精品解析：四川省成都市洛带中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

洛带中学高二上期12月月考数学卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知点，点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率公式可求得直线斜率，由斜率和倾斜角关系可得直线倾斜角. 【详解】，直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据椭圆的方程求出，再利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程可得，设左焦点为，右焦点为， 由椭圆的定义可得， 若，则， 故选：C 3. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据两平面垂直可得法向量垂直，即可根据坐标运算求解. 【详解】由，所以， ，解得. 故选：D. 4. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果. 【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或． 所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件， 故选：A 5. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算用表示出即可得． 【详解】-＝， . 故选：A． 6. 圆与圆的公切线共有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】D 【解析】 【分析】把两个圆方程化成标准方程，分别求出两圆的圆心坐标及两圆的半径，比较圆心距与两圆半径和与差的关系，判断出两圆的位置关系，进而可以判断出有几条公切线． 【详解】 圆心坐标为（2，0）半径为2； 圆心坐标为，半径为1， 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条． 故本题选D. 【点睛】本题重点考查了圆与圆的位置关系的判定、公切线的条数．解决的方法就是利用圆的标准方程求出圆心坐标以及半径，比较圆心距与两圆半径和差的关系． 7. 在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构建空间直角坐标系，根据已知条件求AN与BM对应的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求AN与BM所成角的余弦值. 【详解】建立如下图所示的空间直角坐标系， ∴，，，， ∴，， ∴， 所以AN与BM所成角的余弦值为. 故选：D 8. 已知椭圆，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，得到斜率之间的关系从而转变为之间的等量关系，根据齐次式计算出对应的离心率. 【详解】因为，，所以， 所以，所以，所以， 所以，所以，所以. 故选：D. 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.（1）圆锥曲线中的垂直问题，可以转化为直线的斜率关系或者向量的数量积为零；（2）通过构造的齐次式求解离心率是一种常用方法. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ） A. 他只属于音乐小组的概率为 B. 他只属于英语小组的概率为 C. 他属于至少2个小组的概率为 D. 他属于不超过2个小组的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人，只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人，然后利用古典概型的概率公式逐个分析求解对应的概率即可 【详解】由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60人， 只属于数学､英语､音乐小组的人数分别为10，6，8人， 故只属于音乐小组的概率为， 只属于英语小组的概率为， “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况， 故他属于至少2个小组的概率为， “不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”， 其对立事件是“3个小组”.故他属于不超过2个小组的概率是. 故选：CD. 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 直线过定点 C. 过点斜率为的点斜式方程为 D. 斜率为，在y轴截距为3的直线方程为． 【答案】ABC 【解析】 【分析】 由直线过一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正确；由把直线方程化简为，得到点都满足方程，可判定B正确；由点斜式方程，可判定C正确；由斜截式直线方程可判定D错误． 【详解】对于A中，由直线过一、二、四象限，所以直线的斜率，截距， 故点在第二象限，所以A正确； 对于B中，由直线方程，整理得， 所以无论a取何值点都满足方程，所以B正确； 对于C中，由点斜式方程，可知过点斜率为的点斜式方程为，所以C正确； 由斜截式直线方程得到斜率为，在y轴上的截距为3的直线方程为， 所以D错误． 故选：ABC． 【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 动点C的轨迹方程为 C. 动点C到直线l的距离的最大值为 D. 若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设, 由题意求出点的轨迹以及轨迹方程, 利用直线与圆的位置关系, 依次判断四个选项即可. 【详解】对于A, 直线l：，，，直线l过定点，故选项A正确; 对于B,设,因为动点满足 ,所以 , 整理可得, 即,所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆, 动点的轨迹方程为,故选项B正确; 对于 C, 当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大, 且最大值为, 故选项C错误; 对于D, 记圆心到直线的距离为,则 ,因为 , 则 ,因为 ,所以 , 即 ,解得 , 故选项D正确. 故选: ABD. 12. 已知是椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，且，则（ ） A. 的周长为 B. C. 点到轴的距离为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断； B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断； C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断； D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断. 【详解】A．因为， 所以，故错误； B．因为，， 所以， 所以，所以，故正确； C．设点到轴的距离为， 所以，所以，故正确； D．因为，故正确； 故选：BCD. 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 过点作圆的切线l，求切线l的方程 _______ 【答案】 【解析】 【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 14. 已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线的距离为_______ 【答案】## 【解析】 【分析】应用向量法求余弦值，再由点线距离的向量求法求P到直线的距离. 【详解】由题设，所以， 则P到直线的距离为. 故答案为： 15. 高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，则该小组12名学生成绩的分位数是______． 【答案】92 【解析】 【分析】利用百分位数的计算公式进行计算. 【详解】从小到大排列数据为：61、67、73、74、76、82、82、87、90、94、97、98， 由，故选取第9个和第10个数的平均数作为分位数， 即，所以该小组12名学生成绩的分位数是. 故答案为：92. 16. 如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程. 【详解】由，，是相应半椭圆的焦点， 可得，，， 所以，，， 故所求周长为； 设， 联立直线与，得， 即点， 联立直线与，得， 即点，且不重合，即， 又为中点， 所以， 即，，整理可得，， 故答案为：，. 四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 : （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出椭圆方程，待定系数法求出，得到椭圆的标准方程； （2）分焦点位于x轴和轴两种情况，设出椭圆方程，求出，得到椭圆的标准方程. 【小问1详解】 由题意设椭圆的标准方程为， 由解得：. 所以椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意：当椭圆的焦点位于x轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为， 当椭圆的焦点位于轴上时，设椭圆的标准方程为， 故，故，此时椭圆的标准方程为. 综上所述：椭圆的标准方程为或. 18. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动. （1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程： （2）设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为，由于点B的坐标为，利用点P是线段AB的中点，求出，，通过点A在圆上运动，转化求解中点P的轨迹的方程即可； （2）将圆与圆的方程相减得，求出圆的圆心到直线的距离d，即可求解； 【小问1详解】 设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ， 于是有 ①， 因为点A在圆上运动，即： ②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． 【小问2详解】 将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 19. 设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点． （1）求实数b的取值范围； （2）当b＝1时，求|AB|． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用判别式可求出； （2）利用弦长公式可求出. 【小问1详解】 将代入，消去y并整理，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0．① 因为直线y＝x＋b与椭圆相交于A，B两个不同的点， 所以，解得． 所以b的取值范围为． 【小问2详解】 设，当b＝1时，方程①为3x2＋4x＝0． 解得．所以． 所以． 20. 饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程､丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人调查他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行深入调研，求这人中至少有人的成绩低于分的概率. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于列方程即可得的值，利用平均数的计算公式即可得平均分； （2）先根据分层抽样求出成绩低于分的有人，成绩位于区间的有人，求出基本事件的总数以及这人中至少有人的成绩低于分包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 根据频率分布直方图得到，解得. 这组样本数据的平均数为，所以. 【小问2详解】 根据频率分布直方图得到成绩在，内的频率分别为，， 所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的人， 成绩在内的有人，记为， 成绩在内的有人，分别记为，，，，， 从这人中随机抽取人，所有可能的结果为，，，，，， ，，，，，，，，，，，，，共种. 这人中至少有人的成绩在内的有，，，，，，，，，，共种. 所以这人中至少有人的成绩低于分的概率为. 21. 如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°. （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若二面角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离． 【答案】（1） 底面平面． ． 又平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据，可得平面． （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面，平面，平面的法向量，由条件求得，再求点A到平面的距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，取的中点E，易得三角形是正三角形，． 又底面平面，． 在中，所以， 可建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ． 设平面的一个法向量为，则 即令，得． 设平面的一个法向量为，则 即令，得． 所以，． 设平面的一个法向量为，， 则即令，得． ∴点A到平面的距离为． 22. 设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对圆周角为直角可知为直径，根据圆心坐标求得的值进而求得椭圆的方程.（2）由（1）求得点的坐标，设出直线的方程，同时得到直线的方程.联立直线的方程和椭圆方程，解出点的坐标，由此求得的表达式.通过直线的方程求得点的坐标，进而求得的表达式，利用得到，由此列方程解得的值，从而求得点的坐标. 【详解】解：（1）依题意知,, ∵△AOB为直角三角形，∴过A、O、B三点的圆的圆心为斜边AB的中点， ∴，即， ∴椭圆的方程为. （2）由（1）知，依题意知直线BN的斜率存在且小于0， 设直线BN的方程为， 则直线BM的方程为：， 由消去y得， 解得：，, ∴ ∴ , 在中，令得，即 ∴， 在Rt△MBN中，∵∠BMN=60°，∴, 即，整理得， 解得，∵，∴， ∴点M的坐标为. 【点睛】本题主要考查圆的几何性质，考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，属于较难的题目.圆的几何性质主要考查了直径所对的圆周角是直角.直线和椭圆的位置关系，主要是联立直线方程和椭圆方程，解出直线和椭圆交点的坐标.两条斜率存在的直线相互垂直时，斜率乘积为，这个必须熟记. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛带中学高二上期12月月考数学卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知点，点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知分别是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7 4. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在平行六面体中，AC与BD的交点为点M，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的公切线共有 A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 7. 在直三棱柱中，，M，N分别是，的中点，，则AN与BM所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 某学校成立了数学､英语､音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则（ ） A. 他只属于音乐小组的概率为 B. 他只属于英语小组的概率为 C. 他属于至少2个小组的概率为 D. 他属于不超过2个小组的概率为 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线经过第一、二、四象限，则在第二象限 B. 直线过定点 C. 过点斜率为的点斜式方程为 D. 斜率为，在y轴截距为3的直线方程为． 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 动点C的轨迹方程为 C. 动点C到直线l的距离的最大值为 D. 若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则 12. 已知是椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，且，则（ ） A. 的周长为 B. C. 点到轴的距离为 D. 三．填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 过点作圆的切线l，求切线l的方程 _______ 14. 已知空间直角坐标系中的点，，，则点P到直线的距离为_______ 15. 高一某班举行党史知识竞赛，其中12名学生的成绩分别是：82、74、76、90、94、82、87、73、61、67、97、98，则该小组12名学生成绩的分位数是______． 16. 如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______． 四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 求适合下列条件的椭圆的标准方程 : （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点，求它的标准方程 （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点； 18. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动. （1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程： （2）设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长． 19. 设直线y＝x＋b与椭圆＋y2＝1相交于A，B两个不同的点． （1）求实数b的取值范围； （2）当b＝1时，求|AB|． 20. 饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水.2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程､丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人调查他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行深入调研，求这人中至少有人的成绩低于分的概率. 21. 如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝1，∠BAD＝120°，∠ACB＝90°. （1）求证：BC⊥平面PAC； （2）若二面角的余弦值为，求点A到平面PBC的距离． 22. 设椭圆的右顶点为A，下顶点为B，过A、O、B（O为坐标原点）三点的圆的圆心坐标为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点M在x轴正半轴上，过点B作BM的垂线与椭圆交于另一点N，若∠BMN=60°，求点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $