第05讲 1.5全称量词与存在量词（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第05讲 1.5全称量词与存在量词 课程标准 学习目标 ①理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法. ②理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定的数学要求 1．通过学习能准确判定全称量词命题与存在量词命题的真假性，会用数学符号准确表达题的具体要求. 2．能根据题的具体要求准确写出两类量词命题的否定，会求在两类量词命题中的待定参数.以及与两类量词有关的命题的综合问题. 知识点01：全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点02：存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 【即学即练1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 题型01 判断全称量词命题与存在量词命题 【典例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【答案】C 【分析】先判断量词，然后判断命题真假即可. 【详解】A.所有正方形都是矩形为全称量词命题，故A错误； B.，使为存在量词命题，，方程无解，该命题为假命题，故B错误； C.至少有一个实数，使为存在量词命题，当时，方程成立，该命题为真命题，故C正确； D. ，使为存在量词命题，无解，故D错误； 故选：C 【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)全称量词命题 (4)全称量词命题 【分析】根据全称量词和存在量词的特点逐个判断即可 【详解】（1）正方形的四条边相等可以理解为所有正方形的四条边都相等，所以是全称量词命题； （2）至少有一个正整数是偶数可以理解为至少存在一个正整数是偶数，所以是存在量词命题； （3）正数的平方根不等于0可以理解为所有正数的平方根都不等于0，所以是全称量词命题； （4）有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形可以理解为所有的有两个角为45°的三角形都是等腰直角三角形，所以是全称量词命题. 【变式1】（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 【答案】ABD 【分析】ABD选项，为全称量词命题，且可推出为真命题；C选项为存在量词命题，错误. 【详解】A选项，矩形的对角线互相平分且相等，为全称量词命题，且是真命题，A正确； B选项，对任意非正数c，若，则，为全称命题，且是真命题，B正确； C选项，有些菱形不是平行四边形为存在量词命题，C错误； D选项，对任意实数x，不等式恒成立，为全称量词命题， 因为，故不等式恒成立，为真命题，D正确. 故选：ABD 【变式2】（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无解； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直； (4)存在一个自然数n，使代数式的值是负数． 【答案】(1)不是 (2)是；“有些” (3)是；“存在” (4)是；“存在” 【分析】根据存在量词命题的判断即可得到答案. 【详解】（1）不是 （2）是；存在量词是“有些”； （3）是；存在量词是“存在”； （4）是；存在量词是“存在”. 题型02全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例1】（2024高二下·浙江·学业考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据全称量词命题的否定形式直接求解即可. 【详解】全称量词命题：，它的否定为：. 所以命题“”的否定是“”. 故选：D. 【典例2】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可； 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 故选：D 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】由于全称量词命题的否定为存在量词命题， 所以命题的否定是. 故选：C 【变式2】（2024高二下·湖南·学业考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】命题“，”的否定为“，”， 故选：C. 题型03 全称量词命题、存在量词命题与充分（必要）条件 【典例1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）由，根据，分类求参数即可； （2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或， 进而可得时的取值范围. 【详解】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为或. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 【典例2】（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可； （2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解， 即，解得，故集合； （2）由是的必要不充分条件，可知， 当时，既，解得，此时满足， 当时，如图所示，    故且等号不同时成立， 解得， 综上所述，的取值范围是. 【变式1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，结合，即可求解； （2）根据题意，得到，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）由命题：“，”为真命题，即不等式在上恒成立， 可得，解得，所以实数的取值集合为. （2）解：由“”是“”的充分条件，可得， 因为，， 当时，可得，解得，此时满足； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为.或 【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简集合，再求并集即可； （2）转化为，讨论B是否为空集列不等式组求解. 【详解】（1） 时，=， 故=； （2）若命题：“，”是真命题，则， 若， 若，解得， 综上得. 【变式3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将转化为，利用子集的定义即可列出不等式求解. （2）将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，即， 所以实数a的取值范围是. （2）命题“，则”是真命题，所以. 当时，，解得； 当时，，解得，所以. 综上所述，实数a的取值范围是. 【变式4】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）设全集，集合，非空集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据充分不必要条件与集合的等价关系可知，A是B的真子集，即可解出； （2）根据题意可知B是A的子集，即可解出. 【详解】（1）因为“”是“”的充分不必要条件，所以， 则，等号不能同时取到， 所以； （2）命题“，则”是真命题，所以， 因为，则，又， 所以. 题型04 根据全称量词命题的真假求参数 【典例1】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，写出全称命题的否定，根据其真假性以及一元二次方程的性质，可得答案． 【详解】易知：是上述原命题的否定形式，故其为真命题， 则方程有实数根，即． 故选：A． 【典例2】（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据命题为真得到，解得答案. 【详解】命题“”是真命题，则，解得. 故答案为：. 【典例3】（2024高一·江苏·专题练习），恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合恒成立问题分析求解. 【详解】因为，则， 令，则， 若，恒成立，则，解得， 所以m的取值范围为． 【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“”为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求命题对应的取值范围，再判断. 【详解】由，即在恒成立， ，开口向上，对称轴为，则其最大值为， 则，则它的一个充分条件，范围应该比较它小，A选项满足. 故选：A 【变式2】（23-24高一上·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：对，恒成立，根据恒成立问题结合一次函数列式求解. 【详解】由题意可知：对，恒成立， 则，解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 题型05 根据存在量词命题的真假求参数 【典例1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据命题的否定为真，转为最值求解即可. 【详解】， 是假命题，则其否定恒成立为真， 又 故， 故选：B 【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“使不等式”为假命题，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】依题意可得“使不等式”为真命题，将原不等式整理成关于的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论 【详解】解：因为命题“使不等式”为假命题，则其否定 “使不等式”为真命题， 所以不等式，可化为， 当，即时，恒成立，合题意． 当时，要使不等式恒成立，需即，解得． 综上可得的取值范围为． 【点睛】本题考查求不等式恒成立的参数的取值范围，考查分类讨论的数学思想，属于中档题． 【变式1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据原命题与它的否定的真值相反性质将命题转化为真命题，再分类考虑即得. 【详解】由命题是假命题可知：命题是真命题， 即有：①当时，不等式恒成立； ②当时，须使 解得： 综上所述,可知的范围是 故选：D. 【变式2】（多选）（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，转化为存在，设定，利用二次函数的性质，求得的最小值为，求得的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解. 【详解】由题意，存在，使得，即， 当时，即时，的最小值为，故； 所以命题“存在，使得”为真命题的充分不必要条件是的真子集， 结合选项可得，C和D项符合条件. 故选：CD. 【变式3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 【答案】(1)4 (2)0 【分析】（1）由得是方程的根，代入方程可求答案； （2）根据两个方程有公共解可求实数的值． 【详解】（1）因为，所以，解得； （2）因为命题为真命题， 所以方程组有公共解，解得， 当时，经检验知，符合题意. 题型06 简单的恒成立与有解问题 【典例1】（23-24高一上·四川绵阳·期中）命题：“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】由命题：为真命题，则满足，解得. 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式恒成立得到，解得答案. 【详解】不等式在上恒成立，则，解得. 故答案为： 【变式1】（2024·海南·模拟预测）若，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，转化为，即可求解. 【详解】因为，使得，又因为，所以， 所以实数的取值范围为． 故选：B. 【变式2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】BCD 【分析】 将条件转化为对应方程有根问题，分和两种情况，进行求解即可． 【详解】 命题：，，为真命题， 即有根， 当时，成立， 当时，需满足，解得且， 的取值范围为， 故选：BCD． 【变式3】（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】取得到，恒成立，得到答案. 【详解】取，则，恒成立，故“”为假命题. 故答案为： 题型07 方法一:判别法 【典例1】（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据得到答案. 【详解】，，为真命题，故， 解得， 故实数的取值范围是. 故答案为： 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若，方程恒有解，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】当时，；当时，得，即恒成立，再根据判别式小于等于可得结果. 【详解】当时，方程恒有解，所以； 当时，∵方程恒有解， ∴恒成立，即恒成立. 又是一个关于的一元二次不等式， ∴，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式1】（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知命题，，若是假命题，则实数的取值范围为 【答案】 【分析】依题意可得为真命题，再结合判别式法，即可求解． 【详解】因为是假命题，则为真命题， 故，解得， 故实数的取值范围为． 故答案为：． 【变式2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 【答案】（1）. 【分析】（1）由题意“，”为真命题，进而有，即可求参数范围. 【详解】（1）命题“，”为假命题， 命题的否定“，”为真命题， ，即，解得， 实数的取值范围是. 题型08 方法二：变量分离法 【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得“”为真命题，即，即时，，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为命题“”为假命题， 所以“”为真命题， 所以， 所以当时，， 根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值， 所以， 故选：A. 【典例2】（多选）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件，将原题转化为函数恒成立问题，结合参变量分离法求出的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出合适的选项． 【详解】若命题“，”为真命题，则， 且，， 所以，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是或， 故选：CD. 【变式1】（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】判断充分必要条件，一般先求出原命题的充要条件，如此题中，“”为真命题的充要条件是，然后再根据充分必要条件的要求进行逐一判断即可. 【详解】由命题“”为真命题等价于在上恒成立， 即，因，故有：在上恒成立， 设，因，故得：，则，即得：， 依题意， 应是正确选项的真子集，而符合要求的包括A,C,D三个选项. 故选：ACD. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据要写条件，利用存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以，的否定为，， 故选：D 2．（23-24高二下·浙江·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到. 【详解】命题 “”的否定是“”， 故选：A. 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C．任意一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是无理数 【答案】A 【分析】 存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】 因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数， 故选：A 4．（2024高三·全国·专题练习）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　） A．¬p：∀x∈A，2x∉B B．¬p：∀x∉A，2x∉B C．¬p：∀x∉A，2x∈B D．¬p：∃x∈A，2x∉B 【答案】D 【解析】略 5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知=“，使得”成立，即方程有实数解， 所以. 故选：D 7．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据存在性的定义，结合反比例函数的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 因为，所以， 因为p是真命题， 所以， 故选：C 8．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“，”是真命题得到方程有解，然后根据根的判别式列方程求解即可. 【详解】因为“，”是真命题，所以，解得. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】由题意可得该命题的否定为真，进而讨论与结合二次函数的性质判断即可. 【详解】命题，为假命题，则，. 当时满足题意；当时，有，解得. 综上有 故选：ABC 10．（23-24高一上·四川达州·期中）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由全称命题为真命题求出的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论. 【详解】若命题“，”是真命题，则， 因为，，， 所以，原命题为真命题的一个充分不必要条件是BC选项. 故选：BC. 三、填空题 11．（23-24高一上·吉林·阶段练习）命题“”的否定是 . 【答案】 【详解】命题“”的否定是， 故答案为：. 12．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知命题：，使得，若是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分离变量可得，结合能成立的思想和二次函数最值的求法可求得结果. 【详解】由得：； ，使得，； 为开口方向向上，对称轴为的抛物线， 当时，， 的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题，命题q：. (1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由. 【详解】（1）由题设，则， 若命题为假命题，则为真命题，故. （2）若为真，则，可得， 由（1）知：若命题为真，则， 所以，存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题，. 14．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知命题p：，，命题q：，使得 (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，转化为在上恒成立，即可求解； （2）根据题意，结合基本不等式，求得的最小值为，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）解：由命题为真命题， 即不等式在上恒成立，即在上恒成立， 则满足，解得，即实数的取值范围为. （2）解：当时，可得，则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为， 因为命题，使得为真命题，所以， 由（1）知，命题为真命题时，得， 当命题为真命题，为假命题时，可得； 当命题为真命题，为假命题时，可得， 所以实数的取值范围为. B能力提升 1．（23-24高三上·江苏南京·开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论时是否符合题意，当时，不等式恒成立的等价条件为且即可求解. 【详解】当时，等价于不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则即可得：， 综上所述：实数的取值集合是， 故选：B. 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由命题p：“，”是真命题，可知，根据子集的含义解决问题； （2）命题q：“，”是真命题，所以，通过关系解决. 【详解】（1）由命题p：“，”是真命题，可知， 又，所以 ，解得． （2）因为，所以，得． 因为命题q：“，”是真命题，所以， 所以，或，得． 综上，． C新定义题型 1．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 【答案】A 【分析】对于①，分类讨论、、、和五种情况分别求解即可判断； 对于②，分类讨论为整数和不为整数时原式是否成立，对于不为整数时，进一步分类讨论其小数部分即可. 【详解】对于①： 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，不符合题意； 当时，； 则符合题意，不符合题意； 综上，是单元素集，故①正确. 对于②： 当为整数时，成立； 当不为整数时，设（为整数，）， 当时，，， 此时，成立； 当时，，则，， 此时，成立； 当时，，， 此时，成立； 综上，对于任意，成立，故②正确. 故选：A 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 . ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 【答案】①②③ 【分析】根据已知条件及集合具有性质的定义，结合反证法即可求解. 【详解】因为，所以 ， 根据集合具有性质的定义，对于任意， 若，则或，或， 若，取，则； 若，取，则； 若，取，则； 若有一个为负数，则或， 若，则取，则； 若，则取，则； 故①正确； 对于任意，存在，使得 取，存在使得，所以， 不妨设，所以若集合具有性质，则，故②正确； ③假设，令，则存在使得， 同②得中必有一个数为， 若，则，于是，矛盾， 若，则，于是，也矛盾， 所以，又由②得，所以，所以，故③正确， 故真命题是①②③正确. 故答案为：①②③. 【点睛】解决此题的关键是抓住集合具有性质的定义，结合反证法即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 1.5全称量词与存在量词 课程标准 学习目标 ①理解全称量词与存在量词的含义，并能掌握全称量词命题与存在量词命题的概念，能用数学符号表示两种命题，能准确判断两类命题的真假，及判定方法. ②理解含有一个量词的命题的否定的意义，能准确表达含有一个量词的命题否定的数学要求 1．通过学习能准确判定全称量词命题与存在量词命题的真假性，会用数学符号准确表达题的具体要求. 2．能根据题的具体要求准确写出两类量词命题的否定，会求在两类量词命题中的待定参数.以及与两类量词有关的命题的综合问题. 知识点01：全称量词与全称量词命题 概念:短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题. 表示:全称量词命题“对中任意一个,成立”可用符号简记为.　 对全称量词与全称量词命题的理解 (1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题.注意:全称量词表示的数量可能是有限的,也可能是无限的,由题目而定. (2)常见的全称量词还有“一切”“任给”等. (3)一个全称量词命题可以包含多个变量,如“”. (4)全称量词命题含有全称量词,有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需把它补充出来.例如,命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 知识点02：存在量词与存在量词命题 概念:短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 表示:存在量词命题“存在中的元素,成立”,可用符号简记为. 对存在量词与存在量词命题的理解 (1)从集合的观点看,存在量词命题是陈述某集合中有(存在)一些元素具有某种性质的命题. (2)常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个”“有的”等. (3)含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. (4)一个存在量词命题可以包含多个变量,如“”. (5)含有存在量词“存在”“有一个”等的命题,或虽没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 知识点03：全称量词命题和存在量词命题的否定 1全称量词命题及其否定（高频考点） ①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：. ②全称量词命题的否定：. 2存在量词命题及其否定（高频考点） ①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：. ②存在量词命题的否定：. 【即学即练1】（23-24高一上·安徽马鞍山·阶段练习）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：C 知识点4：常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是 否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有 题型01 判断全称量词命题与存在量词命题 【典例1】（23-24高一上·浙江宁波·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是（    ） A．所有正方形都是矩形 B．，使 C．至少有一个实数，使 D．，使 【典例2】（2024高一·江苏·专题练习）判断下列命题是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)正方形的四条边相等； (2)至少有一个正整数是偶数； (3)正数的平方根不等于0； (4)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形. 【变式1】（多选）（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（         ） A．矩形的对角线互相平分且相等 B．对任意非正数c，若，则 C．有些菱形不是平行四边形 D．对任意实数x，不等式恒成立 【变式2】（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词： (1)实数都能写成小数； (2)在实数集内，有些一元二次方程无解； (3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直； (4)存在一个自然数n，使代数式的值是负数． 题型02全称量词命题与存在量词命题的否定 【典例1】（2024高二下·浙江·学业考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（23-24高三下·青海西宁·阶段练习）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）命题的否定是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高二下·湖南·学业考试）命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型03 全称量词命题、存在量词命题与充分（必要）条件 【典例1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【典例2】（23-24高一上·湖南·期中）已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为. (1)求集合； (2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知命题：“，”为真命题. (1)求实数的取值集合； (2)设集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【变式2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期中）已知集合，． (1)时，求 (2)若命题：“，”是真命题，求实数的取值范围． 【变式3】（23-24高一上·山东淄博·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)若，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围． 【变式4】（23-24高一上·江西景德镇·阶段练习）设全集，集合，非空集合. (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围； (2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围. 题型04 根据全称量词命题的真假求参数 【典例1】（23-24高一下·湖南长沙·阶段练习）若命题“”为假命题，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是 . 【典例3】（2024高一·江苏·专题练习），恒成立，求实数m的取值范围． 【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）命题“”为真命题的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·海南·阶段练习）对，一次函数的图象总在x轴下方，则实数m的取值范围是 . 题型05 根据存在量词命题的真假求参数 【典例1】（23-24高一上·浙江·阶段练习）若命题是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）命题“使不等式”为假命题，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·贵州六盘水·期中）命题是假命题，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024·重庆·三模）命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·云南曲靖·期中）已知集合． (1)若，求实数的值； (2)若命题为真命题，求实数的值． 题型06 简单的恒成立与有解问题 【典例1】（23-24高一上·四川绵阳·期中）命题：“”为真命题，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知命题“关于的不等式在上恒成立”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【变式1】（2024·海南·模拟预测）若，使得，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2024·辽宁·模拟预测）已知命题：，，若为真命题，则的值可以为（    ） A． B． C．0 D．3 【变式3】（23-24高一上·北京通州·期中）能说明“”为假命题的一个实数的值为 . 题型07 方法一:判别法 【典例1】（23-24高一下·四川泸州·期中）命题“，”是真命题，则实数的取值范围是 . 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若，方程恒有解，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·天津红桥·阶段练习）已知命题，，若是假命题，则实数的取值范围为 【变式2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）（1）若命题“，”为假命题，求的取值范围． 题型08 方法二：变量分离法 【典例1】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知命题“”为假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（22-23高一上·江苏南京·阶段练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（23-24高一上·四川凉山·期末）使得命题“”为真命题的必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二下·浙江宁波·期中）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高二下·浙江·期中）命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一上·全国·专题练习）已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．存在一个无理数，它的平方不是有理数 C．任意一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方是无理数 4．（2024高三·全国·专题练习）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（　　） A．¬p：∀x∈A，2x∉B B．¬p：∀x∉A，2x∉B C．¬p：∀x∉A，2x∈B D．¬p：∃x∈A，2x∉B 5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知命题，为假命题，则a可能的取值有（    ） A． B． C．0 D．1 10．（23-24高一上·四川达州·期中）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高一上·吉林·阶段练习）命题“”的否定是 . 12．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知命题：，使得，若是真命题，则的取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知命题，命题q：. (1)写出命题的否定；若命题为假命题，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得命题和有且只有一个为真命题？若存在，求出实数的取值范围；若不存在；请说明理由. 14．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知命题p：，，命题q：，使得 (1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题p和命题q有且仅有一个真命题，求实数m的取值范围. B能力提升 1．（23-24高三上·江苏南京·开学考试）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值集合是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合 ，，且． (1)若命题p：“，”是真命题，求实数m的取值范围； (2)若命题q：“，”是真命题，求实数m的取值范围． C新定义题型 1．（23-24高一上·上海松江·期末）设，用表示不超过的最大整数，则称为“取整函数”，如：，.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合是单元素集：②对于任意，成立，则以下说法正确的是 （    ） A．①②都是真命题 B．①是真命题②是假命题 C．①是假命题②是真命题 D．①②都是假命题 2．（23-24高一上·上海嘉定·期中）对于数集，其中，定义点集，若对于任意，存在，使得，则称集合具有性质.则下列命题中为真命题的是 . ①具有性质； ②若集合具有性质，则； ③集合具有性质，若，则. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$