第02讲 1.1.2空间向量的数量积运算（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算 课程标准 学习目标 ①会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 【即学即练1】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练2】（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 知识点03：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 【典例1】（23-24高二上·陕西渭南·期末）在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 【典例3】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【变式1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ． 【变式2】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求． 【变式3】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二下·四川资阳·开学考试）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【典例4】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，点是棱的中点，则的最大值为 ． 【变式1】（23-24高二上·山东·阶段练习）在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8，，∠BCD＝45°．若E，F是四面体ABCD外接球表面上的两点，且，则的最大值为（    ） A．32 B．28 C．21 D．16 【变式2】（多选）（23-24高二上·宁夏·期中）正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（    ） A． B． C． D．2 【变式3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 . 【变式4】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 题型03利用数量积求夹角 【典例1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【典例2】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【变式1】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【变式2】（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 【变式3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 题型04空间向量的投影（投影向量） 【典例1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【变式2】（23-24高二上·江西·阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    题型05空间向量中的模（距离，长度） 【典例1】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，． (1)，，求的最小值； 【典例3】（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； 【典例4】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【变式1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ． 【变式4】（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 题型06利用数量积证明垂直问题 【典例1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【典例2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【变式1】（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【变式2】（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°.    （1）求AC1的长; （2）证明:AC1⊥BD． 题型07重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值） 【典例1】（23-24高二下·山西运城·阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（    ） A．2 B．3 C．1 D．0 【典例2】（23-24高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）平行六面体中，，，则的长为（ ） A．10 B． C． D． 4．（23-24高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·辽宁营口·期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 6．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 7．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，若，则为（    ）    A．1 B． C． D． 8．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知平行六面体中，，与的交点为，，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高二上·广东广州·期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 12．（23-24高二上·山西吕梁·期中）在四面体中，，，，，则 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 14．（23-24高二上·四川遂宁·期中）如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 (1)求证：，，为共面向量； (2)求与平面所成角的正弦值. B能力提升 1．（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 3．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 4．（23-24高三上·云南玉溪·阶段练习）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），． （1）求证：平面； （2）设与平面所成角为，求的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 1.1.2 空间向量的数量积运算 课程标准 学习目标 ①会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1、掌握空间向量的夹角的概念，培养数学抽象的核心素养． 2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律，提升数学抽象的核心素养． 3、了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 4、能用空间向量的数量积解决立体几何中的垂直、夹角、长度等问题，强化数学运算的核心素养. 知识点01：空间两个向量的夹角 1、定义：如图已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则么叫做向量的夹角，记.（特别注意向量找夹角口诀：共起点找夹角） 2、范围：． 特别地，（1）如果，那么向量互相垂直，记作． (2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为，故(或)(为非零向量)． (3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定与任何向量都是共线的，即．两非零向量的夹角是唯一确定的． 3、拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别） 若两个向量所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为， (1)向量夹角的范围是0<<><，异面直线的夹角的范围是0<<， (2)当两向量的夹角为锐角时，；当两向量的夹角为时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，. 【即学即练1】（23-24高二上·四川南充·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）表达出，平方后，结合数量积运算法则计算出，求出的长为； （2）计算出，，从而利用向量的夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由题意知：，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即的长为， （2）∵， ∴， ∴， ， ∴， 即与夹角的余弦值为． 知识点02：空间向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量，，则叫做，的数量积，记作；即．规定：零向量与任何向量的数量积都为0. 特别提醒：两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零; 2、空间向量数量积的应用 (1)利用公式可以解决空间中有关距离或长度的问题; (2)利用公式可以解决两向量夹角,特别是两异面直线夹角的问题; 3、向量的投影 3.1．如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))． 3.2．如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到，向量称为向量在平面上的投影向量．这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角． 4、空间向量数量积的几何意义：向量，的数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积或等于的长度与在方向上的投影的乘积. 5、数量积的运算： （1），. （2）(交换律)． （3）(分配律). 【即学即练2】（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据向量数量积定义计算即可. 【详解】 在棱长为2的正方体中, 易知， 因为，与的夹角为， 所以与的夹角为， . 故选：D 知识点03：空间向量数量积的性质 （1） （2）若与同向，则；若与反向，则．特别地，． （3）. 题型01空间向量的数量积（求空间向量的数量积） 【典例1】（23-24高二上·陕西渭南·期末）在正四面体中，棱长为1，且D为棱的中点，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正四面体中，由中点性质可得，则可代换为，由向量的数量积公式即可求解. 【详解】 如图，因为D为棱的中点，所以， ， 由正四面体得性质，与的夹角为60°，同理与的夹角为60°，，， 故， 故选：D. 【典例2】（2024高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ． 【答案】/-0.25 【分析】得到，利用向量数量积公式求出答案. 【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点， 所以， 故 故答案为： 【典例3】（23-24高二下·江苏·课前预习）已知正四面体的棱长为1，如图所示. (1)确定向量在直线上的投影向量，并求·； (2)确定向量在平面上的投影向量，并求. 【答案】(1)投影向量见解析， (2)投影向量见解析， 【分析】（1）（2）利用投影向量的定义及空间垂直关系确定投影向量，再求数量积. 【详解】（1）在正四面体OABC中，取OB的中点P，连接，则有， 因此即为在直线上的投影向量. 所以· （2）在正四面体中，设O在底面内的投影为Q，易知Q为底面中心，则平面, 连接并延长交于M，则M为中点，， 且即为平面内的投影向量. ∴ 【变式1】（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ． 【答案】13 【分析】利用向量数量积运算律即可求得的值. 【详解】空间向量的夹角为， 则. 故答案为：13 【变式2】（23-24高二下·江苏·课后作业）如图，在棱长为1的正方体中，为棱上任意一点．试确定向量在直线上的投影向量，并求． 【答案】，1 【分析】根据投影向量和数量积的定义求解即可． 【详解】在正方体中，，且， 因此，即为在直线上的投影向量， 所以． 【变式3】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求： (1)·； (2)·； (3)·. 【答案】(1)1 (2)2 (3)0 【分析】分别将，，转化为，，后根据数量积定义计算即可. 【详解】（1）在正四面体ABCD中， （2） （3） 在正四面体ABCD中，， 故 题型02空间向量的数量积（空间向量的数量积的最值或范围） 【典例1】（2024·全国·模拟预测）已知圆锥的底面半径为2，点P为底面圆周上任意一点，点Q为侧面（异于顶点和底面圆周）上任意一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】 如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：A 【典例2】（23-24高二下·四川资阳·开学考试）如图，已知正方体的棱长为，点是四边形的内切圆上一点，为四边形的中心，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 运用向量加法、相等向量将与分别表示为，，代入数量积运算即可. 【详解】由题意知，， 设正方形的中心为，连接、、，如图所示， 则，，，面，面， ∴， ∴，， 又∵，， ∴ ∵， ∴当时， ， ∴. 故选：C. 【典例3】（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）在三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】设，，根据向量的线性运算将用已知向量表示，再利用数量积运算得到的表达式，利用二次函数求出最小值. 【详解】如图，设，， 在中，， ，当且仅当时，等号成立. 故答案为：. 【典例4】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知是棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，点是棱的中点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】 由题意得，求出在上的投影加上在上的投影得最大值即可. 【详解】因为点是棱的中点，所以， 则 而表示在上的投影， 表示在上的投影， 当点在棱上时，表示在上的投影取得最大值， 表示在上的投影也取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·山东·阶段练习）在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，AB＝8，，∠BCD＝45°．若E，F是四面体ABCD外接球表面上的两点，且，则的最大值为（    ） A．32 B．28 C．21 D．16 【答案】B 【分析】分析出球心的位置，结合球的几何性质、向量运算求得的最大值. 【详解】由于平面，平面， 所以， 由于，， 所以三角形是等腰直角三角形，且， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 设是的中点，根据直角三角形的性质可知， 所以是四面体外接球的球心. ， 所以外接球的半径为. 设是的中点，则，， 所以， ， 设， 所以 ， 所以当时，取得最大值为. 故选：B 【变式2】（多选）（23-24高二上·宁夏·期中）正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】BC 【分析】利用基底法结合数量积公式计算即可. 【详解】以为基底，分别记为，易知， 设， 则. 易知BC符合题意. 故选：BC 【变式3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用向量的四则运算可得，再根据数量积的公式和运算律求解即可. 【详解】由题意可得点在以为球心，为半径的球上， 所以 ， 因为，所以， 所以，所以的最小值为， 故答案为： 【变式4】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】   设的中点为，因为动点满足，所以， 即点在以为球心，以为半径的球面上. 因为，所以. 因为正四面体的棱长为4，所以， 在三角形中，，. 取的中点为，， 所以在上的投影向量的模为，所以. 设，夹角为， 所以. 因为， 所以，即的最大值为. 故答案为： 题型03利用数量积求夹角 【典例1】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）在空间四边形中，，，则的值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得的值. 【详解】如图所示， ∵ ， 又，， 则 ∴，∴，. 故选：D 【典例2】（23-24高二上·江苏南通·期末）已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量数量积的即可求出夹角的余弦值. 【详解】 ， 故， 所以. 故选：B. 【典例3】（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：       (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解； （2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解. 【详解】（1） 因为, 所以 . （2）, , , , 所以, 因为直线与所成角， 所以直线与所成角的余弦值为. 【变式1】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中， ，，则向量与的夹角是（　　）    A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解. 【详解】∵平面，平面，平面， ∴. ∵，，∴， 又，∴E为的中点， ∴. ∵，∴. ∵ ∴＝, 又，∴. 故选：C. 【变式2】（23-24高二下·云南保山·开学考试）已知是两个空间向量，若，，则＝ . 【答案】/0.125 【分析】将两边平方，求出的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】由题意得，， 则，即，则 则， 故答案为： 【变式3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）在平行六面体中，，，为与的交点. (1)用向量表示； (2)求线段的长及向量与的夹角. 【答案】(1) (2)，答案见解析 【分析】（1）因为为与的交点，得到，再由空间向量的线性运算，即可求解； （2）根据，结合向量的运算，求得，再由空间向量的线性运算和数量积的运算，即可求解. 【详解】（1）解：因为为与的交点，所以， 又因为， 所以. （2）解：因为 ，所以， 因为，所以 . 题型04空间向量的投影（投影向量） 【典例1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 【典例2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，设向量的夹角为， 所以，可得， 解得， 所以在方向上的投影为 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以在方向上的投影的最大值为． 故选：C. 【典例3】（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.    【答案】 【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量. 【详解】由题意， 在三棱锥中，已知平面， , ∵面， ∴， 在中，，， ∴, ， ∴向量在向量上的投影向量为： ， 故答案为：. 【变式1】（2024高二·全国·专题练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】 空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 【变式2】（23-24高二上·江西·阶段练习）在长方体中，，，则向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为 . 【答案】 【分析】根据数量积的定义结合空间向量的运算即可得结论. 【详解】   由图可知.向量 在方向上的投影数量为. 向量在方向上的投影数量为， 所以向量在方向上的投影数量与向量在方向上的投影数量之和为. 故答案为：. 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．    【答案】 ； . 【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证平面，再由投影向量的几何法确定投影向量. 【详解】空（1）法一：在正方体中，易知，， 向量与向量夹角为45°，，， 所以向量在向量上的投影向量是． 法二：设，如图，由正方体的性质得，，， 向量在向量上的投影向量是． 空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有， 由，平面，则平面， 所以在平面上的投影向量就是，易知．      故答案为：； 题型05空间向量中的模（距离，长度） 【典例1】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知空间向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】先计算出，再运用向量的模长公式展开，代入即得. 【详解】依题意，， 则 ， . 故答案为：. 【典例2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示棱长为1的正四面体，、分别为、中点，为靠近的三等分点．记，． (1)，，求的最小值； 【答案】(1) 【分析】（1）根据向量的模及数量积的运算，结合二次函数的性质可得结果； 【详解】（1）已知（）， 所以， 故的最小值为. 【典例3】（23-24高二上·山西吕梁·期末）如图所示，平行六面体中，，.    (1)用向量表示向量，并求； 【答案】(1)， 【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解； 【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得， 可得 ， 所以. 【典例4】（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．        (1)求； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果； （2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知. 【详解】（1）. （2）因为， 所以 ， 所以的长为. 【变式1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 【答案】或 【分析】设与的夹角为，得到或，化简，代入即可求解. 【详解】如图所示，在矩形中，，可得， 则， 在四面体中，设与的夹角为， 因为异面直线与所成角为，则或， 由 ，所以或. 故答案为：或 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．    【答案】12 【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解. 【详解】， , 因为平面，平面， 所以，， 所以， 则. 故答案为： 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案. 【详解】由题意可得： ， 故. 故答案为：. 【变式4】（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 【答案】(1)10 (2) 【分析】（1）利用数量积的定义即可求解； （2）根据模长公式即可求解. 【详解】（1）． （2）因为， 所以． 题型06利用数量积证明垂直问题 【典例1】（2024高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 【典例2】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，， (1)求线段的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 （1），结合向量数量积运算，求模即可. （2），由向量数量积关于垂直的表示即可判断. 【详解】（1）设，则， ∵，则. ∵，∴. 故线段的长为. （2）证明：∵，∴. 故. 【变式1】（23-24高二上·山东泰安·期中）如图，在平行六面体中，，，，M，N分别为，中点． (1)求的长； (2)证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设，，，将用表示出来，根据向量的模长公式即可得到结果. （2）将，分别用表示出来，根据，即可证明. 【详解】（1）设，，，则，，，， ． 因为 ， 所以 （2）证明：因为 ， 所以． 【变式2】（23-24高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析 (2)时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的夹角公式可得答案. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且，所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ， 若，则，即 ， 即， 解得或舍去， 即时，. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，∠A1AB=∠A1AD=120°.    （1）求AC1的长; （2）证明:AC1⊥BD． 【答案】（1）（2）见解析 【分析】（Ⅰ）直接根据向量的加法把所求问题分解，再平方计算出模长的平方，进而求出结论； （Ⅱ）以，，为基底表示，，通过向量数量积的运算证明⊥，可证得AC1⊥BD 【详解】（1）∵||2=(+)2=(++)2=||2+||2+||2+2·+2·+2·= a2+a2+b2+2a2cos 90°+2abcos 120°+2abcos 120°=2a2+b2-2ab, ∴AC1=||=. （2）∵·=(++)·(-)=·+||2+·-||2-·-··-·=bacos 120°-bacos 120°=0, ∴⊥,即AC1⊥BD． 【点睛】本题主要考查异面直线的垂直以及两点间的距离计算．考查转化能力和运算能力，属于基础题． 题型07重点方法篇（利用极化恒等式求数量积最值） 【典例1】（23-24高二下·山西运城·阶段练习）已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为（    ） A．2 B．3 C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据空间向量的加减法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题可得，正方体外接球的直径, 设为正方体外接球的球心，则为的中点， 则有,且， ， 由于，所以的最大值为0， 故选:D. 【典例2】（23-24高二上·山东济宁·期中）在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为， 则，可得，所以， 又 ， 当为正方体某个面的中心时，取最小值； 当与正方体的顶点重合时，取最大值. 则，所以.    故选：A. 【变式1】（2024·河南新乡·二模）已知圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径，若点在圆锥的侧面上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，最小时，有最小值，求的最小值即可. 【详解】圆锥的底面半径为，高为1，其中为底面圆心，是底面圆的一条直径， 则有，， 点在圆锥的侧面上运动， 则， 最小时，有最小值，的最小值为点到圆锥母线的距离， 中，，，则，点到的距离， 则的最小值为，的最小值为. 故选：A 【变式2】（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 . 【答案】 【分析】先利用正方体的性质求得的取值范围，再利用空间向量的数量积即可得解. 【详解】设正方体内切球球心为S，是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1， 当点在正方体的面的中心时，取得最小值1； 当点在正方体的顶点时，取得最大值，所以； 故 ， 所以的最大值是，最小值是. 故答案为：；. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数量积运算，将转化为，从而得解. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 根据空间向量数量积公式计算出答案. 【详解】 是相互垂直的单位向量，故， 故. 故选：A 2．（23-24高二上·甘肃陇南·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积的运算得到方程，解方程即可. 【详解】 ∵，，为两两互相垂直的单位向量， ∴，，，，，， ∴， ∵，∴，∴， 解得， 故选：C. 3．（23-24高二上·浙江杭州·期中）平行六面体中，，，则的长为（ ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质即可求解． 【详解】如图，    由题知，, ，， . ， ， 即的长为. 故选：B 4．（23-24高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得 ，由数量积公式计算即可. 【详解】由题知，， 所以 ， 所以，解得， 故选：C 5．（23-24高二上·辽宁营口·期末）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量在向量方向上的投影为，运算即可的解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影为. 故选：B. 6．（23-24高二上·江西萍乡·期末）已知，，是空间中两两垂直的单位向量，则（    ） A． B．14 C． D．2 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积的性质即可求解. 【详解】依题意得，，； 所以， 故选：A. 7．（23-24高二上·山东·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，若，则为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】设，且，以为一个空间基底，求得，，结合，列出方程，即可求解. 【详解】设，且， 因为，以为一个空间基底， 可得，， 又因为，可得， 即，即， 解得或（舍去），即的值为. 故选：D. 8．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 二、多选题 9．（23-24高二下·安徽·开学考试）如图，在平行六面体中，为与的交点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形计算即可求解. 【详解】A：，故A错误； B：，故B正确； C：， 又， 所以，故C错误； D：，故D正确． 故选：BD 10．（23-24高二下·河南开封·期末）已知平行六面体中，，与的交点为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量基底法相关性质进行图形关系运算与模的运算. 【详解】如下图所示，，故A正确，B错误； 由平方得， ， 所以，故C正确，D错误.    故选：AC 三、填空题 11．（23-24高二上·广东广州·期末）正四面体的棱长为2，设，，，则 . 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的定义及运算律计算可得. 【详解】在正四面体中，， 又，，， 所以. 故答案为： 12．（23-24高二上·山西吕梁·期中）在四面体中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量数量积的运算进行求解即可. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以. 又，，所以， 所以. 又，所以． 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P为空间内不共线的四点，G为的重心． (1)证明：； (2)若向量，，的模长均为2，且两两夹角为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形重心的向量表示及向量运算可证结论； （2）利用向量模长的公式可求答案. 【详解】（1）证明：因为G是的重心，所以， 则， 即. （2）由（1）得， 所以， ，即． 14．（23-24高二上·四川遂宁·期中）如图，四面体的每条棱长都相等，M，N，P分别是，，的中点 (1)求证：，，为共面向量； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量基本定理表达出，得到，，为共面向量； （2）证明出线面垂直，得到平面的法向量为，求出，并求出，，利用线面角的正弦求解公式求出答案. 【详解】（1）因为M，N，P分别是，，的中点， 故， 所以，，为共面向量； （2）四面体的每条棱长都相等，设为2， 连接，因为均为等边三角形， 又N是的中点，所以⊥，⊥， 因为，平面， 故⊥平面， 所以平面的法向量为， 其中，， 故 ， 又 ， 故， ， 故， 设与平面所成角的大小为， 则. B能力提升 1．（2024·江西赣州·二模）已知球O内切于正四棱锥，，EF是球O的一条直径，点Q为正四棱锥表面上的点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用体积法求出球半径，再利用向量数量积的运算律计算即得. 【详解】令是正四棱锥底面正方形中心，则平面，而， 则，正四棱锥的体积， 正四棱锥的表面积， 显然球的球心在线段上，设球半径为，则，即， 在中，，于是，又EF是球O的一条直径， 因此， 显然，则，， 所以的取值范围为. 故选：A 2．（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°．若，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积运算求解. 【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，. 又 所以：或. 故答案为： 3．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，. (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可； （2）根据向量的运算性质代入计算即可. 【详解】（1）， ， 故 ∵点E为AD的中点， 故. （2）由题意得， 故， 故 . 4．（23-24高三上·云南玉溪·阶段练习）如图所示，三棱柱中，所有棱长均为2，，，分别在，上（不包括两端），． （1）求证：平面； （2）设与平面所成角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）作，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可； （2）取中点，连接、、，然后证明平面，平面平面，作，交于点，然后可得平面，然后算出，然后利用向量关系算出，然后可得，然后可求出答案. 【详解】（1）作，交于点，设，则， ∵，∴，即， ∵且，连接， 所以四边形为平行四边形，∴， ∵平面，且平面， ∴平面． （2）取中点，连接、、， ∵，，， 根据余弦定理得：， ∴，则， ∵是等边三角形，∴， ∵，∴平面，平面 ∴平面平面， 在中，，， 作，交于点，因为平面平面， 所以平面， 则，∴， ∵平面，所以点到平面距离， ， ， ∴． ， ∵，∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$