第07讲 第一章集合与常用逻辑用语章末重要题型大总结（13类高频题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第07讲 第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结 题型01元素（集合）与集合 【典例1】（23-24高一下·江西·阶段练习）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列表示正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则．（5） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C．⫋A D．⫋A 【变式3】（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 . 题型02集合中元素的三个特性 【典例1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【典例2】（23-24高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 【变式1】（多选）（23-24高一上·江西·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏泰州·阶段练习）设集合，集合，若，则 . 【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合，则集合中的元素个数为 . 题型03集合的表示方法综合 【典例1】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知，则集合用列举法表示为 . 【典例2】（23-24高一·全国·随堂练习）选择适当的方法表示下列集合： (1)对于一元二次函数，当时，所有x的取值组成的集合； (2)一元二次函数的所有函数值组成的集合； (3)抛物线上的所有点组成的集合； (4)在平面直角坐标系中，抛物线在第一象限内的所有整点（横、纵坐标均为整数的点）组成的集合． 【变式1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，用列举法可以表示为 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，试用列举法表示集合 . 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 题型04子集（真子集）及其应用 【典例1】（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【典例2】（19-20高二·广西防城港·期中）设集合，B＝．若，求实数a的取值范围 【变式1】（2024·广西·二模）已知集合，，若，则实数 ． 【变式2】（23-24高一上·宁夏中卫·期中）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一上·福建福州·开学考试）已知集合A={aR|（x﹣1）a2+7ax+x2+3x﹣4=0}，{0}A，则x的值为 . 【变式4】（23-24高一·全国·单元测试）已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为 . 题型05交集、并集、补集运算 【典例1】（2024·重庆·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·广东江门·期中）设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1】（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 题型06交集、并集、补集应用 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合 (1)全集，求; (2)若，求实数a的取值范围． 【典例2】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，集合 (1)求集合､. (2)若集合，且，求实数的取值范围. 【变式1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合，则的取值集合为 . 【变式2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知集合，. (1)若，求集合； (2)若“”的充分不必要条件是“”，求实数k的取值范围. 【变式3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 题型07充分性与必要性的判断 【典例1】（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【典例2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型08根据充分性与必要性求参数 【典例1】（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【典例2】（23-24高一上·湖北咸宁·期末）设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【变式2】（23-24高一上·湖北·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【变式3】（23-24高一上·福建三明·期末）集合，或，且． (1)求，的值； (2)若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型09根据全称量词命题与存在量词命题真假求参数 【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是 . 【典例2】（23-24高一上·浙江宁波·期中）（1）若，，求实数a的取值范围； （2）若，，求实数x的取值范围． 【变式1】（22-23高一上·浙江宁波·期中）若“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·山东烟台·期中）已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 题型10分类与整合思想 【典例1】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【典例2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 【变式1】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式2】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 题型11等价转换思想 【典例1】（23-24高一上·重庆·期末）已知集合,． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【典例2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值集合． 【变式1】（23-24高一下·云南红河·开学考试）已知集合，集合. (1)求； (2)若集合，，求实数a的取值范围. 【变式2】（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，且. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 题型12数形结合的思想 【典例1】（22-23高一·全国·课堂例题）设，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知集合或，，求实数的取值范围. 【变式1】（22-23高三上·北京·阶段练习）设集合，，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 题型13新定义题 【典例1】（2024·北京·三模）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”: ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明:对于任意，都有； ②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于. 【典例2】（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【变式1】（2024·北京·模拟预测）已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数. (1)若，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求的最大值； (3)若且对任意，都有，求的最大值. 题型14易错题型（容易忽略） 【典例1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设集合，且，则实数的取值范围 ． 【变式1】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合，，若，则实数t的取值范围为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 第一章集合与常用逻辑用语章末题型大总结 题型01元素（集合）与集合 【典例1】（23-24高一下·江西·阶段练习）若集合，，则中所有元素的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，求出集合即可得解. 【详解】当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，； 当时，分别取，，，分别为，，， 故，所有元素之和为. 故选：B. 【典例2】（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列表示正确的个数是（    ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则．（5） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系、交集、子集等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】空集没有元素，所以正确，也即（1）正确； 空集是任何集合的子集，所以正确，也即（2）正确； 由解得，所以，所以（3）错误； 若，即是的子集，所以，所以（4）正确； 根据元素与集合的关系可知正确，也即（5）正确. 所以正确的个数是. 故选：A 【变式1】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）下列关系或运算中①，②，③，④正确的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系判断①②，根据子集概念判断③，根据集合的交集判断④. 【详解】①正确；②空集不含任何元素，故错误；③因为空集是任何集合的子集， 故正确；④因为，为点的集合， 故，故错误. 所以正确的个数为2. 故选：B 【变式2】（多选）（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）已知集合，则下列关系正确的是（    ） A． B． C．⫋A D．⫋A 【答案】ABC 【分析】利用元素与集合的关系判断选项ABD；利用集合间关系判断选项C. 【详解】集合A中含有元素0，，选项A 判断正确； 集合A中含有元素，，选项B 判断正确； 集合A是二元素非空集合，⫋，选项C判断正确； 0是元素不是集合，选项D判断错误. 故选：ABC 【变式3】（23-24高一上·安徽六安·期末）已知集合，，若，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别求出集合，，由且，从而可求解. 【详解】由题意得，， 因为且，所以， 故的取值范围是. 故答案为：. 题型02集合中元素的三个特性 【典例1】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）非空集合P满足下列两个条件：（1），（2）若元素，则，则集合P个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题得可将中元素分组为,,,再根据题意得出是求的非空真子集个数即可. 【详解】由题得, 若元素，则, 可以推导出集合中1,5要同时存在,2,4要同时存在,3可存在于中也可以不存在, 故可以考虑集合等价于由元素,,组成的集合， 又, 故本题相当于求集合的非空真子集个数. 即个. 故选：C 【典例2】（23-24高三上·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则 ． 【答案】1 【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果. 【详解】因为， 显然，故，则； 此时两集合分别是， 则，解得或. 当时，不满足互异性，故舍去； 当时，满足题意. 所以 故答案为：. 【变式1】（多选）（23-24高一上·江西·期中）已知集合，，若，则实数a的值可以是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】CD 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】，因为，所以，则有： 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，不符合集合元素的互异性； 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，符合题意； 若，解得或， 当时，，，不符合集合元素的互异性； 当时，，，符合题意； 综上所述：或. 故选：CD. 【变式2】（23-24高一上·江苏泰州·阶段练习）设集合，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据交集的概念，结合集合中元素的互异性可得. 【详解】因为，，， 所以，，，，， 当时，，集合满足题意， 当时，或（舍去）， 此时，不满足题意， 综上， 故答案为：2 【变式3】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）已知集合，则集合中的元素个数为 . 【答案】 【分析】求出分式不等式的解集，利用列举法写出集合中的元素即可求解. 【详解】由可知，且，解得， 则，即集合中的元素个数为， 故答案为：. 题型03集合的表示方法综合 【典例1】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）已知，则集合用列举法表示为 . 【答案】 【分析】根据题中已知条件对的正负进行分类讨论即可得出结果. 【详解】由可得或， 当时， 若，则， 若，则； 当时， 若，则， 若，则； 根据集合元素的互异性可知，列举法表示为. 故答案为： 【典例2】（23-24高一·全国·随堂练习）选择适当的方法表示下列集合： (1)对于一元二次函数，当时，所有x的取值组成的集合； (2)一元二次函数的所有函数值组成的集合； (3)抛物线上的所有点组成的集合； (4)在平面直角坐标系中，抛物线在第一象限内的所有整点（横、纵坐标均为整数的点）组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，分别用列举法或描述法表述即可． 【详解】（1）对于一元二次函数，当时，所有x的取值组成的集合为． （2）一元二次函数的所有函数值组成的集合为； （3）抛物线上的所有点组成的集合为； （4）由题可， 故若，则，若，则，若，则， 所以，在平面直角坐标系中，抛物线在第一象限内的所有整点（横、纵坐标均为整数的点）组成的集合为． 【变式1】（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）集合，用列举法可以表示为 【答案】 【分析】利用中元素满足的条件可知，可以取，分别对其进行验证看是否符合题意即可. 【详解】根据集合中的可知可以取； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 即符合题意的的值可以取， 对应的值依次是， 所以可得集合列举法可以表示为. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，试用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据，可得可取，分布求出对应的，即可得解. 【详解】解：因为，所以可取， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）用描述法表示下列集合． (1)所有不在第一、三象限的点组成的集合； (2)所有被3除余1的整数组成的集合； (3)使有意义的实数x组成的集合． (4)方程的解集． 【答案】(1) (2) (3)且 (4) 【分析】（1）根据点的特点得出解集； （2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集； （3）解不等式即可； （4）解方程得出解集. 【详解】（1）∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上， ∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为． （2）∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为 ． （3）要使有意义．则．解得且． ∴使有意义的实数x组成的集合为且． （4）由，解得．∴方程的解集为． 题型04子集（真子集）及其应用 【典例1】（23-24高一上·上海·期中）已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 【典例2】（19-20高二·广西防城港·期中）设集合，B＝．若，求实数a的取值范围 【答案】或 【分析】分类讨论，、、四种情况讨论，再求并集即可. 【详解】因为，所以或或或， 当时，方程无实根， 所以，解得； 当时，方程有两个相等的实根， 所以 ，解得：； 当时，方程有两个相等的实根， 所以 ，此时无解； 当时，方程有两个不相等的实根， 所以，解得：； 综上所述：或， 【点睛】本题主要考查了集合之间的包含关系，分类讨论的思想，属于中档题. 【变式1】（2024·广西·二模）已知集合，，若，则实数 ． 【答案】 【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值. 【详解】因为，所以或，或， 又由集合中元素的互异性可知且且，且， 综上. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·宁夏中卫·期中）已知集合，集合，若，则实数a的取值范围是 . 【答案】或 【分析】求出集合的取值范围，根据，可得到集合的范围，从而确定实数a的取值范围，要注意考虑为空集的情况 【详解】由题可得，集合，当时，，满足； 当时，，若，则，且，即 综上可得，实数a的取值范围是或 故答案为：或 【变式3】（23-24高一上·福建福州·开学考试）已知集合A={aR|（x﹣1）a2+7ax+x2+3x﹣4=0}，{0}A，则x的值为 . 【答案】1或. 【分析】解方程+x2+3x﹣4=0，即得或，检验即得解. 【详解】因为{0}A， 所以+x2+3x﹣4=0， 所以或. 当时，7a+1+3﹣4=0，所以，集合A=，满足题意； 当时，或,集合A=，满足题意. 故答案为：1或. 【变式4】（23-24高一·全国·单元测试）已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}.若B⊆A，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出集合A，根据B⊆A，分B＝∅或B≠∅两种情况进行讨论，列不等式组，即可求出m的范围. 【详解】A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}＝{x|－1≤x≤6}. ∵B⊆A，∴B＝∅或B≠∅. 当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2.符合题意； 当B≠∅时， 解得：. 综上所述：m<－2或. 所以实数m的取值范围为. 故答案为：. 题型05交集、并集、补集运算 【典例1】（2024·重庆·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解分式不等式得集合A，解根式不等式得集合B，由集合交集及补集运算可得结果. 【详解】由题意知，， 则，所以． 故选：C． 【典例2】（23-24高一上·广东江门·期中）设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解法求解集合A和B，再由图可知求集合的补集，根据并集、补集运算求解即可. 【详解】由图象可知阴影部分对应的集合为， 因为，， 所以，所以. 故选：D 【变式1】（2024·广东茂名·模拟预测）已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合A，根据集合的运算求解. 【详解】， ， 图中阴影部分表示的集合是, ． 故选：B． 【变式2】（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集和交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以， 因为， 所以， 故选：D. 【变式3】（23-24高一下·湖北·阶段练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后可求. 【详解】，而， 故，故， 故选：D. 题型06交集、并集、补集应用 【典例1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）设集合 (1)全集，求; (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求集合A，根据补集和交集的定义可求； （2）由题可得，讨论和，结合空集的定义以及包含关系运算求解. 【详解】（1）由题意可得：，则或， 又， 所以． （2）由（1）可知：， 因为，可知，则有： 当时，可得，解得； 当时，可得，解得； 综上所述：实数a的取值范围为. 【典例2】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，集合 (1)求集合､. (2)若集合，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）解二次不等式和分式不等式求解集合A,B. （2）求出，的交集，通过讨论集合，得到关于的不等式组，解出即可； 【详解】（1），解得或， 故或； ，解得，故． （2）由题意得：， 由， 当则，解得； 当 解得： 综上：实数的取值范围为. 【变式1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知集合，则的取值集合为 . 【答案】 【分析】本题根据集合之间的关系，对参数分类讨论，即可确定参数的取值. 【详解】由题意可知：， 因为,所以当时，； 当时，则, 则或，解得或， 综上得，a的取值集合是. 故答案为： 【变式2】（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）已知集合，. (1)若，求集合； (2)若“”的充分不必要条件是“”，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据不等式的解法，求得和，结合集合交集的运算，即可求解； （2）根据题意，分类讨论求得集合，结合“”是“”的充分不必要条件，即集合是的真子集，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由不等式，即，解得，即 当时，集合， 又由，解得，所以， 所以. （2）解：由（1）知， 又由，可得， 当时，解得，即集合； 当时，集合； 当时，解得，即集合， 因为“”是“”的充分不必要条件，即集合是的真子集， 所以当时，满足，解得； 当时，不符合题意； 当时，满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为或 【变式3】（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）已知集合，集合. (1)当时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，分别求出集合、，即可求出； （2）根据是的充分条件，课确定，然后分和分别确定的取值范围，再合并在一起. 【详解】（1）由，即解得：，所以. 当时，，所以. （2）因为是的充分条件，所以. 当时，，解得：； 当时，要满足题意需，解之得：. 综上：实数的取值范围为. 题型07充分性与必要性的判断 【典例1】（2024·天津·二模）已知：，：，则是的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解. 【详解】由，解得，由，解得， 所以能推出，不能推出，则是的充分不必要条件. 故选：A 【典例2】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别解出两个不等式的解集，即可求解. 【详解】因为，解得或， 即，解得或， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 【变式1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）已知，那么p的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据命题的不等式得到解集，由集合的包含关系判断充分、必要性即可. 【详解】由题意可知， ，解得， 要的一个充分不必要条件， 即要集合的一个真子集， 故D满足条件. 故选：D. 【变式2】（23-24高二上·湖南长沙·期末）集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解不等式化简，再用充分必要条件判定得答案. 【详解】或， 或， 则，反之不成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式3】（2024·北京房山·一模）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先求出，再由充分条件和必要条件的定义求解即可. 【详解】由可得：， 解得：， 所以“”能推出“”， 但“”推不出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 题型08根据充分性与必要性求参数 【典例1】（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并集运算直接得结果； （2）根据必要条件可得集合的关系，对集合分类讨论即可得结论. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 【典例2】（23-24高一上·湖北咸宁·期末）设全集，集合，集合，其中. (1)当时，求； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分式不等式以及一元二次不等式的求解，根据补集与交集的运算，可得答案； （2）根据必要不充分条件的集合表示，建立不等式，可得答案. 【详解】（1）由得：，解得：， 则，； 当时，，解得， 则；. （2）由（2）知：；由, 解得：，即， 因为是的必要不充分条件，是的真子集， 且等号不会同时取到，解得， 即实数的取值范围为. 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期末）已知. (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）解不等式化简集合A，把代入，再利用补集、交集的定义求解即得； （2）由（1）的信息，利用充分不必要条件的定义列式求解即得. 【详解】（1）解不等式，得，于是，或， 当时，， 所以或. （2）由是的充分不必要条件，得是的真子集， 则或，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】（23-24高一上·湖北·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）解绝对值不等式得集合A，利用交集与补集的概念计算即可； （2）根据充分不必要条件的定义结合集合间的基本关系分类讨论计算即可. 【详解】（1）由知，解得， 当时，， 故{或}， ∴； （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴B是A的真子集， ∴当时，，解得，显然成立； 当时，，且及中等号不能同时取得， 解得， 综上，m的取值范围是{或}． 【变式3】（23-24高一上·福建三明·期末）集合，或，且． (1)求，的值； (2)若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由是方程的根得，再结合已知条件解一元二次不等式得. （2）由充分不必要条件得集合的包含关系，进一步分类讨论列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为，或， 所以是方程的根， 所以． 由可得或，所以或， 又因为，或， 所以，． （2）因为或，， 所以， 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时满足题意，此时，即， 当时，此时或，则， 综上所述，实数的取值范围是． 题型09根据全称量词命题与存在量词命题真假求参数 【典例1】（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，”为假命题，则实数a可取的最小整数值是 . 【答案】 【分析】根据题意得：“，”为真命题，分离参数求解函数最值即可求解. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则，使得，所以， 因为，，所以当时，有最小值， 所以，所以实数a可取的最小整数值是. 故答案为：. 【典例2】（23-24高一上·浙江宁波·期中）（1）若，，求实数a的取值范围； （2）若，，求实数x的取值范围． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可； （2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可. 【详解】（1）因为，， ①当时，不等式对成立，符合题意. ②当时，若不等式对恒成立， 则，解得， 综上，实数a的取值范围. （2），， 即，， 所以，而在上单调递增， 所以，解得， 故实数x的取值范围. 【变式1】（22-23高一上·浙江宁波·期中）若“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意可得在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】解：∵“”是假命题， ∴，为真命题， 即在上恒成立， 当时，，当且仅当时，等号成立， 所以. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·山东烟台·期中）已知命题，为真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】根据题意可知，需对二次项系数进行分类讨论，并结合判别式即可求出实数的取值范围 【详解】由题意得：当时，，不符题意； 当时，的对称轴为， 所以，只需，解得：， 当时，显然满足题意， 综上，的取值范围为或 故答案为：或 题型10分类与整合思想 【典例1】（23-24高一上·安徽安庆·阶段练习）已知集合 (1)若求实数的取值范围. (2)是否存在实数，使得?若存在求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）分，，得到集合A，再利用求解； （2）分，，得到集合A，再利用求解； 【详解】（1）当时，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 当时，，因为所以，解得， 综上：实数的取值范围是或； （2）当时，，不成立； 当时，，，不成立； 当时，，因为所以，解得； 综上：实数的值是2； 【典例2】（23-24高一上·四川成都·阶段练习）关于的方程（）的解集为（），关于的方程（）的解集为 (1)对于集合，，若，，则．求证： (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据子集的定义，结合方程解的性质进行证明即可； （2）根据集合相等的定义，结合一元二次方程根的判别式分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）设，∴，将带入方程等式成立． ∴是方程的解， ∴，∴； （2）∵，∴有实根， ∴，∴， ∵集合为方程即的根的集合， 由（1）的结论 且集合为方程根的集合， ∴因式分解后必定含有因式， 由多项式的除法：， ∵， ∴无实根或其根为方程的根， 当无实根时， ，解得， 当的根为方程的根时， ①当有两不等实根时，由韦达定理，其根不可能与的根相同； ②当有两相等实根时，即即时， 方程的根为，此根刚好是的根，满足条件． 综上：故的取值范围是. 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据集合相等的定义判断出无实根或其根为方程的根. 【变式1】（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据补集、交集的定义计算可得； （2）分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）当时，， 又或，所以， 所以. （2）因为，又且， 当，即时，符合题意； 当时，则，解得， 综上可得，即实数的取值范围是. 【变式2】（23-24高一上·河南·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据一元二次方程有唯一解列式计算即可； （2）先求解一元二次方程化简集合A，由得，结合判别式分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，所以关于的方程有两个相等的实数根， 则，解得，故实数的取值范围为. （2）， 因为，所以，则， 所以可能为. ①若，则，解得或； ②若，则，所以，解得； ③若，则，无解，即； ④若，则，无解，即. 综上，或. 题型11等价转换思想 【典例1】（23-24高一上·重庆·期末）已知集合,． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出，再求； （2）由可得，讨论和两种情况，进而得到的取值范围. 【详解】（1）当时，所以， 因为，所以， 所以； （2）因为，所以， 当时，符合题意，则，即， 当时，则只需，解得， 综上可得实数的取值范围为. 【典例2】（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求的取值集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，然后利用交集知识从而求解. （2）根据集合并集的结果得到集合的包含关系，进而分类讨论，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以. （2）因为，所以， 当时，即，解得； 当时，，解得， 所以的取值集合为 【变式1】（23-24高一下·云南红河·开学考试）已知集合，集合. (1)求； (2)若集合，，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合的并集运算即可得解； （2）先根据题意得到，再分析得，从而利用集合的包含关系即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以； （2）因为，所以，又， 因为，恒成立，故， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式2】（23-24高一上·湖南株洲·期中）已知集合，，且. (1)当时，求； (2)若，求m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件求得集合，再求即可； （2）由集合的包含关系，列出满足的不等式即可求得结果. 【详解】（1）当时，，因为， 所以. （2）由题可知，，因为， 所以且，解得 所以m的取值范围为. 题型12数形结合的思想 【典例1】（22-23高一·全国·课堂例题）设，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用数轴结合即可得到参数范围. 【详解】因为，所以利用数轴表示，如图，可知．    故选：B. 【典例2】（23-24高一上·重庆合川·阶段练习）已知集合或，，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】讨论集合B是否为空集，根据列出不等关系求解. 【详解】①当，即，满足题设； ②当时，即，画数轴如图所示.，      由知，或，即或. 又，所以或. 综上，所求的取值范围是或. 【变式1】（22-23高三上·北京·阶段练习）设集合，，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合数轴分析即可. 【详解】 由数轴可得，若，则. 故选：B. 题型13新定义题 【典例1】（2024·北京·三模）设，若非空集合同时满足以下4个条件，则称是“无和划分”: ①； ②； ③，且中的最小元素大于中的最小元素； ④，必有. (1)若，判断是否是“无和划分”，并说明理由. (2)已知是“无和划分”（）. ①证明:对于任意，都有； ②若存在，使得，记,证明：中的所有奇数都属于. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）取，则，即可得到结论； （2）①假设存在，使得，记的最小值为，得到，设B中最小的元素为，求得 不同属于，列出方程组，即可得到结论； ②由①知 ，设中最小的元素为, 得出 矛盾， 求得，进而得到，，得到对于任意奇数 都有 ，进而得到结论. 【详解】（1）解：不是. 理由如下：取，则，说明不是“无和划分”. （2）解：①假设存在，使得, 记的最小值为，则； 设B中最小的元素为，则，所以， 所以，（否则与矛盾）， (否则与 矛盾)，所以 ， 因为 ，所以 不同属于， 所以 这与矛盾，所以假设不成立. ②因为是“无和划分”, 且存在, 使得 记i的最小值为， 所以 ， 由①知 ， 因为, 所以 ，所以， 设中最小的元素为, 若，则，所以 ， 所以 (否则与 矛盾)， 所以 (否则 与 矛盾)， 所以 ，又因为 和 不同属于C，所以 ， 这与 矛盾， 所以，即， 所以，所以，所以， 所以(否则与 矛盾)，所以 ， 若，则与 和 矛盾， 所以所以, (否则与 矛盾)， (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意奇数 都有 ， 所以为偶数(否则， 与2∈B和 矛盾), 所以 均为奇数. 因为 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 所以 ，所以 (否则与 矛盾)，所以 ， 以此类推，对于任意大于，小于或等于的奇数都属于集合， 综上所述，中的所有奇数都属于集合. 【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略： 1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 方法点拨：与数列有关的问题的求解策略： 3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识. 4、若新定义与集合的运算有关，要熟记集合的性质以及集合的运算法则，必要时可利用集合的韦恩图，更加直观的求解. 【典例2】（23-24高一上·上海·期中）集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”． (1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）； (2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”； (3)若集合是“可分集合”，证明是奇数． 【答案】(1)不是“可分集合”，为“可分集合” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由“可分集合”的定义判断； （2）不妨设，讨论当在集合中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可证得结论成立； （3）根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性讨论后证明. 【详解】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”， 对于，集合所有元素之和为. 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意； 当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意. 综上所述，集合是“可分集合”. （2）证明：不妨设， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有①，或者②， 若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③得，矛盾，由①④得，矛盾， 由②③得矛盾，由②④得矛盾， 故当时，集合一定不是“可分集合”． （3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数， 故的奇偶性相同， ①若为奇数，则为奇数，易得为奇数， ②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”， 若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数 综上，集合中元素个数为奇数. 【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性. 【变式1】（2024·北京·模拟预测）已知集合，其中都是的子集且互不相同，记的元素个数，的元素个数. (1)若，直接写出所有满足条件的集合； (2)若，且对任意，都有，求的最大值； (3)若且对任意，都有，求的最大值. 【答案】(1)或或或 (2) (3) 【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可； （2）将集合的子集进行两两配对得到16组，写出选择的16个含有元素1的子集即可得到； （3）分中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及均为三元集合讨论即可. 【详解】（1）因为，则和的元素个数均为1， 又因为，则， 若，，则或； 若，，则或； 综上或或或. （2）集合共有32个不同的子集， 将其两两配对成16组， 使得，则不能同时被选中为子集，故. 选择的16个含有元素1的子集:，符合题意. 综上，. （3）结论:，令，集合符合题意. 证明如下： ①若中有一元集合，不妨设，则其它子集中都有元素1，且元素都至多属于1个子集， 所以除外的子集至多有个，故. ②若中没有一元集合，但有二元集合，不妨设.其它子集分两类: 或，和或， 其中互不相同，互不相同且均不为1，2. 若，则，有 若，则由得每个集合中都恰包含中的1个元素（不是2)，且互不相同， 因为中除2外至多还有2个元素，所以. 所以. ③若均为三元集合，不妨设.将其它子集分为三类： ，其中. 若，则(除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合)， 所以. 若，不妨设，则由得每个集合中都或者有4、或者有5， 又中除1外无其它公共元素，所以. 所以. 综上，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对中集合元素个数进行分类讨论；当均为三元集合时，不妨设，再将其它子集分为三类讨论. 题型14易错题型（容易忽略） 【典例1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）已知集合，若，则实数组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分、讨论可得答案. 【详解】当时，，符合题意； 当时，，又， 所以，或，解得，或， 所以实数组成的集合为. 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设集合，且，则实数的取值范围 ． 【答案】或 【分析】分和两种情况求解即可. 【详解】， 或， ①时，有，解得． ②时，有，解得． 综上，或 【变式1】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分与，结合，求出实数a的取值范围. 【详解】， 当时，，故满足， 当时，若，则，解得， 若，则，解得， 综上，实数a的取值组成的集合为. 故选：D 【变式2】（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）设集合，，若，则实数t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由可知，讨论与，即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 当时：，满足题意； 当时：，无解； 所以实数t的取值范围为. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$