第04讲 1.4充分条件与必要条件（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第04讲 1.4充分条件与必要条件 课程标准 学习目标 ①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. ②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. 1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断. 2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明. 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练1】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若非空集合，则“或”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】 根据集合之间的关系以及交运算中元素的特点，结合题意，即可判断充分性和必要性. 【详解】因为，故；    若，且，满足“或”，显然，故充分性不满足； 若，则，满足“或”，故必要性满足； 故“或”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【即学即练2】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【分析】化简得，由充分与必要条件判断的取值范围即可. 【详解】由得，因为不等式成立的必要条件是，所以，解得，符合题意的选项有：A，B，C. 故选：ABC 题型01判断命题的真假 【典例1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义、空集的性质，结合不等式的性质、有理数的性质逐一判断即可. 【详解】①：当时，方程变为，显然不是一元二次方程，因此本序号命题不是真命题； ②：因为空集是任何非空集合的真子集，所以本序号命题是真命题； ③：由显然能推出，所以本序号命题是真命题； ④：因为与的和是有理数，但是和都不是有理数，所以本序号命题不是真命题， 故选：B 【典例2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是 ①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个. 【答案】③④⑤ 【分析】当时即可判断①，根据空集定义判断②，根据集合相等判断③，解方程判断④，利用不等式的性质判断⑤，求出集合，即可判断⑥. 【详解】对于①：当时方程是一元一次方程，故①错误； 对于②：空集是任何非空集合的真子集，故②错误； 对于③：互相包含的两个集合相等，故③正确； 对于④：令，解得，所以函数的图像与轴有一个交点，故④正确； 对于⑤：若则，所以，故⑤正确； 对于⑥：满足的集合有，，， ，，共个，故⑥错误； 故答案为：③④⑤ 【变式1】（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【答案】C 【分析】根据四人的描述可知，甲和丙的说法要么同时成立，要么同时不成立；若同时成立则可知丁的说法也对，这不合题意；所以甲和丙的说法都不成立，据此分情况讨论即可得出结论. 【详解】由“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”． 所以甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符． 若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对， 这与“四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误； 若甲和丙的说法与结果不符，则乙､丁的预测成立 所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖､乙不获奖或者乙获奖､丙不获奖． 即获奖的两人为甲和丙，或者甲和乙. 故选：C 【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（    ） A．所有的素数都是奇数. B．的个位数字不等于2. C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例. D．存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】BCD 【分析】逐个判断命题即可. 【详解】对于A：2也是素数，但2不是奇数，所以A错误； 对于B：，则的末位数只能是0，1，4，5，6，9，所以B正确； 对于C：“两个三角形相似”，则三边成比例，“若三角形的三边成比例”，则这两个三角形是相似三角形，所以C正确； 对于D：当时，为无理数，则为有理数，所以存在一个无理数，他的立方是有理数，所以D正确， 故选：BCD 题型02充分条件、必要条件的判断 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解出绝对值不等式，根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】因为，所以或， 易得“”是“或”的充分不必要条件， 故选：A. 【典例2】（23-24高一上·天津·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】先解不等式，再利用集合的包含关系判断. 【详解】由题易知的解集为，真包含于， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【典例3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【答案】（1）（2）（3） 【分析】 根据充分、必要条件的定义，结合图形依次判断即可求解. 【详解】（1）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件，故（1）正确； （2）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件，故（2）正确； （3）开关A闭合，灯泡B亮；灯泡B亮时，开关A必须闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的充要条件，故（3）正确； （4）开关A闭合，灯泡B不一定亮；灯泡B亮时，开关A不一定闭合. 所以开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件，故（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3） 【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件概念直接判断即可. 【详解】将代入中，得， 所以“”是“”的充分条件； 由，得，即或， ∴“”不是“”的必要条件， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A． 【变式2】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用不等式的性质及二次不等式的解法即可得证. 【详解】先证： 因为，所以，，故，即，故； 再证： 因为，所以，即，故； 综上：“”是“”的充分必要条件. 故选：C 【变式3】（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（        ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由可得， 由“”不能推出“”， 但由“”可以推出“”． 故“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B. 【变式4】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得或，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 题型03 根据充分性，必要性求参数 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将是的必要不充分条件转化为，然后根据集合间的包含关系列不等式求解即可. 【详解】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由成立的一个充分不必要条件是，可得，再列不等式求解即可. 【详解】解：由题意，得，但， ∴，∴，即， 故答案为． 【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想,属中档题. 【典例3】（23-24高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用交集的定义求解． （2）利用必要不充分条件的定义列出不等式组即可求解． 【详解】（1）∵，又， ∴． （2）∵是的必要不充分条件， ∴， ∴（等号不同时成立），解得， ∴a的取值范围为． 【典例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，. （1）求集合； （2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？ (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 【答案】（1），；（2）答案见解析. 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可得答案； （2）选：①充分不必要条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可； 选：②必要不充分条件，则集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可； 选：③充要条件，则，再根据集合关系求解即可； 【详解】解：（1）不等式，故， 不等式，由于， 故 （2）选：①充分不必要条件 由（1）知，， 因为若是成立的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集； 所以，解得， 所以实数的取值范围为： 选：②必要不充分条件 由（1）知，， 因为若是成立的必要不充分条件， 所以集合是集合的真子集； 所以，解得，又因为，故 所以实数的取值范围为：； 选：③充要条件 由（1）知，， 因为若是成立的充要条件，所以， 所以，方程组无解. 所以不存在实数使得是成立的充要条件； 【变式1】（多选）（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 【变式2】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【点睛】由是的充分非必要条件，集合的包含关系列出不等式组，解之即可. 【详解】因为是的充分非必要条件， 所以是的真子集， 则（不同时取等号），解得， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或， 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是或， 【变式4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知， (1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将充分不必要条件转化为真子集关系即可求解， （2）将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解， 【详解】（1）由p是q的充分不必要条件，得集合是集合的真子集， 所以或 解得. 所以实数m的取值范围是. （2）由p是q的必要不充分条件，得集合是集合的真子集， 当，则，即时，符合题意； 当，即时， 可得或，解得． 综上可得 题型04探索命题为真的充要条件 【典例1】（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 【答案】C 【分析】根据不等式有解得到，解得答案. 【详解】存在实数x使得不等式成立，则， 解得或. 故“或”是“存在实数x使得不等式成立”的充要条件. 故选：C. 【典例2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ． 【答案】或， 【分析】利用判别式即可求出实数的取值范围． 【详解】一元二次方程有实数根，应满足， 解得或， 所以实数的取值范围是或， 故答案为：或， 【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由集合运算得出集合关系，通过包含得出结果； （2）分别将题目中给出的三个不同条件转化为集合之间的包含（或相等）关系，根据集合之间的包含（或相等）关系，得出结果. 【详解】（1）若，则， 则，解得， 所以实数的取值范围是． （2）若选择条件，即是的充分条件，则， 所以，解得， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的必要条件，则， 所以，解得． 又，所以， 所以实数的取值范围是； 若选择条件，即是的充要条件，则， 所以，方程组无解， 所以不存在满足条件的实数． 【典例4】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或；（2）不存在，理由见解析. 【分析】（1）由已知得，分为或两种情况来讨论，建立不等式（组），求解可得出实数的取值范围. （2）由已知可得，根据集合相等建立不等式组可得结论. 【详解】（1）集合，集合. 因为是的充分条件，所以， ∴集合可以分为或两种情况来讨论： 当时，满足题意，此时，解得：； 当时，要使成立， 需满足， 综上所得，实数的取值范围.或 （2）假设存在实数，使得是的充要条件，那么， 则必有，解得，综合得无解. 故不存在实数，使得， 即不存在实数，使得是的充要条件. 【点睛】本题考查充分必要条件，集合间的关系，根据集合间的关系求参数的范围，属于中档题. 【变式1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件. 【详解】由方程有实根，则，可得. 所以是题设方程有实根的充要条件. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合分式不等式的解法以及充分、必要条件的知识确定正确答案. 【详解】由得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式3】（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）命题“”的一个充要条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解出的范围，再根据充要条件的定义即可得出答案. 【详解】， ， 解得：， 则为的充要条件， 故选：A. 【变式4】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可； （2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由条件， 是的充要条件， 得，即，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由是的充分不必要条件，得真包含于， 所以，或，解得， 综上实数的取值范围是 题型05 易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 【典例1】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用充分条件的定义求解. 【详解】解：由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出不等式的解集，利用充分条件的定义，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，解不等式，得， 由不等式成立的充分条件是，得， 于是，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：D 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 解析：由题意得（，）⊆（m－1，m＋1），所以且等号不能同时成立，解得－≤m≤. 【考查意图】 已知充要关系求参数的取值范围． A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，满足条件，但不成立，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解. 【详解】因为一元二次方程有实根， 所以，解得. 又是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：A 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】因为，所以p是q的充分不必要条件. 故选：A. 4．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用充分条件、必要条件的定义求解作答. 【详解】设，解得， 使“”成立的充分不必要条件只需要为集合的真子集，由选项可知A符合. 故选：A. 5．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 6．（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【分析】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】的解集为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D. 7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出有两个异号零点时的取值范围，再根据真包含关系得到答案. 【详解】有两个异号零点， 需满足，解得， A选项，是有两个异号零点的充要条件，A错误； B选项，与无包含关系，不合要求，B错误； C选项，是的真子集，满足要求； D选项，是的真子集，故是充分不必要条件，D错误. 故选：C 8．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解出不等式解集，根据题意可知所选取的条件为不等式解集的真子集，由此作出选择即可. 【详解】由题意可得， 又因为， 所以的一个充分不必要条件可以是D选项， 故选：D. 二、多选题 9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 【答案】ABD 【分析】根据是的充分不必要条件，得到是的真子集，再分情况讨论即可得到的可能取值. 【详解】因为的两个根为3和5，所以， 是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以或或， 当时，满足即可， 当时，满足，所以， 当，满足，所以， 所以的值可以是0，，. 故选：ABD. 10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】CD 【分析】根据题意可得：，且是的真子集，根据真子集关系分析可得，对比选项判断即可. 【详解】对于，因为， 则，解得，即：， 若是的必要不充分条件，则是的真子集， 则，结合选项可知AB错误，CD正确. 故选：CD. 三、填空题 11．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 【答案】 【分析】根据绝对值不等式的解法，结合充分不必要条件的性质进行求解即可. 【详解】由， 因为不等式 成立的一个充分不必要条件是 ， 所以有，等号不同时成立，解得. 故答案为： 12．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】化简条件，再结合必要不充分条件列出不等式即可求解. 【详解】由，得， 因为是的一个必要不充分条件，则不能推出，但能推出， 则，即. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 14．（23-24高一下·云南大理·开学考试）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用集合间的基本关系及必要不充分条件的定义计算即可； （2）利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】（1）∵是的必要不充分条件， ∴是A的真子集. ①当时，， ②当时，∴，解得. ∴实数的取值范围为. （2）由， 则①当时，， ②当时，可得或， 解得或. ∴实数的取值范围为. B能力提升 1．（23-24高一上·河北·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解出不等式，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】不等式等价于等价于，所以， 即，解得或， 故能推出成立，但是成立不一定有， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先分别把不等式表示为集合的形式，由题意可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可求解. 【详解】因为， 且， 所以由题意可得， 所以，，且等号不同时成立， 所以解得，即实数m的取值范围是． 故答案为：. 3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 【答案】(1)或 (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）借助集合交并补的运算性质计算即可得； （2）选①可得，结合子集性质即可得；选②可得，结合真子集性质即可得；选③可得或，计算即可得. 【详解】（1）当时，， 则， 由于，因此或； （2）因为，所以， 若选取①：因为，所以， 所以，解得， 即的取值范围是. 若选取②：由“”是“”的充分不必要条件， 可得， 则或， 解得， 即的取值范围是. 若选取③：因为， 所以或，解得或， 即的取值范围是或， 4．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根. (1)若是假命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)选择条件，答案见解析. 【分析】（1）利用方程的判别式求出命题，进而求出集合. （2）利用（1）的结论，再选择条件①②，借助集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】（1）由方程没有实数根，得，解得， 由是假命题，则是真命题， 所以实数的取值集合. （2）由（1）知，，由集合非空，得，解得， 选①，是的充分而不必要条件，则，于是或，无解， 所以不存在实数，使得是的充分而不必要条件. 选②，是的必要而不充分条件，则，于是或，而，解得， 所以存在实数，使得是的必要而不充分条件，的取值范围是. C新定义题型 1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据所给定义以及充分条件与必要条件的定义推导即可. 【详解】如果，比如，则有， 根据定义，， 即“”不是“”的充分条件， 如果，则有， ，所以“”是“”的必要条件； 故“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】由新定义的集合运算结合交集、子集等概念逐一判断每一个命题即可求解. 【详解】对于命题①，由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即，故命题①正确； 对于命题②，不妨设，由新定义，， 这表明了此时，故命题②不正确； 对于命题③，由新定义，若，则一定有且， 这表明了此时集合是集合的子集，即，故命题③正确； 对于命题④，若，则当且仅当，即若，则一定有， 由新定义，若，则当且仅当且，而这显然不可能， 这表明了此时不存在，即若，则，故命题④正确. 综上所述：所有正确命题的序号是①③④. 故答案为：①③④. 3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【答案】(1)是集合的“期待子集”，不是集合的“期待子集” (2)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断即可. （2）先证明必要性，再证明充分性，结合所给“期待子集”的定义及性质的定义证明即可； 【详解】（1）因为， 对于集合，令，解得，显然，， 所以是集合的“期待子集”； 对于集合，令，则， 因为，即，故矛盾，所以不是集合的“期待子集” （2）先证明必要性： 当集合是集合的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的，使得， 不妨设，令，，，则，即条件中的①成立； 又，所以，即条件中的②成立； 因为， 所以为偶数，即条件中的③成立； 所以集合满足条件. 再证明充分性： 当集合满足条件时，有存在，满足①，②，③为偶数， 记，，， 由③得，由①得，由②得， 所以， 因为，，，所以，，均属于， 即集合是集合的“期待子集” 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合. （1）证明：属于的两个整数，其积也属于； （2）判断32、33、34是否属于，并说明理由； （3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明. 【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）为偶数，证明见解析. 【分析】（1）设，，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性. 【详解】（1）设集合中的元素，，所以 ， 因为，所以，，所以有，，则，所以属于的两个整数，其积也属于. （2）因为，所以； 假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以； 假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以. （3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数. 充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于； 必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 1.4充分条件与必要条件 课程标准 学习目标 ①理解充分条件、必要条件、充分必要条件的意义与具体要求. ②会判断命题成立的充分、必要、充分必要条件. 1．能利用命题成立的充分、必要、充要条件对命题的形式进行判断. 2.能利用充分、必要条件求参数以及进行简单的证明. 知识点01：充分条件与必要条件 一般地,“若,则”为真命题,就说是的充分条件,是的必要条件.记作： 在逻辑推理中“”的几种说法 (1)“如果,那么”为真命题. (2)是的充分条件. (3)是的必要条件. (4)的必要条件是. (5)的充分条件是. 这五种说法表示的逻辑关系是一样的,说法不同而已. 知识点2：充分条件、必要条件与充要条件的概念 （1）若，则是的充分条件，是的必要条件； （2）若且，则是的充分不必要条件； （3）若且，则是的必要不充分条件； （4） 若，则是的充要条件； （5）若且，则是的既不充分也不必要条件. 【即学即练1】（23-24高二下·广东广州·阶段练习）若非空集合，则“或”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 知识点3：从集合的角度理解充分与必要条件 若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则 （1）若，则是的充分条件； （2）若，则是的必要条件； （3）若，则是的充分不必要条件； （4）若，则是的必要不充分条件； （5）若，则是的充要条件； （6）若且，则是的既不充分也不必要条件. 知识点4：充分性必要性高考高频考点结构 （1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序） （2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序） 【即学即练2】（多选）（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）若不等式成立的必要条件是，则实数的取值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 题型01判断命题的真假 【典例1】（23-24高一上·上海闵行·期中）下列命题中： ①关于x的方程是一元二次方程； ②空集是任意非空集合的真子集； ③如果，那么； ④两个实数的和是有理数，那么这两个数都是有理数.其中是真命题的有（    ） A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②④ 【典例2】（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）下列命题中真命题的编号是 ①是一元二次方程；②空集是任何集合的真子集；③互相包含的两个集合相等；④函数的图像与轴有一个交点；⑤若，则；⑥满足的集合有7个. 【变式1】（23-24高一上·广东·阶段练习）甲､乙､丙､丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测： 甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中． 成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符；已知有两人获奖，则获奖者可能是（    ）． A．甲和丁 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁 【变式2】（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列命题中为真命题的有（    ） A．所有的素数都是奇数. B．的个位数字不等于2. C．两个三角形相似的一个充要条件为三边成比例. D．存在一个无理数，它的立方是有理数. 题型02充分条件、必要条件的判断 【典例1】（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例2】（23-24高一上·天津·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【典例3】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）在下列所示电路图中，下列说法正确的是 .（填序号）. （1）如图①所示，开关闭合是灯泡亮的充分不必要条件； （2）如图②所示，开关闭合是灯泡亮的必要不充分条件； （3）如图③所示，开关闭合是灯泡亮的充要条件； （4）如图④所示，开关闭合是奵泡亮的必要不充分条件. 【变式1】（23-24高一上·湖北荆州·期末）“”是“” 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（23-24高一下·宁夏吴忠·开学考试）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（23-24高一上·湖北·期中）设，则“”是“”的（        ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4】（23-24高三上·贵州贵阳·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 根据充分性，必要性求参数 【典例1】（23-24高一上·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知，，若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【典例3】（23-24高一下·安徽淮南·开学考试）已知全集为R，集合，． (1)求； (2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求a的取值范围． 【典例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，. （1）求集合； （2）请在：①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.若是成立的___________条件，判断实数是否存在？ (注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 【变式1】（多选）（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【变式2】（23-24高一上·上海宝山·阶段练习）已知，.若是的充分非必要条件，则实数m的取值范围是 . 【变式3】（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式4】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知， (1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． (2)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 题型04探索命题为真的充要条件 【典例1】（23-24高一上·上海黄浦·期中）“或”是“存在实数x使得不等式成立”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分非必条件 【典例2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）“一元二次方程有实数根”的充要条件是 ． 【典例3】（23-24高一上·云南昆明·期中）已知集合， ，请在①充分条件，②必要条件，③充要条件这三个条件中任选一个，补充在下面问题（2）中，若问题（2）中的实数存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． (1)若，求实数的取值范围； (2)若是的________条件，判断实数是否存在？ 【典例4】（23-24高二上·海南三亚·期中）已知命题，命题. （1）若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）是否存在实数，使得是的充要条件？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式1】（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·陕西咸阳·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3】（23-24高一上·黑龙江鸡西·阶段练习）命题“”的一个充要条件是（　　） A． B． C． D． 【变式4】（23-24高一上·广东惠州·阶段练习）设集合，命题，命题 (1)若是的充要条件，求正实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围. 题型05 易错题型：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 【典例1】（23-24高二下·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知不等式m－1<x<m＋1成立的充分条件是则实数m的取值范围是 ． A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·天津·二模）已知，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）关于的一元二次方程有实数解的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知，则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高一上·广东东莞·期末）使“”成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 6．（2024·贵州·模拟预测）设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 7．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）二次函数有两个异号零点的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·福建泉州·期中）使得不等式“成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）设，是的充分不必要条件，则实数的值可以为（    ） A． B．0 C．3 D． 10．（23-24高一上·甘肃庆阳·期中）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 11．（23-24高一上·上海·期末）若不等式 成立的一个充分不必要条件是 ，则实数 的取值范围为 12．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知，若是的一个必要不充分条件，则实数的取值范围为 . 四、解答题 13．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 14．（23-24高一下·云南大理·开学考试）已知集合，集合. (1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. B能力提升 1．（23-24高一上·河北·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ． 3．（23-24高一上·江西赣州·期末）已知集合，． (1)若，求； (2)若______，求实数的取值范围． 请从①②③中选取一个作为条件补充到上面的横线处，解答相应问题． ①；②“”是“”充分不必要条件；③． 4．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知命题方程没有实数根. (1)若是假命题，求实数的取值集合； (2)在（1）的条件下，已知非空集合，从①充分而不必要，②必要而不充分，这两个条件中任选一个条件补充到下面问题中的横线上，并解答.问题：是否存在实数，使得若是的______条件.若存在，求的取值范围.若不存在，请说明理由. C新定义题型 1．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习）如果对于任意实数，表示不超过的最大整数.例如，.那么“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）小华同学学完集合的基本运算后，自己定义了如下集合运算：且，小华列举了如下命题： ①任意集合 ②任意集合 ③任意集合 ④若，则 其中，所有正确命题的序号是 . 3．（23-24高一上·北京·期中）已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否为集合的“期待子集”；（直接写出答案，不必说明理由） (2)如果一个集合中含有三个元素，同时满足①，②，③为偶数.那么称该集合具有性质.对于集合的非空子集，证明：集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 4．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合. （1）证明：属于的两个整数，其积也属于； （2）判断32、33、34是否属于，并说明理由； （3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$