第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算（知识清单+7类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算 课程标准 学习目标 ①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. ②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断. 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练1】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空).    【答案】 相等 相反 【分析】根据给定的几何体，结合相等向量，互为相反向量的意义判断即得. 【详解】在三棱柱中，四边形是平行四边形，则，即与是相等向量； 四边形是平行四边形，，即与是互为相反向量. 故答案为：相等；相反 知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【即学即练2】（23-24高二·全国·课堂例题）化简：． 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算及运算律即可求解。 【详解】原式． 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练3】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体，若为与的交点，则 . 【答案】 【分析】由题知，进而计算即可得答案. 【详解】解：如图，因为为与的交点，所以为的中点， 所以， 所以，. 故答案为： 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【即学即练4】（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间共面向量定理的推论逐项判断即得. 【详解】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且， 对于A，由，得，点不共面，A不是； 对于B，由，得，点不共面，B不是； 对于C，由，得，点不共面，C不是； 对于D，由，得，点共面，D是. 故选：D 题型01空间向量的有关概念 【典例1】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【答案】BC 【分析】根据向量相等的定义可判断A，B；根据向量的相等具有传递性，判断C；根据相反向量的含义结合零向量判断D. 【详解】A为假命题，根据向量相等的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同， 而A中向量的方向不一定相同； B为真命题，与的方向相同，模也相等，故； C为真命题，由于空间向量满足，，且向量的相等满足传递性， 故； D为假命题，零向量的相反向量仍是零向量. 故选：BC 【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期末）给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任意向量，必有. 其中真命题的序号为 . 【答案】④ 【分析】根据向量的概念及相等向量、相反向量的概念，向量的加法运算及几何意义逐个判断即可. 【详解】对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故错误； 对于②，向量是不能比较大小的，故错误； 对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故错误； 对于④，若不共线时，设，以为邻边作一个平行四边形， 如图所示： 由平面向量的加法法则可知，根据三角形中三边关系可得； 若共线且同向时满足成立； 综上所述：对任意向量，，，正确. 故答案为：④ 【变式1】（多选）（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】BCD 【分析】根据相等向量的有关概念判断． 【详解】对于选项A：由相等向量的定义知A正确； 对于选项B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B错； 对于选项C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C错； 对于选项D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D错， 故选：BCD． 【变式2】（多选）（2024高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【答案】ACD 【分析】根据向量的定义及性质可以判定. 【详解】由单位向量的定义即得，故A正确； 共线不一定同向，故B错误； 因为为非零向量，且，所以，故C正确； 在空间任取一点，过此点引两个与已知非零向量相等的向量，而这两个向量所在的直线相交于此点，两条相交直线确定一个平面，所以两个非零向量可以平移到同一平面内，故D正确． 故选：ACD 【变式3】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）根据单位向量的定义写出即可； （2）根据相等向量的定义写出即可； （3）根据相反向量的定义写出即可. 【详解】（1）由题意，单位向量有共个； （2）由题意，与相等有； （3）由题意，的相反向量有. 题型02空间向量加减运算及几何表示 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意， . 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·山东济南·期末）在三棱柱中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题可知. 故选：D 【变式1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算可得正确的选项. 【详解】 ， 化简得：， 故选：A . 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为，又为中点，所以， 即， 故选：A. 【变式3】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形即可求解. 【详解】A：，故A符合题意；    B：，故B符合题意；    C：，故C符合题意；    D：，故D不符合题意；    故选：ABC. 题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定） 【典例1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)，． (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ，且， 所以，即、、三点共线． 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合空间向量的共线定理，即可判断. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】选择为基向量，用基向量表示和，通过证明与平行可证三点共线. 【详解】设的中点为，连接GB，GD，，，    ， 因为G为的重心，所以， 所以， 所以，即三点共线. 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 【答案】共线 【分析】根据空间向量的线性运算法则，化简得到，即可得到结论. 【详解】由空间向量的线性运算法则，可得 ，即， 又由向量的共线定理，可得与共线． 题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数） 【典例1】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【详解】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，化简得到，由三点共线，可设，利用空间向量共线的充要条件，列出方程，即可求解. 【详解】因为，， 可得， 又因为三点共线，可设，即， 因为不共线，可得，解得， 所以实数的值为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据空间向量共线的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得解. 【详解】因为、、为空间三个不共面的向量，向量，， 若与共线，设，即， 可得，解得，故. 故选：D. 【变式2】（23-24高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 【答案】－/ 【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即，解得. 故答案为： 题型05空间向量共面（空间向量共面的判定） 【典例1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果. 【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除； 对于B，，所以三个向量共面，排除； 对于D，，所以三个向量共面，排除. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面. 【答案】证明见解析 【分析】由空间向量基本定理可得答案. 【详解】由是不共面向量，得与不共线， 设，则， 所以，解得，所以， 所以这三个向量共面. 【变式1】（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可． 【详解】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意； 对于B，假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面； 故B不符合题意； 对于C，，故三个向量共面，故C符合题意； 对于D，，故三个向量共面，故D题意符合． 故选：ACD． 【变式2】（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）下列各组向量中共面的有（　　） A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5） B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2） C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1） D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1） 【答案】ABC 【分析】三个向量中如果两个向量共线或者其中一个向量可以用其他两个向量进行表示可以判定三个向量共面. 【详解】选项A中，设，则解得故存在实数使得，因此共面. 选项B中，选项C中.故B，C中三个向量也共面. 选项D中，设，则显然无解，故不共面. 故选：ABC. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面． 【答案】共面 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合空间向量的共面定理，即可求解. 【详解】根据空间向量的运算法则，可得： ， 又由空间向量的共面定理，可得向量与，共面． 题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数） 【典例1】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【详解】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则 ． 【答案】1 【分析】根据向量共面定理设，用待定系数法法解出m、n、λ﹒ 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数m，n，使得， 则， 则，解得． 故答案为：1 【变式1】（23-24高二上·山东聊城·期中）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 . 【答案】4 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】以为空间一组基底， 由于三个向量共面，所以存在， 使得， 即， 整理得， 所以，解得. 故答案为： 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 . 【答案】 【分析】利用空间向量共面定理可得，再由向量相等即可求解. 【详解】若向量，，共面，则存在x，y∈R，使得， ∴2-+3=x(-+4-2)+y(7+5+λ)， ∴ 解得λ=. 故答案为： 题型07空间向量共面（推论及其应用） 【典例1】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案． 【详解】解：若，则，即， 由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面； 反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时， ，可取任意值，不一定有， 所以是，，，四点共面的充分不必要条件． 故选：B． 【典例2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】由四点共面可得，再由“1”的技巧及均值不等式求解. 【详解】由四点共面，可知，即， 由， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 【典例3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据四点共面的充要条件及其推论，即可得出答案. 【详解】由与三点共面以及， 可得，，所以. 故选：C. 【典例4】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则 ． 【答案】 【分析】推导出空间四点共面定理的推论，再根据推论进行求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以存在不全为0的使得， O是平面ABC外任意一点，则， 即， 若A，B，C三点共线，则，即， 整理得：，所以， 此时若，则， 因为A，B，C三点不共线，， 所以， 所以， 令，则， 所以，所以． 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量的推论判断. 【详解】A选项：，故A错； B选项：，故B正确； C选项：，故C错； D选项：，故D错. 故选：B. 【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（    ） A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 【答案】B 【分析】根据共面向量的基本定理可得出结论. 【详解】因为，则， 即，即，所以共面， 又因为它们有公共点，所以点、、、共面. 故选：B. 【变式3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的基本定理得到关于的方程，解之即可. 【详解】因为， 所以， 因为M是平面ABC上一点，即四点共面， 所以，所以． 故选：B. 【变式4】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，若，，，四点共面，则 . 【答案】3 【分析】利用空间中四点共面的判定条件进行求解. 【详解】已知空间任意一点和不共线的三点，，， 则，，，四点共面等价于：， 所以. 故答案为：3. A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断AD，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断B，由向量与有向线段的关系判断C. 【详解】选项A：因为空间向量与互为相反向量，所以空间向量与的长度相等，所以A正确； 选项B：将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以B错误； 选项C：空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以C错误； 选项D：两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量与的模相等，所以D错误； 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助向量线性运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：A. 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的加减运算求解. 【详解】. 故选：B 4．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得. 【详解】对于A，中，，A不是； 对于B，中，，B不是； 对于C，化为，，C不是； 对于D，中，，D是. 故选：D 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】根据题意，利用空间向量的运算法则，可得：， 因为，所以，解得. 故选：D. 6．（23-24高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的运算法则确定，得到答案. 【详解】， 故，，，. 故选：A 7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意，由空间向量的运算可得，再由空间向量基本定理可得，即可得到结果. 【详解】 因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则. 故选：C 8．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面平行的性质可得，结合空间的等角定理可得∽，即得对应边成比例，结合题意，即可求得答案. 【详解】因为四棱柱为直四棱柱，， 故平面平面，而平面平面， 平面平面，故， 又，则，故∽， 故，又，，则， 则，故，则， 故选：C 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B．若与共面，则存在实数x，y，使； C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面定理即可判断AB，由共线向量的概念即可判断C，由空间向量基本定理即可判断D 【详解】由向量共面定理可知，若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面，故A正确； 若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故B错误； 若向量所在的直线是异面直线，则的方向不相同也不相反，且所在直线也不 相交，所以向量一定不共线，故C正确； 若是空间三个基底向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使，故D错误； 故选：AC 10．（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 【答案】ABC 【分析】 根据单位向量、相等向量、相反向量和向量的模的概念逐项分析可得答案. 【详解】 由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确； 与相等的向量有，，，共3个，故B正确； 向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确； 模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误． 故选：ABC 三、填空题 11．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 【答案】/2.5 【分析】根据向量的加法运算及向量的相等求值即可. 【详解】如图， 因为, 所以. 故答案为： 12．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为 . 【答案】 【分析】根据向量共面的基本定理求即可求解. 【详解】P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线， 但四点共面，且， 则根据向量共面定理，，即. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】根据空间向量的线性运算依次求解即可. 【详解】（1）； （2）； （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示，    14．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可. 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． B能力提升 1．（2024·浙江）已知空间向量两两相互垂直，且，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题意可得，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】设， ， ， 等号成立，当且仅当， ， 故选：C. 【点睛】本题考查向量的数量积、基本不等式，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件. 2．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．    【答案】 【分析】 确定，根据共面得到，解得答案. 【详解】 ； 四点共面，故，即. 故答案为： 3．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】把通过，用和线性表示，得它们共面，从而可得四点共面． 【详解】证明：连接，，，，，．易知，，∴，． ．（*） ∵，，三点共线及，，三点共线， ∴存在实数，，使得，， 代入（*）式，得， ∴，∴，，共面． 又，，过同一点， ∴，，，四点共面． 4．（23-24高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 【答案】为定值4；证明见解析； 【分析】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底，表示出. 然后根据点，，，M共面，故存在实数，满足，再表示出一组的表达式，因此其系数相同，从而证得结论. 【详解】联结AG并延长交BC于H，由题意，令为空间向量的一组基底， 则 . 联结DM，点，，，M共面，故存在实数， 满足，即， 因此， 由空间向量基本定理知， ， 故，为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 1.1.1空间向量及其线性运算 课程标准 学习目标 ①理解空间向量的概念，空间向量的共线定理、共面定理及推论. ②会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算. 1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解. 2．利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、共面的判断. 知识点01：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 【即学即练1】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空).    知识点02：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 【即学即练2】（23-24高二·全国·课堂例题）化简：． 知识点03：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 【即学即练3】（23-24高二·全国·课后作业）已知长方体，若为与的交点，则 . 知识点04：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 2.1共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： 2.2拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 3.1共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3.2空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 3.3拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【即学即练4】（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（    ） A． B． C． D． 题型01空间向量的有关概念 【典例1】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）下列命题为真命题的是（    ） A．若空间向量满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量满足，，则 D．任一向量与它的相反向量不相等 【典例2】（23-24高二上·吉林长春·期末）给出下列四个命题: ①方向相反的两个向量是相反向量； ②若，满足且，同向，则； ③不相等的两个空间向量的模必不相等； ④对于任意向量，必有. 其中真命题的序号为 . 【变式1】（多选）（23-24高二下·云南保山·开学考试）下列关于空间向量的命题中，不正确的是（    ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【变式2】（多选）（2024高二·全国·专题练习）下列命题中正确的是    （    ） A．如果,是两个单位向量，则 B．两个空间向量共线，则这两个向量方向相同 C．若，，为非零向量，且，，则 D．空间任意两个非零向量都可以平移到同一平面内 【变式3】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．    (1)单位向量共有多少个？ (2)试写出与相等的所有向量． (3)试写出的相反向量． 题型02空间向量加减运算及几何表示 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）在四面体中，，D为的三等分点（靠近B点），E为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·山东济南·期末）在三棱柱中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平行六面体中，是平行四边形的对角线的交点，为的中点，记，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·福建福州·期末）如图所示，空间四边形中，，点分别为上的点，且为中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）如图，在长方体中，下列各式运算结果为的是（　　）    A． B． C． D． 题型03空间向量的共线定理（空间向量共线的判定） 【典例1】（23-24高二上·上海·课后作业）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？ 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）在正方体中，G为的重心，证明：三点共线. 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，分别是的中点，在上且，在上且，判断与是否共线？ 题型04空间向量的共线定理（由空间向量共线求参数） 【典例1】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且三点共线，则实数k的值为 ． 【变式1】（23-24高二上·新疆伊犁·期末）已知、、为空间三个不共面的向量，向量，，若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 题型05空间向量共面（空间向量共面的判定） 【典例1】（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面. 【变式1】（多选）（23-24高二上·河南开封·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）下列各组向量中共面的有（　　） A．=（1，2，3），=（3，0，2），=（4，2，5） B．=（1，2，-1），=（0，2，-4），=（0，-1，2） C．=（1，1，0），=（1，0，1），=（0，1，-1） D．=（1，1，1），=（1，1，0），=（1，0，1） 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）在长方体中，E是棱的中点，O是面对角线与的交点．试判断向量与、是否共面． 题型06空间向量共面（由空间向量共面求参数） 【典例1】（23-24高二下·江苏·阶段练习）已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（    ） A． B． C． D．4 【典例2】（23-24高二·全国·课后作业）已知向量，，是三个不共面的非零向量，且，，，若向量，，共面，则 ． 【变式1】（23-24高二上·山东聊城·期中）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数 . 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知，，是不共面向量，=2-+3，=-+4-2，=7+5+λ，若，，三个向量共面，则实数λ等于 . 题型07空间向量共面（推论及其应用） 【典例1】（23-24高二上·江西九江·期末）对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【典例2】（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，若正实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【典例3】（23-24高二下·江苏淮安·期中）已知三点不共线，是平面外任意一点，若由确定的一点与三点共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【典例4】（23-24高二上·河北沧州·阶段练习）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由确定的一点P与A，B，C三点共面，则 ． 【变式1】（23-24高二上·湖北黄冈·期中）对空间任意一点和不共线三点，，，能得到，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知点、、不共线，对空间任意一点，若，则点、、、（    ） A．不共面 B．共面 C．不一定共面 D．无法判断 【变式3】（23-24高二上·重庆北碚·阶段练习）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则 （    ） A．1 B．2 C． D． 【变式4】（23-24高一上·云南昭通·阶段练习）对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，若，，，四点共面，则 . A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）下列命题中为真命题的是（    ） A．向量与的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，则（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）在空间四边形中，化简（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知四面体中，为中点，若，则（    ） A．3 B．2 C． D． 6．（23-24高二上·福建莆田·期末）如图，平行六面体中，点在上，点在上，且，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北武汉·期中）已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8．（23-24高三下·河南濮阳·开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形，，若平面，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）下列选项中正确的是（    ） A．若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； B．若与共面，则存在实数x，y，使； C．若向量所在的直线是异面直线，则向量一定不共线； D．若是空间三个向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 10．（23-24高二·全国·课堂例题）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 三、填空题 11．（23-24高二上·贵州遵义·期末）已知长方体中，点Q为线段的中点，，则 . 12．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知P为空间中任意一点，A、B、C、D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数x的值为 . 四、解答题 13．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 14．（23-24高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． B能力提升 1．（2024·浙江）已知空间向量两两相互垂直，且，若则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东东莞·阶段练习）如图，点是棱长为2的正四面体底面的中心，过点的直线交棱于点是棱上的点，平面与棱的延长线相交于点，与棱的延长线相交下点，则 ．    3．（23-24高二·全国·课后作业）如图所示，已知，，及，，分别是异面直线，上的三点，点，，，分别是线段，，，的中点．求证：，，，四点共面． 4．（23-24高二上·广东深圳·开学考试）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，且，过点任意作一个平面分别交线段，，于点，，，若，，，求证：为定值，并求出该定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$