常用逻辑用语课件-2025届高三数学一轮复习

第二节　常用逻辑用语 1. 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件、充分条件与充要条件 的意义，理解定义、判定定理、性质定理与充要条件、充分条件、 必要条件的关系. 2. 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 3. 能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 目 录 CONTENTS 1 2 3 知识 体系构建 课时 跟踪检测 考点 分类突破 3 PART 1 知识 体系构建 必备知识 系统梳理 基础重落实 课前自修 目录 1. “ ac 2＞ bc 2”是“ a ＞ b ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　由 ac 2＞ bc 2，则 c 2＞0，所以 a ＞ b ，即 ac 2＞ bc 2⇒ a ＞ b .反之，当 a ＞ b 时，若 c 2＝0，则 ac 2＝ bc 2，即 a ＞ b ⇒/ ac 2＞ bc 2，所以 ac 2＞ bc 2是 a ＞ b 的充分不必要条件. 2. 已知命题 p ：∀ x ∈R， sin x ≥0，则下列说法正确的是（　　） A. p 的否定是存在量词命题，且是真命题 B. p 的否定是全称量词命题，且是假命题 C. p 的否定是全称量词命题，且是真命题 D. p 的否定是存在量词命题，且是假命题 解析：　命题 p ：∀ x ∈R， sin x ≥0，该命题为假命题. p 的否定是 存在量词命题，且是真命题.故选A. 3. 若命题 p ：∀ x ≥0，e x ＋ x －2≥0，则命题 p 的否定为（　　） A. ∃ x ＜0，e x ＋ x －2＜0 B. ∃ x ≥0，e x ＋ x －2≥0 C. ∃ x ≥0，e x ＋ x －2＜0 D. ∃ x ＜0，e x ＋ x －2≥0 解析：　由全称量词命题的否定规则知，命题 p 的否定为∃ x ≥0， e x ＋ x －2＜0，故选C. 4. （2023·天津高考2题）“ a 2＝ b 2”是“ a 2＋ b 2＝2 ab ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 解析：　由 a 2＝ b 2，得 a ＝± b ，当 a ＝－ b 时， a 2＋ b 2≠2 ab .由 a 2＋ b 2＝2 ab ，得（ a － b ）2＝0，所以 a ＝ b .所以“ a 2＝ b 2”是 “ a 2＋ b 2＝2 ab ”的必要不充分条件.故选B. 5. （2024·安康中学模拟）使－2＜ x ＜2成立的一个充分条件是 ⁠ .（答案不唯一，写出一个即可） 解析：只要是{ x ｜－2＜ x ＜2}的一个子集都是使－2＜ x ＜2成立的 充分条件，如－2＜ x ＜2，或0＜ x ＜2等. 0＜ x ＜2（答案不唯一）　 1. 充分（必要、充要）条件与集合间的包含关系 设 A ＝{ x ｜ p （ x ）}， B ＝{ x ｜ q （ x ）}： （1）若 A ⊆ B ，则 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件； （2）若 A ⫋ B ，则 p 是 q 的充分不必要条件， q 是 p 的必要不充 分条件； （3）若 A ＝ B ，则 p 是 q 的充要条件. 2. 等价转化法判断充分条件、必要条件 p 是 q 的充分不必要条件，等价于􀱑 q 是􀱑 p 的充分不必要条件. 3. 命题 p 和􀱑 p 的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可 先判断此命题的否定的真假. 1. 命题“∃ x ∈R， x 2＋2 x ＋1＝0”的否定是 命题（填“真”或 “假”）. 解析：因为当 x ＝－1时，（－1）2＋2×（－1）＋1＝0，所以命题 “∃ x ∈R， x 2＋2 x ＋1＝0”为真命题，命题的否定是“∀ x ∈R， x 2 ＋2 x ＋1≠0”，由结论3知，此命题的否定是假命题. 假　 2. 已知命题 p ：｜ x ｜≤1， q ： x ＜ a ，若􀱑 q 是􀱑 p 的充分不必要条 件，则实数 a 的取值范围为 ⁠. 解析：由｜ x ｜≤1，即－1≤ x ≤1，由结论1、2知 p 是 q 的充分不 必要条件，所以 a ＞1. （1，＋∞）　 PART 2 考点 分类突破 精选考点 典例研析 技法重悟通 课堂演练 目录 全称量词命题与存在量词命题 考向1　含量词命题的否定及真假判定 【例1】　（1）设命题 p ：∃ n ∈N， n 2＞2 n ，则􀱑 p 为（　　） A. ∀ n ∈N， n 2＞2 n B. ∃ n ∈N， n 2≤2 n C. ∀ n ∈N， n 2≤2 n D. ∃ n ∈N， n 2＝2 n 解析：命题 p 为存在量词命题，故􀱑 p 是全称量词命题，即∀ n ∈N， n 2≤2 n ，故选C. （2）（多选）下列命题是真命题的是（　　） A. ∃ a ∈R，使函数 y ＝2 x ＋ a ·2－ x 在R上为偶函数 B. ∀ x ∈R，函数 y ＝ sin x ＋ cos x ＋ 的值恒为正数 C. ∃ x ∈R，2 x ＜ x 2 D. ∀ x ∈（0，＋∞）， ＞lo x 解析：当 a ＝1时， y ＝2 x ＋2－ x 为偶函数，故A为真命题； y ＝ sin x ＋ cos x ＋ sin ，当 sin ＝－1时， y ＝ 0，故B为假命题；当 x ∈（2，4）时，2 x ＜ x 2，故C为真命题； 当 x ＝ 时， ∈（0，1），lo ＝1，∴ ＜lo ，故 D为假命题. 解题技法 1. 对全称量词命题与存在量词命题进行否定的方法 （1）改写量词：全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称 量词； （2）否定结论：对于一般命题的否定只需直接否定结论即可. 2. 全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法 （1）全称量词命题：①要判定一个全称量词命题是真命题，必须 对限定的集合 M 中的每一个元素 x ，证明 p （ x ）成立；②要 判定一个全称量词命题是假命题，只要能举出集合 M 中的一 个特殊值 x ＝ x 0，使 p （ x 0）不成立即可. （2）存在量词命题：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在 限定的集合 M 中，找到一个 x ＝ x 0，使 p （ x 0）成立即可，否 则这一存在量词命题就是假命题. 考向2　由命题的真假求参数 【例2】　（2024·苏州一模）若“∃ x ∈（0，π）， sin 2 x － k sin x ＜ 0”为假命题，则 k 的取值范围为（　　） A. （－∞，－2] B. （－∞，2] C. （－∞，－2） D. （－∞，2） 解析：　依题意知命题“∃ x ∈（0，π）， sin 2 x － k sin x ＜0”为假 命题，则“∀ x ∈（0，π）， sin 2 x － k sin x ≥0”为真命题，所以2 sin x cos x ≥ k sin x ，则 k ≤2 cos x ，解得 k ≤－2，所以 k 的取值范围为 （－∞，－2]，故选A. 解题技法 由命题的真假求参数的策略 （1）巧用三个转化：①全称量词命题可转化为恒成立问题；②存在 量词命题可转化为存在性问题；③全称量词、存在量词命题假 可转化为它的否定命题真. （2）准确计算：通过解方程或不等式（组）求出参数的值或范围. 1. 已知命题 p ：∀ x ≥0，e x ≥1或 sin x ≤1，则􀱑 p 为（　　） A. ∃ x ＜0，e x ＜1且 sin x ＞1 B. ∃ x ＜0，e x ≥1或 sin x ≤1 C. ∃ x ≥0，e x ＜1或 sin x ＞1 D. ∃ x ≥0，e x ＜1且 sin x ＞1 解析：　命题 p ：∀ x ≥0，e x ≥1或 sin x ≤1，为全称量词命题， 则􀱑 p ：∃ x ≥0，e x ＜1且 sin x ＞1，故选D. 2. 若命题“∀ x ∈R， ax 2＋1≥0”为真命题，则实数 a 的取值范围为 （　　） A. a ＞0 B. a ≥0 C. a ≤0 D. a ≤1 解析：　依题意，命题“∀ x ∈R， ax 2＋1≥0”为真命题，则 ax 2 ＋1≥0在 x ∈R上恒成立.当 a ＝0时，1≥0成立，满足题意；当 a ＞0 时， ax 2＋1≥0成立，满足题意；当 a ＜0时，曲线 y ＝ ax 2＋1开口 向下， ax 2＋1≥0不恒成立.综上所述， a ≥0.故选B. 3. （多选）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（　　） A. 至少有一个实数 x ，使得 x 3＝1 B. 菱形的对角线互相垂直 C. ∀ x ∈R， x 2＋ x ＋ ＞0的否定 D. ∃ x ∈R，－ x 2＋ x －2≥0的否定 解析：　对于选项A，命题是存在量词命题，当 x ＝1时， x 3＝ 1，所以A中命题是真命题；对于选项B，命题是全称量词命题，不 满足题意；对于选项C，∀ x ∈R， x 2＋ x ＋ ＞0的否定为：∃ x ∈R， x 2＋ x ＋ ≤0，是存在量词命题， x 2＋ x ＋ ≥0，当 x ＝－ 时， x 2＋ x ＋ ＝0，所以C中命题是真命题；对于 选项D，∃ x ∈R，－ x 2＋ x －2≥0的否定是：∀ x ∈R，－ x 2＋ x －2 ＜0，是全称量词命题，不符合题意.故选A、C. 充分条件、必要条件的判定 【例3】　（1）（2024·济宁模拟）设 x ∈R，则“ x 2－5 x ＜0”是 “｜ x －1｜＜1”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：不等式 x 2－5 x ＜0的解集 A ＝{ x ｜0＜ x ＜5}，由｜ x －1｜＜1得－1＜ x －1＜1，其解集 B ＝{ x ｜0＜ x ＜2}，则集合 B 是 A 的真子集，所以“ x 2－5 x ＜0”是“｜ x －1｜＜1”的必要不充分条件，故选B. （2）设 a ， b 均为单位向量，则“｜ a －3 b ｜＝｜3 a ＋ b ｜”是“ a ⊥ b ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：由｜ a －3 b ｜＝｜3 a ＋ b ｜，得（ a －3 b ）2＝（3 a ＋ b ）2，即 a 2＋9 b 2－6 a · b ＝9 a 2＋ b 2＋6 a · b .又 a ， b 均为单位向量，所以 a 2＝ b 2＝1，所以 a · b ＝0，能推出 a ⊥ b .由 a ⊥ b 得｜ a －3 b ｜＝ ，｜3 a ＋ b ｜＝ ，能推出｜ a － 3 b ｜＝｜3 a ＋ b ｜.所以“｜ a －3 b ｜＝｜3 a ＋ b ｜”是 “ a ⊥ b ”的充要条件.故选C. 解题技法 充分条件、必要条件的两种判定方法 （1）定义法：根据 p ⇒ q ， q ⇒ p 进行判断，适用于定义、定理判断性 问题； （2）集合法：根据 p ， q 对应的集合之间的包含关系进行判断，多适 用于条件中涉及参数范围的推断问题. 1. 在△ ABC 中，“ AB 2＋ BC 2＝ AC 2”是“△ ABC 为直角三角形”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　在△ ABC 中，若 AB 2＋ BC 2＝ AC 2，则 B ＝90°，即△ ABC 为直角三角形，若△ ABC 为直角三角形，推不出 B ＝90°，所以 AB 2＋ BC 2＝ AC 2不一定成立，综上“ AB 2＋ BC 2＝ AC 2”是“△ ABC 为直角三角形”的充分不必要条件. 2. （2021·全国甲卷7题）等比数列{ an }的公比为 q ，前 n 项和为 Sn .设 甲： q ＞0，乙：{ Sn }是递增数列，则（　　） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：　当 a 1＜0， q ＞0时， an ＝ a 1 qn －1＜0，此时数列{ Sn }递 减，所以甲不是乙的充分条件.当数列{ Sn }递增时，有 Sn ＋1－ Sn ＝ an ＋1＝ a 1 qn ＞0，若 a 1＞0，则 qn ＞0（ n ∈N*），即 q ＞0；若 a 1＜ 0，则 qn ＜0（ n ∈N*），不存在.所以甲是乙的必要条件. 充分条件、必要条件的探求与应用 【例4】　（1）下列使“｜ x －1｜＜1”成立的必要不充分条件是 （　　） A. － ＜ x ＜1 B. － ＜ x ＜4 C. －3＜ x ＜ D. － ＜ x ＜0 解析：｜ x －1｜＜1⇔－1＜ x －1＜1⇔0＜ x ＜2，分析各选项，只有B是必要不充分条件，故选B. （2）已知 P ＝{ x ｜ x 2－8 x －20≤0}，非空集合 S ＝{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m }.若 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，则 m 的取值范围 为 ⁠. 答案：（2）由 x 2－8 x －20≤0，得－2≤ x ≤10，∴ P ＝{ x ｜－2≤ x ≤10}.∵ x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，则 S ⊆ P ， ∴解得0≤ m ≤3，故0≤ m ≤3时， x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件. [0，3]　 解析：由 x 2－8 x －20≤0，得－2≤ x ≤10，∴ P ＝{ x ｜－2≤ x ≤10}.∵ x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件，则 S ⊆ P ， ∴解得0≤ m ≤3，故0≤ m ≤3时， x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件. 　（变条件）本例（2）中条件“若 x ∈ P 是 x ∈ S 的必要条件” 变为“ x ∈ P 是 x ∈ S 的充分不必要条件”，其他条件不变，则 实数 m 的取值范围为 ⁠. 解析：由例（2）知 P ＝{ x ｜－2≤ x ≤10}.∵ x ∈ P 是 x ∈ S 的充分不必要条件，∴ P ⫋ S . ∴[－2，10]⫋[1－ m ，1＋ m ].∴∴ m ≥9，则 m 的取值 范围是[9，＋∞）. [9，＋∞）　 解题技法 1. 探求充分条件、必要条件的方法 （1）寻求 q 的充分条件 p ，即求使 q 成立的条件 p ，即 p ⊆ q ； （2）寻求 q 的必要条件 p ，即求以 q 为条件可推出的结论 p ，即 q ⊆ p ； （3）寻求 q 的充要条件 p ，即寻求使 q 成立的条件 p （ p ⇒ q ），同 时又要寻求以 q 为条件可推出 p 成立（ q ⇒ p ），即 p ＝ q . 2. 应用充分、必要条件求解参数范围的方法 （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系， 然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（不等式 组）求解； （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求 解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号取决于端点值 的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. 1. （多选）使 ≥1成立的一个充分不必要条件是（　　） A. 0＜ x ＜1 B. 0＜ x ＜2 C. x ＜2 D. 0＜ x ≤2 解析：　由 ≥1得0＜ x ≤2，依题意由选项组成的集合是（0， 2]的真子集，故选A、B. 2. 设 p ：ln（2 x －1）≤0， q ：（ x － a ）[ x －（ a ＋1）]≤0，若 q 是 p 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围是 ⁠. 解析： p 对应的集合 A ＝{ x ｜ y ＝ln（2 x －1）≤0}＝{ x ｜ ＜ x ≤1}， q 对应的集合 B ＝{ x ｜（ x － a ）[ x －（ a ＋1）]≤0}＝ { x ｜ a ≤ x ≤ a ＋1}.由 q 是 p 的必要不充分条件，知 A ⫋ B . 所以 a ≤ 且 a ＋1≥1，因此0≤ a ≤ . ［0， ］　 PART 3 课时 跟踪检测 关键能力 分层施练 素养重提升 课后练习 目录 1. （2024·开封模拟）命题“∀ x ∈R， x ＋｜ x ｜≥0”的否定为 （　　） A. ∀ x ∈R， x ＋｜ x ｜＜0 B. ∀ x ∈R， x ＋｜ x ｜≠0 C. ∃ x ∈R， x ＋｜ x ｜＜0 D. ∃ x ∈R， x ＋｜ x ｜≥0 解析：　根据全称量词命题的否定是存在量词命题，知命题 “∀ x ∈R， x ＋｜ x ｜≥0”的否定为“∃ x ∈R， x ＋｜ x ｜＜ 0”，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. “ xy ＝0”是“ x 2＋ y 2＝0”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若 xy ＝0，如 x ＝0， y ＝1，则 x 2＋ y 2≠0，故充分性不成 立；若 x 2＋ y 2＝0，则 x ＝ y ＝0，则 xy ＝0，故必要性成立，所以 “ xy ＝0”是“ x 2＋ y 2＝0”的必要不充分条件.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 已知向量 a ＝（ m 2，－9）， b ＝（1，－1），则“ m ＝－3”是 “ a ∥ b ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　若 m ＝－3，则 a ＝（9，－9）＝9 b ，所以 a ∥ b ；若 a ∥ b ，则 m 2×（－1）－（－9）×1＝0，解得 m ＝±3，所以“ m ＝ －3”是“ a ∥ b ”的充分不必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4. （2023·北京高考8题）若 xy ≠0，则“ x ＋ y ＝0”是“ ＝－ 2”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：　充分性：因为 xy ≠0，且 x ＋ y ＝0，所以 x ＝－ y ，所以 ＝－1－1＝－2.必要性：因为 xy ≠0，且 ＝－ 2，所以 x 2＋ y 2＝－2 xy ，即 x 2＋ y 2＋2 xy ＝0，即（ x ＋ y ）2＝0， 所以 x ＋ y ＝0.所以“ x ＋ y ＝0”是“ ＝－2”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. （多选）下列命题中是真命题有（　　） A. ∀ x ∈R， x 2≥0 B. ∀ x ∈R，2 x －1＞0 C. ∃ x ∈R，lg x ＜1 D. ∃ x ∈（0，＋∞），（ ） x ＜（ ） x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：　对于A， y ＝ x 2≥0恒成立，所以∀ x ∈R， x 2≥0，所 以A正确；对于B， y ＝2 x ＞0，所以∀ x ∈R，2 x －1＞0，所以B正 确；对于C， x ＝1，lg x ＝0＜1，所以∃ x ∈R，lg x ＜1，所以C正 确；对于D，因为∀ x ∈（0，＋∞），（ ） x ＜（ ） x ，所以D错 误，故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. （多选）（2024·南京一模）下列命题正确的是（　　） A. “ a ＞1”是“ a 2＞1”的充分不必要条件 B. “ M ＞ N ”是“lg M ＞lg N ”的必要不充分条件 C. 命题“∀ x ∈R， x 2＋1＜0”的否定是“∃ x ∈R，使得 x 2＋1＜0” D. 设函数 f （ x ）的导数为f'（ x ），则“f'（ x 0）＝0”是“ f （ x ）在 x ＝ x 0处取得极值”的充要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：　A选项中， a ＞1⇒ a 2＞1，但 a 2＞1⇒ a ＞1或 a ＜－1， 故A正确；B选项中，当 M ＞ N ＞0时有lg M ＞lg N ，而lg M ＞lg N 必有 M ＞ N ＞0，故B正确；C选项中，命题的否定为“∃ x ∈R，使 得 x 2＋1≥0”，故C错误；D选项中，f'（ x 0）＝0不一定有 f （ x ） 在 x ＝ x 0处取得极值，而 f （ x ）在 x ＝ x 0处取得极值则f'（ x 0）＝ 0，故D错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 已知命题 p ：∀ x ∈R， x 2－ a ≥0；命题 q ：∃ x ∈R， x 2＋2 ax ＋2－ a ＝0.若命题 p ， q 都是真命题，则实数 a 的取值范围为 ⁠ ⁠. 解析：由命题 p 为真，得 a ≤0；由命题 q 为真，得Δ＝4 a 2－4（2－ a ）≥0，即 a ≤－2或 a ≥1，所以 a ≤－2. （－∞，－ 2]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8. 已知 a ＞0， b ＞0， a ＋2 b ＝1，请写出使得“ m ＜ ”恒 成立的一个充分不必要条件 .（用含 m 的 式子作答） m ＜7（答案不唯一　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：由题意可知 a ＞0， b ＞0，故 ＝（ ）·（ a ＋2 b ） ＝4＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 a ＝2 b ，即 a ＝ ， b ＝ 时取等号，所以 ≥8恒成立，若 m ＜ 恒成立，则 m ＜8.故 使得“ m ＜ ”恒成立的一个充分不必要条件为 m ＜7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 命题“∀ x ∈R，∃ n ∈N*，使得 n ≤ x 2”的否定形式是（　　） A. ∀ x ∈R，∃ n ∈N*，使得 n ＞ x 2 B. ∀ x ∈R，∀ n ∈N*，使得 n ＞ x 2 C. ∃ x ∈R，∃ n ∈N*，使得 n ＞ x 2 D. ∃ x ∈R，∀ n ∈N*，使得 n ＞ x 2 解析：　∀改写为∃，∃改写为∀， n ≤ x 2的否定是 n ＞ x 2，则该命 题的否定形式为“∃ x ∈R，∀ n ∈N*，使得 n ＞ x 2”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10. 在△ ABC 中，“ A ＞ B ”是“ cos A ＜ cos B ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：　因为 A ， B 是△ ABC 的内角，且 A ＞ B ，所以0＜ B ＜ A ＜π，因为 y ＝ cos x 在（0，π）上单调递减，所以 cos A ＜ cos B ， 故充分性成立；反之， y ＝ cos x 在（0，π）上单调递减，0＜ A ＜ π，0＜ B ＜π，若 cos A ＜ cos B ，则 A ＞ B ，故必要性成立，所以 在△ ABC 中，“ A ＞ B ”是“ cos A ＜ cos B ”的充要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的必要不充分条件的一个电路图是（　　） 解析：　选项A：“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的充分不必要 条件；选项B：“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的充要条件；选项 C：“开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的必要不充分条件；选项D： “开关 A 闭合”是“灯泡 B 亮”的既不充分也不必要条件.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12. 若命题“∃ x ∈（－1，3）， x 2－2 x － a ≤0”为真命题，则实数 a 可取的最小整数值是（　　） A. －1 B. 0 C. 1 D. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：　由题意，∃ x ∈（－1，3）， a ≥ x 2－2 x ，令 h （ x ）＝ x 2－2 x ，则当 x ∈（－1，3）时， a ≥ h （ x ）有解，即 a ≥ h （ x ）min（ x ∈（－1，3））.因为函数 h （ x ）＝ x 2－2 x 在（－ 1，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以 h （ x ）在（－ 1，3）上的最小值为 h （1）＝1－2＝－1，所以 a ≥－1.所以实数 a 可取的最小整数值是－1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. （多选）（2024·临沂模拟）下列四个条件中，能成为 x ＞ y 的充分 不必要条件的是（　　） A. x ＋1＞ y ＋2 B. ＜0 C. ｜ x ｜＞｜ y ｜ D. （ ） x ＜（ ） y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析： 　对于 A ，由x＋1＞y＋2⇒x＞y＋1⇒x＞y，但由x＞ y⇒/x＞ y ＋1，故A正确；对于B，由 ＜0⇒ y ＜ x ＜0，但 x ＞ y ⇒/ ＜0，故B正确；对于C，由｜ x ｜＞｜ y ｜可得 x 2＞ y 2， 则（ x ＋ y ）（ x － y ）＞0，不能推出 x ＞ y ；由 x ＞ y 也不能推 出｜ x ｜＞｜ y ｜，所以“｜ x ｜＞｜ y ｜”是“ x ＞ y ”的既不充 分也不必要条件，故C错误；对于D，（ ） x ＜（ ） y ⇒ x ＞ y ， x ＞ y ⇒（ ） x ＜（ ） y ，故“（ ） x ＜（ ） y ”是“ x ＞ y ”的充 要条件，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 已知 p ：实数 m 满足3 a ＜ m ＜4 a （ a ＞0）， q ：方程 ＝1表示焦点在 y 轴上的椭圆，若 p 是 q 的充分条件，则 a 的取值范 围是 ⁠. 解析：由2－ m ＞ m －1＞0，得1＜ m ＜ ，即 q ：1＜ m ＜ .因为 p 是 q 的充分条件，所以解得 ≤ a ≤ . ［ ］　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 已知函数 f （ x ）＝ （ x ≥2）， g （ x ）＝ ax （ a ＞1）. （1）若∃ x ∈[2，＋∞），使 f （ x ）＝ m 成立，则实数 m 的取值 范围为 ⁠； 解析：f （ x ）＝ ＝ x ＋ ＝ x －1＋ ＋1≥2 ＋1＝3，当且仅当 x ＝2时等号成立.若∃ x ∈[2，＋∞），使 f （ x ）＝ m 成立，则实数 m 的取值范围为[3，＋∞）. [3，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 （2）若∀ x 1∈[2，＋∞），∃ x 2∈[2，＋∞），使得 f （ x 1）＝ g （ x 2），则实数 a 的取值范围为 ⁠. （1， ]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 感 谢 观 看! $$