下滑，经过斜坡中点时的速度为v，则他通过斜坡后半段的平均速度为（    ） A． B． C． D． 三、匀变速直线运动推论：相邻等时间间隔位移差公式 推导：如图所示，x1、x2为连续相等的时间T内的位移，加速度为a。 两式相减得：，即任意两个连续相等时间间隔T内，位移之差是定值 拓展： 注意：此公式不要求初速度为0！ 例7. 从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一个小球，在连续释放几颗后，对在斜面上滑动的小球拍照，如图所示，测得=15cm；=20cm，则小球的加速度是 ；拍摄时B球的速度是 ；CD间的距离是 ；A球上面滑动的小球还有 个。 例8. 有一个小球沿斜面下滑，用频率为0.1s的频闪相机拍摄不同时刻小球的位置，如图所示，测得比小球连续相等时间内的位移如下表： S1（cm） S2（cm） S3（cm） S4（cm） S5（cm） 8.20 9.30 10.40 11.50 12.60 根据以上数据求小球下滑的加速度a＝　 　 m/s2． 【考点01】 匀变速运动的位移中点和时间中点速度 例9. 如图所示是质点做匀变速直线运动的s﹣t图象的一部分，图线上P点对应的速度大小（　　） A．小于2m/s B．等于2m/s C．大于2m/s D．无法确定 【考点02】 x-t函数表达式分析匀加速运动 例10. 一个物体在水平面上以恒定的加速度运动，它的位移与时间的关系是x＝24t﹣6t2，则它的速度为零的时刻是（　　） A． B．6s C．2s D．24s 【考点03】 列方程组解题 例11. 一辆汽车在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15m有一棵树，如图所示，汽车通过AB两相邻的树用了3s，通过BC两相邻的树用了2s，求汽车运动的加速度和通过树A时的速度为多少？ ✅方法总结 1. 应用位移公式的解题步骤： ①选择研究对象，分析运动是否为变速直线运动，并选择研究过程。 ②初速度v0、加速度a、时间t、位移x，若有三个已知量，即可用x＝v0t+at2求第四个物理量。 ③规定正方向（一般以v0方向为正方向），判断各矢量正负代入公式计算。 2. 利用v﹣t图象处理匀变速直线运动的方法： ①把图像转化为物体运动过程，即能根据图像描述物体的运动过程。 ②利用图象斜率求解v、a时，须注意其矢量性，即正负含义和变化情况。 ③利用图象求解位移时，须注意位移的正负：t轴上方位移为正，t轴下方位移为负。 面积的代数和表示物体位移的大小，面积的绝对值的和等于物体的路程。 【A组】 1．对匀变速直线运动的理解，下列说法正确的是（　　） A．速度保持不变 B．速度随时间均匀变化 C．位移随时间均匀变化 D．加速度随时间均匀变化 2．物体做直线运动的频闪照片如图所示，则（　　） A．加速度向左 B．速度向左 C．加速度向右 D．速度向右 3．汽车在水平公路上自A向B做匀减速直线运动停于B点，初速度为3m/s，加速度为0.4m/s2。若汽车在某1s内通过了0.05m的位移，则在这1s末汽车（　　） A．已停止运动 B．刚好停止运动 C．一定没有停止运动 D．可能没有停止运动 4．一物体做匀变速直线运动，某时刻速度大小为4m/s，1s后速度的大小为10m/s，在这1s内该物体的（　　） A．位移的大小可能小于4m B．位移的大小一定等于7m C．加速度的大小可能小于4m/s2 D．加速度的大小一定小于10m/s2 5．一辆汽车由静止开始做匀加速直线运动，刚运动了8s，由于前方突然有巨石滚下，堵在路中央，所以刹车做匀减速运动，经4s刚好停在巨石前，则汽车（　　） A．加速、减速过程的加速度大小之比a1：a2＝2：1 B．加速、减速过程位移之比s1：s2＝1：1 C．加速、减速过程平均速度大小之比v1：v2＝1：1 D．加速、减速过程平均速度大小之比v1：v2＝1：2 6．下列为位移x随时间t变化图象，能反映汽车刹车过程的是（　　） A． B． C． D． 7．汽车以20m/s的速度做匀速直线运动，刹车后加速度大小为5m/s2，那么开始刹车后2s与开始刹车后7s汽车通过的位移之比是（　　） A．1：1 B．3：1 C．3：4 D．4：3 8．某飞机从着陆到停下来所用的时间为t，滑行的距离为x，假设飞机做加速度逐渐减小的减速直线运动，则飞机着陆时的速度应是（　　） A． B． C． D． 9．如图，当轿车以18km/h的速度匀速驶入高速公路ETC收费通道时，ETC天线完成对车载电子标签的识别后发出“滴”的一声。此时轿车距自动栏杆7m，司机发现栏杆没有抬起，于是采取制动刹车，使轿车刚好没有撞杆。已知刹车的加速度大小为5m/s2．则司机的反应时间为（　　） A．0.5s B．0.7s C．0.9s D．1s 10．物体由静止开始做匀加速直线运动，速度为v时位移为s，当位移为3s时，速度为（　　） A．v B．3v C．6v D．9v 11．近日，由蓝箭航天自主研发的国产可重复使用火箭取得了重大进展。回收火箭是非常具有挑战性的任务，返回的火箭着陆前发动机重新点火，做匀减速直线运动，直至着陆。点火后的第1s内和第2s内火箭位移大小依次为90m和50m，则点火后3s内的位移是（　　） A．150m B．151.25m C．152.5m D．153.75m 12．消防员日常技能训练中，消防员从四楼窗户沿绳竖直下降到地面过程的图像如图所示。消防员在与时段内的（　　） A．位移大小之比为 B．平均速度大小之比为 C．速度变化量大小之比为 D．加速度大小之比为 13．根据我国机动车运行安全的技术标准，一辆满载的大型汽车，如行驶速度为 30 km/h，制动距离必须在8.0 m 以内。当它的行驶速度为 60 km/h 时，制动距离须控制在（　　）以内。 A．8m B．16m C．32m D．64m 14．汽车在平直的公路上匀速行驶，发现前方有险情后紧急刹车，刹车后经过2s速度减半，再滑行15m速度减为零，刹车过程可以看成匀减速直线运动，则汽车匀速行驶时的速度大小为（　　） A．25m/s B．28m/s C．30m/s D．32m/s 15．（多选）汽车以的速度开始刹车，刹车中加速度大小为，关于汽车的运动情况，下列说法正确的是（　　） A．刹车后6s末的速度为2m/s B．刹车后6s内的位移为25m C．刹车后6s内的位移为24m D．停止前第3s、第2s、最后1s的位移之比为5：3：1 【B组】 16．一质点沿直线Ox方向做变速运动，它离开O点的距离x随时间变化的关系为x＝5+2t3（m），它的速度随时间t变化的关系为v＝6t2（m/s），该质点在t＝0到t＝2s间的位移为　 　m；t＝2s到t＝3s间的平均速度为　 　m/s． 17．汽车以15m/s的初速度做匀减速直线运动，若在第二秒内通过的位移是7.5m，则汽车的加速度大小为　 　m/s2，在刹车之后的1s内、2s内、3s内汽车通过的位移之比为　 　． 18．如图所示，物体由静止从A点沿斜面匀加速下滑，随后在水平面上做匀减速运动，最后停止于C点，已知AB＝4m，BC＝6m，整个运动历时10s，则物体在B点的速度大小为　 　m/s，物体在BC运动的加速度为　 　m/s2． 19．上海中心大厦的电梯是最快的竖直升降电梯。电梯从静止开始，经20s到达最大速度18m/s，接着匀速上升了14s，最后又用了12s的时间匀减速运动，到达相应楼层停止，则匀加速阶段的加速度为________；电梯上升的总高度为_________m。 20．一辆正在刹车的货车其速度随时间变化的函数关系是v＝22－4t，那么该货车刹车过程中最后1s内与最后2s内通过的位移比为______；第3s内与第4s内的平均速度比为______。 21．老鼠离开洞穴后沿直线运动，测得它距洞口不同距离S的速度v如下表。分析表中数据可知，老鼠的速度v与它距洞口的距离S的关系是v＝　 　；它从距洞口1米处的A点运动到距洞口4米处的B点所用的时间是　 　s。 S（m） 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 v（m/s） 4.00 2.00 1.33 1.00 0.80 0.67 22．某人骑自行车沿一坡路直线运动，已知在坡顶的速度是1m/s，他以0.5m/s2的加速度匀加速行驶了4s，恰好到达坡底，试求： （1）他在3s末时的瞬间速度； （2）坡路的长度； （3）在坡路上行驶的平均速度． 23．以16m/s的速度行驶的汽车，制动刹车后做匀减速运动，在4.0s内前进48m．求： （1）汽车的加速度； （2）从汽车开始刹车时计时，9.0s内汽车前进的距离． 24．图为酒店送货机器人。一次送货，机器人沿直走廊送货到30m远的客房，机器人从静止开始做匀加速直线运动，2s时速度达到1.2m/s，然后做匀速直线运动，距离客房2.4m时开始做匀减速直线运动，到达客房门口恰好停止。求： （1）匀加速阶段的加速度大小； （2）匀减速阶段的平均速度； （3）此次送货的时间。 25．有一架电梯，从一楼启动之后匀加速上升，加速度为a1=2m/s2，制动时匀减速上升，加速度大小为a2=1m/s2，楼高84m，求： （1）若上升过程中最大速度为8m/s，求启动到最大速度时的位移大小； （2）若上升的最大速度为10m/s，求电梯运动到楼顶的最短时间； （3）如果电梯先加速上升，然后匀速上升，再减速上升，全程共用时间为24s，求上升过程中的最大速率。 26．如图所示，倾角为的光滑斜面与粗糙的水平面平滑连接。现将一滑块（可视为质点）从斜面上A点由静止释放，最终停在水平面上的C点。已知A点距水平面的高度，滑块在上滑动的加速度大小为，B点距C点的距离。（滑块经过B点时速度大小不变，取）求： （1）滑块在水平面上滑动的加速度大小； （2）滑块从A点释放后，经过时间时速度大小； （3）改变滑块在斜面上释放高度h，L的大小也改变，求h与L的比值大小。 27．某跳伞运动员做低空跳伞表演。当飞机悬停时距离地面h1=225m，此时运动员离开飞机做自由落体运动，当运动员距离地面h2=100m时立即打开降落伞，此后可认为运动员匀减速竖直下降，落地速度刚好为5m/s（g=10m/s2，结果保留到小数点后一位），求： （1）运动员打开降落伞时的速度大小； （2）运动员打开降落伞后的加速度大小； （3）运动员离开飞机后在空中下落的总时间。 28. “奔跑吧”设计了一款“快步流星”游戏，如示意图所示，0刻度线正上方有排球，计时按钮置于嘉宾要挑战的距离处。某嘉宾将计时按钮放在8m处，他从14m处起跑，跑到计时按钮时按下按钮，排球由静止开始下落，他恰好接到排球（即挑战成功）。若嘉宾起跑的加速度为，运动过程中的最大速度为8m/s，不计他按下按钮的时间，重力加速度取，求： （1）他按下按钮时的运动速度大小； （2）排球下落前距地面的高度； （3）嘉宾从起跑到接住球所用的时间。 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