第02讲 1.2集合间的基本关系（知识清单+9类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 1.2集合间的基本关系 课程标准 学习目标 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; ②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。 1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。 2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。 3. 能利用Venn图表达集合间的关系。 4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练3】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练4】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 题型01判断两个集合的包含关系 【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【变式2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设， ，则（    ） A． B． C． D．无关 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【典例2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 . 【变式1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ． 题型03求集合中子集（真子集） 【典例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若存在一个集合，同时满足如下的两个条件： （1）；（2）若，则. 写出一个满足要求的 ，非空集合的个数为 【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合． 【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【变式2】（多选）（23-24高三上·湖南·阶段练习）若，则B可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是 ． 题型04空集的概念集判断 【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（23-24高一上·海南儋州·期末）下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）下列关于空集的说法中，正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 题型05空集的性质及应用 【典例1】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【典例2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，则实数a的取值范围是 . 题型06判断两个集合是否相等 【典例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（　　） A． B． C．  D． 【典例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 【变式1】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【变式2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 题型07根据两个集合相等求参数 【典例1】（2024高一·全国）已知集合，其中，若，则 ． 【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 ． 【变式1】（2024高一·全国）已知，若集合，则 . 【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 . 题型08根据集合的包含关系求参数 【典例1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【典例2】（23-24高一上·湖南怀化·期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 【变式1】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式2】（23-24高一上·重庆万州·阶段练习）已知，，若，求实数的值. 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的值. 【变式4】（23-24高一上·福建·阶段练习）已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 题型09 新定义题 【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）对于平面上的两个点，，若满足①，②，③前面两个不等式中至少有一个“”不成立，则称是相对于的一个优先点，记作“”. 已知点集. （Ⅰ）若，，则可以构成 组优先点； （Ⅱ）若点集，且集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，则集合中的元素最多可以有 个． 【变式1】（多选）（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ① ② ③，若且，则 ④，若且，则 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【变式3】（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 . 方法1 数轴辅助法 【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示． 【变式1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，.若，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）已知集合，，若，求实数的取值范围. 方法2 分类讨论法 【典例1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【典例2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）集合． (1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 典型易错题1 忽略空集 【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（    ） A． B． C．且 D．不能确定 4．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知集合，，，则实数的值为（    ） A．2 B．或2 C．1或2 D．0或2 6．（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，则满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 8．（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 四、解答题 13．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，．若，求实数的取值范围． 14．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 B能力提升 1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（多选）（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 3．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合A的个数是 . 4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. C新定义题型 1．（21-22高一上·河南·阶段练习）规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 . 3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 4．（21-22高一上·上海奉贤·期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 1.2集合间的基本关系 课程标准 学习目标 ①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集; ②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。 1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。 2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。 3. 能利用Venn图表达集合间的关系。 4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。 知识点01：图（韦恩图） 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用图，可以使问题简单明了地得到解决。 对图的理解 (1)表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. (2)用图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显. 知识点02：子集 1子集： 一般地，对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 （1）记法与读法：记作(或)，读作“含于”(或“包含”) （2）性质： ①任何一个集合是它本身的子集，即. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别 符号“”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“”表示元素与集合之间的从属关系. 【即学即练1】（23-24高一上·陕西榆林·期中）已知集合，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A，“”表示集合与集合间关系，而“0”是元素，故A错； 对于BC，“”表示元素与集合间关系， 而0是集合中的元素，为集合，故B正确，C错误； 对于D，集合中，所以D错. 故选：B. 知识点03：集合相等 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作.也就是说,若,且,则.  （1）的图表示 （2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关 【即学即练2】（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）下面选项中的两个集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断. 【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误； B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误； C.，得，即，故C正确； D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误. 故选：C 知识点04：真子集的含义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集; （1）记法与读法：记作，读作“真包含于”(或“真包含”) （2）性质： ①任何一个集合都不是是它本身的真子集. ②对于集合，，，若，且，则 （3）图表示： 【即学即练3】（23-24高一上·山东日照·阶段练习）已知集合满足，则集合的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用集合的子集、真子集的概念求解. 【详解】由题可知，集合可以为：共3个， 故选：C. 知识点05：空集的含义 我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： 规定：空集是任何集合的子集，即; 性质：①空集只有一个子集，即它的本身， (2)，则 和 和 和 相同点 都表示无 都是集合 都是集合 不同点 表示集合； 是实数 不含任何元素 含有一个元素 不含任何元素 含有一个元素，该元素为： 关系 或者 【即学即练4】（23-24高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项. 【详解】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确. 故选：A. 题型01判断两个集合的包含关系 【典例1】（23-24高一上·广东韶关·阶段练习）若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【典例2】（23-24高一上·河南郑州·阶段练习）若，，，则这三个集合间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可. 【详解】依题意，，， ，而，{偶数}， 因此集合中的任意元素都是集合中的元素，即有，集合中的每一个元素都是集合中的元素，即， 所以. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（    ） ①；②；③著名的运动健儿能构成集合；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断. 【详解】易知，故①正确； ，故②错误； 著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误； 表示有一个元素的集合，不是空集，④错误； 空集是任意非空集合的真子集，若为空集，⑤错误； ，故，故⑥正确. 故选：B 【变式2】（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）设， ，则（    ） A． B． C． D．无关 【答案】B 【分析】满足集合M性质的元素，均满足集合N的性质，进而得到，都有，然后，，可得结论. 【详解】若，则， 即M中元素都是N中元素，所以，． 而当时，，而，所以. 故选：B. 题型02 判断子集（真子集）的个数 【典例1】（23-24高二下·天津滨海新·阶段练习）设集合，则集合A的真子集个数为（    ） A．7个 B．8个 C．16个 D．15个 【答案】D 【分析】列举出集合A的所有元素，由n元集合的真子集个数为可得. 【详解】由和可得， 所以集合A的真子集个数为个. 故选：D 【典例2】（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足B的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论求结果. 【详解】集合，， 满足B的集合中必有元素2，3， 所以求满足B的集合的个数即求集合的真子集个数， 所以满足B的集合的个数为个. 故答案为：7. 【变式1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】计算出集合的元素后可得其子集的个数. 【详解】，故其子集的个数为8， 故选：D. 【变式2】（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数. 【详解】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 【变式3】（2024高三·全国·专题练习）满足的集合的个数是 ． 【答案】3 【分析】 借助真子集与集合包含关系的性质计算即可得. 【详解】 由题知，则， 故集合的个数为. 故答案为：. 题型03求集合中子集（真子集） 【典例1】（23-24高一上·山西太原·阶段练习）若存在一个集合，同时满足如下的两个条件： （1）；（2）若，则. 写出一个满足要求的 ，非空集合的个数为 【答案】 （其他结果也可） 7 【分析】依题意可知1和5，2和4需成对出现在某一集合中，通过列举法即可写出符合题意的集合. 【详解】根据题意可知，若满足“，则”， 则1和5，2和4必须同时属于某一集合， 所以非空集合可以是， 共7个. 故答案为：，7 【典例2】（23-24高一上·全国·课前预习）已知集合满足，求所有满足条件的集合． 【答案】集合为，，，，，，，． 【分析】根据集合中元素个数分类写出集合． 【详解】解：①当中含有2个元素时，为； ②当中含有3个元素时，为，，； ③当中含有4个元素时，为，，； ④当中含有5个元素时，为． 故满足条件的集合为，，，，，，，． 【变式1】（23-24高三·全国·对口高考）若集合A满足，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可. 【详解】由，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素， 依次有以下可能：七种可能. 故选：C 【变式2】（多选）（23-24高三上·湖南·阶段练习）若，则B可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据子集概念即可得到结果. 【详解】∵， ∴B可能为，，， 故选：BCD 【变式3】（23-24高一上·广东梅州·阶段练习）满足{1，2，3}的所有集合A是 ． 【答案】{1}或{1，2}或{1，3} 【分析】由题意可得集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集，从而可求出集合A 【详解】因为{1，2，3}， 所以集合A中至少有一个元素1，且为集合{1，2，3}的真子集， 所以集合A是{1}或{1，2}或{1，3}， 故答案为：{1}或{1，2}或{1，3} 题型04空集的概念集判断 【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【典例2】（多选）（23-24高一上·海南儋州·期末）下列关系中表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据集合的相关概念逐项分析判断. 【详解】对A：写法不对，应为或，A错误； 对B：是任何集合的子集，故成立，B正确； 对C：是不含任何元素的集合，故，C错误； 对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确. 故选：BD. 【变式1】（23-24高一上·海南海口·期中）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不正确的是（    ） A．①③ B．②④⑤ C．③④ D．①②⑤ 【答案】C 【分析】根据集合元素的无序性判断①；根据子集的定义判断②；根据集合及空集的定义判断③④⑤；利用元素与集合的关系判断⑥． 【详解】对①：因为集合元素具有无序性，显然①正确； 对②：因为集合，故正确，即②正确； 对③：空集是一个集合，而集合是以空集为元素的一个集合，因此不正确； 对④：是一个集合，仅有一个元素0，但是空集不含任何元素，于是，故④不正确； 对⑤：由④可知，非空，于是有，因此⑤正确； 对⑥：显然成立，因此⑥正确． 综上，本题不正确的有③④，于是本题选项为C． 故选：C． 【变式2】（多选）（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）下列关于空集的说法中，正确的有（    ） A． B．⫋ C． D． 【答案】CD 【分析】根据空集的定义以及元素与集合、集合与集合之间的基本关系逐一判断即可求得结果. 【详解】不含有任何元素的集合是空集，所以A错误； 任一集合是它自身的子集，即，所以B错误； 集合有一个元素为，即，所以C正确； 空集任何集合的子集，所以，即D正确. 故选：CD 题型05空集的性质及应用 【典例1】（23-24高一上·湖南永州·阶段练习）若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 【典例2】（23-24高一上·黑龙江大庆·阶段练习）已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围： (1)； (2)恰有一个元素. 【答案】(1) (2) 【分析】若，则关于x的方程没有实数解，则，且，由此能求出实数m的取值范围． 若A恰有一个元素，所以关于x的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数m的取值范围． 【详解】（1）若，则关于x的方程没有实数解， 则，且， 所以，实数m的取值范围是； （2）若A恰有一个元素， 所以关于x的方程恰有一个实数解， 讨论：当时，，满足题意； 当时，，所以． 综上所述，m的取值范围为． 【变式1】（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】对二次项系数a是否为0进行讨论，根据二次函数图像与性质，列出不等式，即可得答案. 【详解】当时，不等式可化为，不成立，故为空集，满足题意； 当时，根据二次函数图像与性质可得，解得， 综上. 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，涉及分类讨论的思想，属基础题. 题型06判断两个集合是否相等 【典例1】（23-24高一上·广东茂名·期中）集合 之间的关系是（　　） A． B． C．  D． 【答案】A 【分析】根据集合中元素满足的特征即可求解. 【详解】∵集合 ∴， ， ∴， 故选：A 【典例2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设 (1)证明： (2)证明 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据集合B，C中元素的性质，利用真子集的概念证明； （2）由集合A，B都表示被3除余2的整数构成的集合得证. 【详解】（1）令，则， 即B为被3整除余2的整数构成的集合， 而，即C中元素都可以表示为的形式，其中， 所以C中任意元素都属于集合B, 又B中存在不属于C的元素，例如, 所以. （2）由（1）知， 又， 所以. 【变式1】（23-24高一上·浙江温州·开学考试）已知，，则M N （ 填“”或“”或“”或“” ）. 【答案】 【分析】化简集合即可判断得解. 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·上海静安·阶段练习）设集合，，则集合M与N的关系是 . 【答案】 【分析】解绝对值不等式得到，配方得到，得到，得到答案. 【详解】，解得，又，故， 因为，又，所以， 故答案为：. 题型07根据两个集合相等求参数 【典例1】（2024高一·全国）已知集合，其中，若，则 ． 【答案】 【分析】根据元素的互异性即可求解. 【详解】，即，又，所以， 解得，当时，，与元素的互异性矛盾，所以． 时，符合要求， 故答案为： 【典例2】（23-24高一上·安徽淮南·阶段练习）已知集合，求 ． 【答案】 【分析】根据题意可得方程有两个等根，即，从而求出，的值，进而求解即可． 【详解】由集合， 则方程有两个等根， 所以，解得， 所以，解得， 所以，即， 故． 故答案为：． 【变式1】（2024高一·全国）已知，若集合，则 . 【答案】2 【分析】 根据集合相等的性质可得，从而可得结果 【详解】因为，所以，于是可得或， 由得，而无解，所以， 所以=2. 故答案为：2 【变式2】（23-24高一上·安徽滁州·期中）已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等求参再检验即可. 【详解】因为，所以，解得或， 当时，与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意. 经检验可知符合. 故答案为：-1. 题型08根据集合的包含关系求参数 【典例1】（23-24高一上·河北沧州·期中）已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）利用集合相等的条件求的值； （2）由与有包含关系得，再利用集合子集的元素关系分类讨论求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 【典例2】（23-24高一上·湖南怀化·期末）已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或 【变式1】（23-24高一上·安徽滁州·阶段练习）已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【详解】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. 【变式2】（23-24高一上·重庆万州·阶段练习）已知，，若，求实数的值. 【答案】 【分析】由，分别考虑，，的情况，并代入验证，确定出的值． 【详解】因为， ①当时，，，成立； ②当时，或 当时，，不符合集合元素的无重复性要求，舍去； 当时，，成立； ③当时，或，由②舍去， 当时，，成立. 综合①②③，. 【变式3】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数a的值. 【答案】0或或1. 【分析】解一元二次方程求出集合，根据可分为和两种情况来讨论，构造方程求得结果. 【详解】集合 依题意，则可分和两种情况. 当时，，符合题意； 当时，，，或，解得或. 所以实数a的值为0或或1. 【变式4】（23-24高一上·福建·阶段练习）已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可； (2)，则是的子集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）①若，则，即，此时； ②若，则，解得. 综合①②，得实数的取值范围是. （2）（2）若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 题型09 新定义题 【典例1】（23-24高一上·上海浦东新·期中）Q是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合M相等的集合序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合M一致即可. 【详解】对于①.，设，则，故①的集合与M相等； 对于②.令 ，则，其中，故②的集合与M相等； 对于③.当 时，，故③的集合与M不相等； 对于④.令， ， 其中，故④的集合与M相等； 故答案为:①②④ 【典例2】（23-24高三上·北京·开学考试）对于平面上的两个点，，若满足①，②，③前面两个不等式中至少有一个“”不成立，则称是相对于的一个优先点，记作“”. 已知点集. （Ⅰ）若，，则可以构成 组优先点； （Ⅱ）若点集，且集合中的任意两个点都不能构成一组优先点，则集合中的元素最多可以有 个． 【答案】 【分析】（Ⅰ）根据优先点定义，采用列举的方式可求得结果； （Ⅱ）由题意可得集合中的任意两个点都不满足和，分别在且，且和三种情况下讨论满足题意的中元素个数，综合结论可得结果. 【详解】（Ⅰ）由得：， 则满足“”的有：和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，共组； （Ⅱ）集合中的任意两个点都不能构成一组优先点， 集合中的任意两个点都不满足和； ①若且，此时中元素只能成对出现， 若，，，此时，则和，均不构成一组优先点，但和构成一组优先点，不合题意；此时中仅有两个元素； ②若且，则与，情况相同，中仅有两个元素； ③若，若或，则满足或，不合题意，； 此时中有且仅有一个元素，不具备两个点，不合题意； 若集合中的元素最多有个. 故答案为：；. 【变式1】（多选）（23-24高一上·重庆渝中·阶段练习）对于一个非空集合，如果满足以下四个条件： ① ② ③，若且，则 ④，若且，则 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是（    ） A．设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合共有4个 B．设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C．设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D．是实数集的一个“偏序关系 【答案】BCD 【分析】根据“偏序关系”的定义逐个分析判断即可 【详解】对于A，因为，所以由“偏序关系”可知集合，或，或，共3个，所以A错误， 对于B，因为，所以由“偏序关系”可知集合是集合A的一个“偏序关系”，所以B正确， 对于C，由②可知集合B中必须含有，由③可知与，与，与不能同时出现， 所以再从，，，，，中取一个，共6个，即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个，所以C正确， 对于D，满足①②， 因为，所以满足③， 因为，所以，所以，满足④， 所以是实数集的一个“偏序关系，所以D正确， 故选：BCD 【点睛】关键点睛：此题考查集合的新定义，解题的关键是正确理解集合B为集合A的一个“偏序关系”的定义，考查理解能力，属于较难题. 【变式2】（23-24高一上·上海·期中）已知正整数，对集合及其每一个非空子集，记，其中，定义一个运算“交替和”.例如：对于集合，.则当时，集合的所有子集的“交替和”的总和为 . 【答案】 【分析】集合的任意一个不含的集合与集合的“交替和”之和应为，则由对应思想两两结组求和可得. 【详解】由题意知，集合的“交替和”为. 集合的所有个子集中，除去集合外，还有个非空子集. 这个非空子集中不含元素的集合，即的非空子集，共有个， 设为； 则这个非空子集中含元素的集合，也共有个， 这样的集合都可以看成相应地在每个不含的集合中再加上元素得到，即. 对中的任意集合，记， 则“交替和”，其中， 由，则集合的“交替和”为 ， 则集合与集合的“交替和”之和为， 下面举例说明： 如集合与集合， 的“交替和”为， 的“交替和”为 ， 即集合与集合的“交替和”之和为. 综上，把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和， 且每组中“交替和”之和都为，共有组. 故集合所有“交替和”之和，由各组之和再加集合的“交替和”即可， 综上所述，当时，集合的所有子集的所有“交替和”之和为 . 故答案为：. 【点睛】 “对应”是数学的基本概念和基本思想，正是基于“对应”，问题才可以抽象或者转化.对应思想在相等关系、对称转化、分组求和等问题的处理中比较常见. 【变式3】（23-24高一上·江西·期中）已知满足：①（，2，3，4）；②，均有；若，其中，，，，且集合有7个真子集，则满足条件的A的个数为 . 【答案】5 【分析】先根据条件列出的所有情况，根据题意列举即可. 【详解】，由①②条件知，中元素各不相等且， 所以有以下24种情况：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 因为集合有7个真子集，所以有3个元素， 即有3种情况.又，则满足题意，，，，，共5种情况. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决. 方法1 数轴辅助法 【典例1】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 【典例2】（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）已知集合，，且．求实数m的取值范围并用集合表示． 【答案】 【分析】分类讨论集合B是否为空集，结合集合的关系计算即可. 【详解】当，即时，，满足； 若，且满足， 如图所示，则，即,所以． 综上所述，m的取值范围为或，即所求集合为．    【变式1】（23-24高一上·河南安阳·阶段练习）设集合，.若，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出图象，根据集合之间的包含关系，即可得出答案. 【详解】 由已知结合图象可得，. 故选：C. 【变式2】（2024高一·江苏·专题练习）已知集合，，若，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】依题意，分为空集和不为空集两种情况分类讨论，即可解题. 【详解】当时，如图所示.    ∴或，解这两个不等式组得； 当时，由，得； 综上可得，实数的取值范围是. 方法2 分类讨论法 【典例1】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 【典例2】（23-24高一上·广东广州·阶段练习）集合． (1)若，存在集合M使得，求出这样的集合M； (2)试问P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为 【分析】（1）根据真子集的性质进行求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式，结合子集的性质进行求解即可. 【详解】（1）若，， 因为， 所以； （2）方程的判别式为， 当时，即时，，此时显然P是Q的一个子集， 当时，即时，，此时显然P不是Q的一个子集， 当时，即时，要想P是Q的一个子集，中必有二个元素是集合P中元素，根据一元二次方程根与系数关系，这两个根之和为，显然中没有两个数的和为，所以此时P不可能是Q的一个子集， 综上所述：P能成为Q的一个子集，此时b的取值范围为. 典型易错题1 忽略空集 【典例1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或为非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，, 故当时，易求； 当时，由得，或2. 综上得： 故选:C． 【典例2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据包含关系，分别讨论和的情况即可构造不等式求得结果. 【详解】当时，满足，此时，解得：； 当时，由得：，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：C. 【变式1】（23-24高一上·吉林·阶段练习）设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别解出集合，利用是的真子集逐个元素判断即可. 【详解】因为集合， ， 当时，，是的真子集， 当时，，因为是的真子集，所以或，解得或， 故选：B 【变式2】（23-24高一上·甘肃武威·阶段练习）已知集合，，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论B集合为空集及非空分别列出不等式计算求解即可. 【详解】． 若，则，解得，符合题意； 若时，则解得． 综上，实数m的取值范围是． 故选:C． A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，则的最大值为（    ） A．2 B．0 C． D．-2 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系可得求解. 【详解】由于，所以， 故的最大值为， 故选：C 2．（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则的值可以为（    ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【分析】根据互异性可知且，求出集合A，然后根据包含关系求解即可. 【详解】对于集合，由元素的互异性知且，则． 由得． 若，则，满足； 若，则，矛盾，舍去． 故选：A 3．（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（    ） A． B． C．且 D．不能确定 【答案】A 【分析】由，可得结论. 【详解】，， 由，可得是奇数，是整数， 所以，因为，所以. 故选：A. 4．（23-24高一上·吉林长春·期末）设集合，，若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的关系可直接得到答案. 【详解】因为集合，， 若，则， 故选：A. 5．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知集合，，，则实数的值为（    ） A．2 B．或2 C．1或2 D．0或2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性及集合的包含关系列式计算即得. 【详解】由，得，即，此时， 由，得，而，所以. 故选：A 6．（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合，则满足⫋的集合的个数为（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】B 【分析】确定集合的元素，根据A⫋，可判断集合等价于集合的非空子集，由此可得答案. 【详解】由题意得， 又A⫋，所以，所以集合等价于集合的非空子集， 所以集合的个数为， 故选：B. 7．（23-24高一上·湖北·阶段练习）集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【答案】C 【分析】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数. 【详解】由，， 所以，集合中含有5个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 8．（23-24高一上·陕西榆林·期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，当时可得或，解得即可. 【详解】当时，此时，即两个集合构成“鲸吞”， 当时，此时两个集合不能构成“鲸吞”， 则两个集合构成“蚕食”，所以或，解得或， 当时，两个集合构成“蚕食”， 当时，两个集合构成“蚕食”， 综上可得的取值集合为. 故选：C 二、多选题 9．（23-24高一上·河北石家庄·期中）已知集合，则下列关系式表示正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】确定，再根据元素和集合，集合与集合的关系依次判断每个选项即可. 【详解】， 对选项A：，错误； 对选项B：，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，正确； 故选：CD 10．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意，利用集合相等的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】为点集，为数集，所以，故A错误； ，，所以，故B错误； ，，所以，故C正确； ，，所以，故D正确； 故选：CD 三、填空题 11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【答案】 【分析】求出集合中元素个数，再利用子集个数公式求解. 【详解】, 集合中有个元素， 则的非空子集的个数是. 故答案为：. 12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合至多有1个真子集，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据或为单元素集，分情况讨论，结合判别式即可求解. 【详解】由于集合至多有1个真子集，则集合中的元素个数至多为1，故或为单元素集，分情况讨论： ①当时，且，解得； ②当为单元素集时，中只有一个元素， 若，则，符合题意， 若，则，解得． 综上，的取值范围是或， 故答案为：或 四、解答题 13．（23-24高一上·上海青浦·阶段练习）已知集合，．若，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），解得即可. 【详解】因为，且， 当，即时，符合题意； 当，则，解得， 综上可得. 14．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）已知集合 (1)若集合且求实数的值 (2)若集合且求实数的取值范围 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合相等的概念，分别讨论解出实数的值即可； （2）由集合间的包含关系，对集合是否为空集进行分类讨论即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）由集合，且 所以可得，此时方程组无解； 或，解得； 所以实数的值为. （2）当集合且可知： 若，则，解得 当时，若，则，，此时，不满足 若，则，此时，满足符合题意； 综上可知，实数的取值范围为或. B能力提升 1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）设集合，若非空集合A同时满足：①；②，（其中表示A中元素的个数，表示集合A中最小的元素）称集合A为I的一个好子集，则I的所有好子集的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据好子集的定义，分类讨论即可求出． 【详解】当时，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为； 当时，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述：I的所有好子集的个数为8， 故选：B 【点睛】关键点睛：本题的关键理解题中定义，运用分类讨论思想进行求解. 2．（多选）（23-24高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和-1. 故选：ABC. 3．（23-24高一上·新疆伊犁·期中）已知集合满足，则满足条件的集合A的个数是 . 【答案】 【分析】根据集合间的包含关系，得到满足条件的集合的个数，即为集合的真子集的个数，即可求解. 【详解】集合满足，则满足条件的集合的个数，即为集合的真子集的个数，即为. 故答案为：. 4．（23-24高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. C新定义题型 1．（21-22高一上·河南·阶段练习）规定：在整数集中，被7除所得余数为k的所有整数组成一个“家族”，记为，即，，给出如下四个结论：①；②；③若整数a，b属于同一“家族”，则；④若，则整数a，b属于同一“家族”．其中，正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据“家族”的定义逐一判断四个选项即可得正确答案. 【详解】对于①：因为，所以，故①正确； 对于②：因为，所以，故②错误； 对于③：若a与b属于同一“家族”，则，，（其中），故③正确； 对于④：若，设，，即，，不妨令，，，则，，，所以a与b属于同一“家族”，故④正确；即①③④为正确结论． 故选：C． 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）当两个集合中有一个集合为另一个集合的子集时，称两个集合之间构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称两个集合之间构成“偏食”，对于集合，.若与构成“全食”，则的取值范围是 ；若与构成“偏食”，则的取值范围是 . 【答案】 或 【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可. 【详解】由可知，当时，，此时； 当时，，此时， 当时，； 又，若与构成“全食”，则， 当时，满足题意；当时，不合题意； 当时，要使，则，即，解得； 综上，与构成“全食”时，的取值范围是或； 若与构成“偏食”时，显然时，不满足题意， 当时，由，所以，即，解得， 此时的取值范围是. 故答案为：或； 3．（23-24高一上·上海杨浦·阶段练习）已知集合，设是的至少含有两个元素的子集，对于的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合是的“好子集”. (1)判断数集与是否是集合的“好子集”，并说明理由； (2)证明：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有； (3)求集合的“好子集”所含元素个数的最大值，并写出取到元素个数最大值时的. 【答案】(1)不是，是，理由见解析 (2)证明过程见解析. (3)334， 【分析】（1）根据题目信息进行计算，得到不是，是； （2）利用反证法进行证明； （3）结合（2），得到尽可能小，取，得到答案. 【详解】（1）不是，是，理由如下： 中，令，则， 由于，故不是集合的“好子集”， 中，当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 当时，，此时都不能整除， 综上：是集合的“好子集”； （2）假设原命题为假命题， 即若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有， 显然，且均为正整数， 当时，由于1能整除任何正整数，故能整除，不合要求， 当时，则是两个奇数，或是两个偶数，此时为偶数， 故故能整除，所以不合要求， 故假设不成立， 又由（1）知，当时，满足是的“好子集”，且， 综上：若是的“好子集”，则对于中的任意两个不同的元素，都有 （3）由（2）知，集合的“好子集”所含两个不同的元素，满足， 要想所含元素个数最大，则要尽可能小，故需使得的最小值为3， 故可取，通过验证，此时满足不能整除， 故集合的“好子集”所含元素个数的最大值为， . 4．（21-22高一上·上海奉贤·期中）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【详解】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. （3）证明：， ， ， ，即 ， 又， 所以， 所以 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$