精品解析：浙江省宁波市余姚市兰江中学2023-2024学年八年级下学期5月月考数学试题

2023学年第二学期八年级学科竞赛数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10题；共30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：二次根式的被开方式中不含分母，并且不含有能开得尽方的因式，进行判断即可． 【详解】解：、，不是最简二次根式，不符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意； 、是最简二次根式，符合题意； 、，不是最简二次根式，不符合题意． 故选：C． 2. 已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，将方程的根代入原方程是解题的关键． 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意； 故选：D． 4. 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙、丙、丁四种水稻进行产量稳定实验，各选取了6块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，四种水稻的平均产量及方差如下： 水稻 甲 乙 丙 丁 平均产量x（千克/亩） 1200 1100 1200 1100 方差 186.9 325.3 325.3 186.9 为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查方差和平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 根据方差和平均数的意义求解即可． 【详解】∵， ∴甲品种和丁品种的产量最稳定 ∵ ∴甲品种的平均产量最高， ∴为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为甲． 故选：A． 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由题意得出反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小，结合，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，随着的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）＝1056 B. x（x﹣1）＝1056×2 C. x（x﹣1）＝1056 D. 2x（x+1）＝1056 【答案】C 【解析】 【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x-1）张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是x（x-1）张，即可列出方程． 【详解】解：∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出（x-1）张； 又∵是互送照片， ∴总共送的张数应该是x（x-1）=1056． 故选C． 【点睛】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 7. 如图，P是反比例函数图象上第二象限内一点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是（　　） A. y=- B. y=﹣ C. y= D. y= 【答案】A 【解析】 【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S=|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：由图象上的点所构成的矩形PEOF的面积为3可知， S=|k|=3，k=±3． 又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0， 则k=-3，所以反比例函数的解析式为y=-， 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 8. 如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（ ） A. 11 B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短；作点关于的对称点，连接，，则：，再根据，进行求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，则， ∴， 又∵， ∴当四点共线时，的值最小为， ∵矩形， ∴， ∴， ∴的值最小为； 故选A． 9. 如图，F是菱形的边的中点，与相交于E，于G，已知，则下列结论：①；②；③：④其中正确的结论是　　 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通，难度一般．证可得；证明，则，证明；由可证，连接，易证，则，得到；同理，可证，可得， 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴，， 又∵F是菱形的边的中点， ∴, ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 连接， ∵ ∴ ∴ ∴ 同理，可证， ∴ ∴, 综合上述，①②③正确 故选：A 10. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形的性质，完全平方公式，解题的关键是证明 ，得到四边形的面积的面积，得出空白部分的面积正方形的面积的面积，①，，②，由①和②得，即可得出答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， 的面积的面积， 四边形的面积的面积， 空白部分的面积正方形的面积的面积， ①， ， ， ， ， ②， 由①和②得， （舍去负值）． 故选：D． 二、填空题（共6题；共24分） 11. 式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负，分式的分母不等于零，列式计算即可，熟练掌握二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件是解此题的关键． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12. 用反证法证明“如果，那么．”是真命题时，第一步应先假设________ ． 【答案】a≥0 【解析】 【分析】用反正法证明命题应先假设结论的反面成立，本题结论的反面应是. 【详解】解： “如果，那么．”是真命题时 ,用反证法证明第一步应假设. 故答案为 【点睛】本题考查了反证法，熟练掌握反证法的证明步骤是解题的关键. 13. 已知数据的平均数是2，方差是3，则一组新数据的平均数是__________，方差是___________． 【答案】 ①. 10 ②. 3 【解析】 【分析】由题意根据平均数的变化规律可得出数据的平均数是3；根据数据的方差为3，即可求出的方差是3． 【详解】解：∵的平均数是2， ∴的平均数是2+8=10； ∵的方差是3， ∴的方差是3： 故答案为：10，3． 【点睛】本题考查方差与平均数，注意掌握若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变． 14. 若，则=________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性求x，再得到y，然后计算 【详解】根据二次根式的定义，，，所以x＝4， 则y＝2. 所以＝16. 故答案为16. 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，一对相反数同时为二次根式的被开方数，那么被开方数为0． 15. 若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为 _________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．利用a，b是方程的两个实数根，可得，即可求出答案． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：2028． 16. 如图，已知菱形的对角线的中点与坐标原点重合，交轴于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，且，的面积为6，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接,则，设点,，求得,代入函数解析式求得的关系,再根据三角形的面积等于6，即可求得； 【详解】连接， 四边形是菱形 点到的距离为 反比例函数的图象经过点 设点, , 在反比例函数图像上 解得: 故答案为：； 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的性质，通过分析得出是解题的关键． 三、解答题（66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的计算， （1）根据先将二次根式化简，再计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， 解得． 19. 如图，在平面直角坐标系中，、、，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： （1）线段的长为______； （2）画线段，使，且，则点的坐标为______； （3）连接，四边形是______；（填“矩形”或“菱形”） （4）在线段上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． 【答案】（1）； （2），； （3）菱形； （4） 解：如图所示，在图上取格点、、，使，，，，连接、、、、，连接交于点． 由图可知，，，，, 则在和中， ∴≌， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故点即为所求． 【解析】 【分析】利用网格根据勾股定理即可解决问题； 根据网格线的特点作图； 根据四条边相等的四边形是菱形进行判定； 通过证明≌，构造等腰直角三角形，连接交于点，则． 【小问1详解】 解：线段的长为：， 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ，、， 的坐标为； 【小问3详解】 解：∵，且； ∴四边形是平行四边形， 又由（1）知，， ∴ 又， ， 四边形为菱形， 故答案为：菱形； 【小问4详解】 略 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了复杂作图，菱形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，掌握勾股定理和菱形的判定定理以及等腰直角三角形的判定与性质是解题的关键． 20. 2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1200名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）补全上面不完整的条形统计图． （2）直接写出这些学生成绩的中位数和众数． （3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1200名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是多少？ 【答案】（1） 补充条形统计图如下： （2）中位数为96,众数为98 （3）540名 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和众数等，由样本所占百分比求总体数量，解题的关键是理解题意，结合图形求解． （1）结合图形求出被抽查的学生总数：（人），再利用分数为94分的人数所占比为：，求出分数为94分的人数为：人，补充条形统计图； （2）结合图形找出中位数所在的组别即可；观察出现频次最多的组别即为众数； （3）求出98分以上的学生所占的百分比，再乘以1200即可． 【小问1详解】 解：由图象可知：分数为92分的人数为：6，其所占比为：． ∴随机被抽查的学生总数：（人）， ∵分数为94分的人数所占比为：． ∴分数为94分的人数为：人； 【小问2详解】 这60名学生成绩从大到小排列后处于中间的两个数为第30、31个，分别为96，96， ∴中位数为， 由（1）中的条形统计图可知出现次数最多的分数是98分， ∴众数为98． 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计全校1200名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是540名． 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求线段的长． （3）直接写出上的解集． 【答案】（1）反比例函数为，一次函数为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意可知、的纵坐标为1，即可求得，，即可求解． （3）根据反比例函数与一次函数的图象交于点，利用图象法求解即可． 【小问1详解】 解：反比例函数与一次函数的图象交于点， ，， ，， 反比例函数为，一次函数为； 【小问2详解】 解：轴于点， 轴， ， 、的纵坐标为1， 把代入，得， 把代入，得， ，， ． 【小问3详解】 解：由图象可得的解集为：． 22. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【解析】 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，根据月销售利润=每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该品牌头盔的实际售价应定为y元/个， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个． 【点睛】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． 23. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______． （2）如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． （3）在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 【答案】（1） （2）成立， 证明如下： 如图：接， ， ， ， ，即， ； （3）或 【解析】 【分析】(1)根据四边形是“等对角四边形”得出，再根据四边形内角和定理求出即可； (2)连接，根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定即可证得； (3)分两种情况：①当时，延长，相交于点E，先由含角的直角三角形的性质求出，得出，再用三角函数求出，由勾股定理求出即可； ②当时，过点D作于点M，于点N，则，四边形是矩形，先求出、，再由矩形的性质得出，，求出、，根据勾股定理求出即可． 【小问1详解】 解：四边形是“等对角四边形”，，，， ， 故答案为： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图：当时，延长，相交于点E， ，， ， ， ， ， ， ， ； ②如图：当时，过点D作于点M，于点N， 则，四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是(3)中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果． 24. 如图，四边形为菱形，．，，． （1）点坐标为______； （2）如图2，点在线段上运动，为等边三角形． ①求证：，并求的最小值； ②点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标．若变化，请说明理由． 【答案】（1） （2） ①证明：如图，设交于J． ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴ ②不变，点F的横坐标为． 【解析】 【分析】（1）先求出，，再由菱形的性质得到，则； （2）①设交于J，由菱形的性质结合题意易证，都是等边三角形，即得出，从而可证．再结合，即可证，得出，即说明当时，的值最小．最后结合含30度角的直角三角形的性质求解即可； ②过点F作于H．由全等的性质可得，即易证，得出，即说明点F的横坐标为，不变． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ①当时，的值最小． ∵， ∴， ∴ ∴的最小值为． ②点F的横坐标不变，理由如下： 如图，过点F作于H． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴点F的横坐标为，不变． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，综合性强．正确作出辅助线是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023学年第二学期八年级学科竞赛数学试题卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共10题；共30分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是关于x的一元二次方程的一个解，则a的值为（ ） A. 0 B. C. 1 D. 2 3. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他的团队对甲、乙、丙、丁四种水稻进行产量稳定实验，各选取了6块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，四种水稻的平均产量及方差如下： 水稻 甲 乙 丙 丁 平均产量x（千克/亩） 1200 1100 1200 1100 方差 186.9 325.3 325.3 186.9 为得到较高产量的水稻，且保证产量稳定，则适合推广的品种为（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A. x（x+1）＝1056 B. x（x﹣1）＝1056×2 C. x（x﹣1）＝1056 D. 2x（x+1）＝1056 7. 如图，P是反比例函数图象上第二象限内一点，若矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的解析式是（　　） A. y=- B. y=﹣ C. y= D. y= 8. 如图，矩形中，，，点P为平面内一点，且，点Q为CD上一个动点，则的最小值为（ ） A. 11 B. C. D. 13 9. 如图，F是菱形的边的中点，与相交于E，于G，已知，则下列结论：①；②；③：④其中正确的结论是　　 A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 10. 如图，在中，，以的各边为边作三个正方形，点落在上，若，空白部分面积为13，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6题；共24分） 11. 式子在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______________． 12. 用反证法证明“如果，那么．”是真命题时，第一步应先假设________ ． 13. 已知数据的平均数是2，方差是3，则一组新数据的平均数是__________，方差是___________． 14. 若，则=________. 15. 若a，b是方程的两个实数根，则代数式的值为 _________． 16. 如图，已知菱形的对角线的中点与坐标原点重合，交轴于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，且，的面积为6，则的值为______． 三、解答题（66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，、、，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题： （1）线段的长为______； （2）画线段，使，且，则点的坐标为______； （3）连接，四边形是______；（填“矩形”或“菱形”） （4）在线段上找一点，使（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． 20. 2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1200名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）补全上面不完整的条形统计图． （2）直接写出这些学生成绩的中位数和众数． （3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校1200名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是多少？ 21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B，C． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求线段的长． （3）直接写出上的解集． 22. 解决问题：邓州公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，经市场预测，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 23. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”． （1）如图1，若四边形是“等对角四边形”，，，，则的度数为______． （2）如图2，“等对角四边形”，已知：，，你认为成立吗？若成立，请你证明此结论，若不成立，请说明理由． （3）在“等对角四边形”中，，，，．求对角线的长． 24. 如图，四边形为菱形，．，，． （1）点坐标为______； （2）如图2，点在线段上运动，为等边三角形． ①求证：，并求的最小值； ②点在线段上运动时，点的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点的横坐标．若变化，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $