湖南省娄底市涟源市行知高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试卷

湖南省娄底市涟源市行知高级中学2022-2023学年高一（下）期末 数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 2．（5分）命题P：是命题Q：的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）若x＞0，y＞0，且x+y＝1，则xy的最大值是（　　） A． B． C． D．1 4．（5分）已知函数，则f（﹣1）＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（5分）函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（5分）函数的单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，5） D．（﹣1，2） 7．（5分）已知，，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 8．（5分）已知函数是定义在（﹣b，b）的奇函数，则ab的取值范围为（　　） A．（0，4] B．（0，4） C．（1，4] D．（1，4） 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（　　） A．b2＜ab＜1 B． C． D．a2＜ab＜1 （多选）10．（5分）关于幂函数f（x）＝xa的性质下列说法中正确的是（　　） A．当a＝2024时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减 B．当a＝2023时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减 C．当时，f（x）是偶函数 D．当时，f（x）是偶函数 （多选）11．（5分）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（　　） A．函数的最小正周期为2π B．函数的表达式 C．函数的一个对称中心为 D．函数图象是由sin2x图象向左平移个单位而得到 （多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|cos2x|+cos|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（　　） A．f（x）在区间上单调递增 B．2π是f（x）的一个周期 C．f（x）的值域为 D．f（x）的图象关于y轴对称 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）计算：＝　 　． 14．（5分）不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是 　 　． 15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）的最大值为　 　． 16．（5分）已知函数，方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 　 　． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）． 18．（12分）已知tanθ＝2． （1）若θ是第三象限角，求sinθ，cosθ的值； （2）先化简再求值：． 19．（12分）已知函数f（x）＝是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）． （1）求实数a，b的值． （2）求函数f（x）在x＜0时的值域． 20．（12分）声强级L1（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：W/m2）． （1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2．求人听觉的声强级范围； （2）平时老师上课时的声强约为10﹣4W/m2，求其声强级． 21．（12分）已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴； （2）若时，|f（x）|≤3恒成立，则实数a的取值范围． 22．（12分）已知函数f（x）＝log2x． （1）用定义法证明：函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函数； （2）若x∈[1，4]，求函数g（x）＝[f（x）+a][f（x）﹣3a]，a∈R的最小值h（a）． 参考答案与试题解析 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分40分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1．（5分）已知集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（　　） A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 【解答】解：∵集合A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，5}， ∴A∩B＝{3，5}． 故选：C． 2．（5分）命题P：是命题Q：的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：当时，α＝+2kπ或，k∈Z， 当时，sin一定成立， 所以P：是命题Q：的必要不充分条件． 故选：B． 3．（5分）若x＞0，y＞0，且x+y＝1，则xy的最大值是（　　） A． B． C． D．1 【解答】解：由题意，解得，等号成立当且仅当， 所以xy的最大值为． 故选：B． 4．（5分）已知函数，则f（﹣1）＝（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：由题，f（﹣1）＝f（1）＝2×1﹣4×1+3＝1． 故选：D． 5．（5分）函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：y＝f（x）＝xcosx+sinx， 则f（﹣x）＝﹣xcosx﹣sinx＝﹣f（x）， ∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除C，D， 当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B， 故选：A． 6．（5分）函数的单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，2） B．（2，+∞） C．（2，5） D．（﹣1，2） 【解答】解：根据题意，设t＝﹣x2+4x+5，则y＝log2t， 必有t＝﹣x2+4x+5＞0，解可得﹣1＜x＜5，即函数的定义域为（﹣1，5）， y＝log2t在（0，+∞）上为增函数， t＝﹣x2+4x+5，是对称轴为x＝2，开口向下的二次函数， 故函数的单调递增区间是（﹣1，2）． 故选：D． 7．（5分）已知，，则sinα＝（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，， 所以， 所以 ＝． 故选：A． 8．（5分）已知函数是定义在（﹣b，b）的奇函数，则ab的取值范围为（　　） A．（0，4] B．（0，4） C．（1，4] D．（1，4） 【解答】解：根据题意，函数是定义在（﹣b，b）的奇函数， 则有，解得a＝2， 即，f（x）有意义，，解得﹣2＜x＜2， 所以有0＜b≤2， 此时，满足在（﹣b，b）上为奇函数， 由0＜b≤2，所以ab＝2b∈（1，4]． 故选：C． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）设0＜b＜a＜1，则下列不等式成立的是（　　） A．b2＜ab＜1 B． C． D．a2＜ab＜1 【解答】解：因为0＜b＜a＜1，所以b2﹣ab＝b（b﹣a）＜0，所以b2＜ab，又ab＜1， 所以b2＜ab＜1，所以A正确； 当，，则，，所以，所以B不正确； 因为0＜a＜1，所以，又0＜b＜a＜1，所以，即，所以C正确； 因为0＜b＜a＜1，所以a2﹣ab＝a（a﹣b）＞0，即a2＞ab，所以D不正确． 故选：AC． （多选）10．（5分）关于幂函数f（x）＝xa的性质下列说法中正确的是（　　） A．当a＝2024时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减 B．当a＝2023时，f（x）在（﹣∞，0）是单调递减 C．当时，f（x）是偶函数 D．当时，f（x）是偶函数 【解答】解：对于A，由幂函数的性质可知，f（x）＝x2024在（0，+∞）单调递增， f（﹣x）＝（﹣x）2024＝x2024＝f（x），且定义域关于原点对称，即f（x）是偶函数， 所以f（x）在（﹣∞，0）是单调递减，故A正确； 对于B，当a＝2023＞0时，f（x）＝x2023在（0，+∞）单调递增， 且注意到f（﹣x）＝（﹣x）2023＝﹣x2023＝﹣f（x），且定义域关于原点对称，即f（x）是奇函数， 所以f（x）在（﹣∞，0）是单调递增，故B错误； 对于C，当时，定义域为[0，+∞），它为非奇非偶函数，故C错误； 对于D，当时，定义域为R， 且 ，所以此时f（x）是偶函数，故D正确． 故选：AD． （多选）11．（5分）函数的部分图象如图，则下列说法中正确的是（　　） A．函数的最小正周期为2π B．函数的表达式 C．函数的一个对称中心为 D．函数图象是由sin2x图象向左平移个单位而得到 【解答】解：对于A，由图可知函数的最小正周期满足，解得T＝π，即函数的最小正周期为π，故A错误； 对于B，由得ω＝2，由图可知A＝1，且，解得， 又因为，所以只能，所以函数的表达式，故B正确； 对于C，，即不是函数的对称中心，故C错误； 对于D，由sin2x图象向左平移个单位得到图象所对应的函数解析式为，故D正确． 故选：BD． （多选）12．（5分）已知函数f（x）＝|cos2x|+cos|x|，有下列四个结论，其中正确的结论为（　　） A．f（x）在区间上单调递增 B．2π是f（x）的一个周期 C．f（x）的值域为 D．f（x）的图象关于y轴对称 【解答】解：对于A，由， 可知f（x）在区间上不单调递增，故A项错误； 对于B，f（x+2π）＝|cos[2（x+2π）]|+cos|（x+2π）|＝f（x）＝|cos2x|+cos|x|，故B项正确； 对于C，由B选项分析可知2π是f（x）的一个周期，所以我们只需讨论函数f（x）在[0，2π]上的值域即可， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上所述，f（x）的值域为，故C项错误； 对于D，由题意f（﹣x）＝|cos（﹣2x）|+cos|﹣x|＝f（x）＝|cos2x|+cos|x|， 所以f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对称，故D项正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）计算：＝　0　． 【解答】解：由题意． 故答案为：0． 14．（5分）不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是 　（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）　． 【解答】解：由题意x2﹣3x﹣18＞0⇒（x﹣6）（x+3）＞0，解得x＜﹣3或x＞6， 所以不等式x2﹣3x﹣18＞0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（6，+∞）． 15．（5分）已知函数f（x）＝sinx+cosx，则f（x）的最大值为　2　． 【解答】解：∵函数＝2sin（x+）， ∴f（x）的最大值为2， 故答案为：2． 16．（5分）已知函数，方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根，则实数b的取值范围是 　　． 【解答】解：在同一平面直角坐标系中画出f（x）的图象以及直线y＝t，如图所示： 发现当且仅当0＜t≤4时，关于x的方程f（x）＝t的根的个数最多，且有3个根， 而关于t的一元二次方程t2+bt+1＝0最多有两个根， 若方程[f（x）]2+bf（x）+1＝0有六个不相等实根， 则当且仅当关于t的一元二次方程t2+bt+1＝0有两个不同的根t1，t2，且0＜t1，t2≤4， 所以当且仅当，解得， 即实数b的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知，求下列各式的值： （1）a+a﹣1； （2）． 【解答】解：（1）由题意，所以． （2）由题意， 所以． 18．（12分）已知tanθ＝2． （1）若θ是第三象限角，求sinθ，cosθ的值； （2）先化简再求值：． 【解答】解：（1）因为，sin2θ+cos2θ＝1， 若θ是第三象限角， 则解得． （2）由题意， 若tanθ＝2，则原式＝． 19．（12分）已知函数f（x）＝是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3）． （1）求实数a，b的值． （2）求函数f（x）在x＜0时的值域． 【解答】解：（1）因为函数f（x）的图象经过点（1，3）， 所以f（1）＝3，即＝3，① 因为f（x）＝是奇函数， 所以f（﹣1）＝﹣3，即＝﹣3，② 由①②解得a＝1，b＝﹣1， 所以实数a，b的值为1、﹣1； （2）由（1）得，f（x）＝＝1+， 又x＜0，则0＜2x＜1，﹣1＜2x﹣1＜0， 所以＜﹣2，即1+＜﹣1， 故函数f（x）在x＜0时的值域为（﹣∞，﹣1）． 20．（12分）声强级L1（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：W/m2）． （1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2．求人听觉的声强级范围； （2）平时老师上课时的声强约为10﹣4W/m2，求其声强级． 【解答】解：（1）由题意当I∈[10﹣12，1]时，由复合函数单调性可知单调递增， 又， 所以人听觉的声强级范围为[0，120]； （2）由题意， 即平时老师上课时的声强级为80dB． 21．（12分）已知函数． （1）求函数f（x）的最小正周期和对称轴； （2）若时，|f（x）|≤3恒成立，则实数a的取值范围． 【解答】解：（1）， 则函数f（x）的最小正周期， 由，解得， 即函数f（x）的对称轴方程为； （2）因为时，可得，可得， 所以﹣1+a≤f（x）≤2+a， 由|f（x）|≤3恒成立， 则有，即，解得﹣2≤a≤1， 所以实数a的取值范围[﹣2，1]． 22．（12分）已知函数f（x）＝log2x． （1）用定义法证明：函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函数； （2）若x∈[1，4]，求函数g（x）＝[f（x）+a][f（x）﹣3a]，a∈R的最小值h（a）． 【解答】解：（1）证明：根据题意，不妨设0＜x1＜x2，所以， 因为0＜x1＜x2，所以，即f（x1）＜f（x2）， 所以函数f（x）在（0，+∞）是单调递增函数． （2）若x∈[1，4]，则t＝f（x）＝log2x∈[0，2]， 所以g（x）＝[f（x）+a][f（x）﹣3a]＝（t+a）（t﹣3a）＝t2﹣2at﹣3a2 ＝（t﹣a）2﹣4a2＝u（t），a∈R， u（t）＝（t﹣a）2﹣4a2，t∈[0，2]， 若a≥2，则u（t）＝（t﹣a）2﹣4a2，t∈[0，2]单调递减， 所以此时h（a）＝u（2）＝（2﹣a）2﹣4a2＝﹣3a2﹣4a+4， 若0＜a＜2，则h（a）＝u（a）＝（a﹣a）2﹣4a2＝﹣4a2， 若a≤0，则u（t）＝（t﹣a）2﹣4a2，t∈[0，2]单调递增， 所以此时h（a）＝u（0）＝（0﹣a）2﹣4a2＝﹣3a2， 综上所述，． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$