5.6 第2课时画函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.6.1　匀速圆周运动的数学模型 5.6.2　函数y=Asin(ωx+φ)的图象 第2课时　画函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课标定位 素养阐释 1.会用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)的图象. 2.能根据y=Asin(ωx+φ)的部分图象,确定其解析式. 3.能根据实际问题建立数学模型,并能解决数学模型. 4.体会数学建模的过程,提升数学建模和数学运算素养. 自主预习·新知导学 合作探究·释疑解惑 规 范 解 答 随 堂 练 习 自主预习·新知导学 一、“五点法”作画函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象 1.用“五点法”画y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,五个关键点的横坐标依次取哪几个值? 2.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象时,五个关键点的横坐标依次取哪几个值? 3.用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的步骤 第一步:列表 第二步:在同一平面直角坐标系中描出各点. 第三步:用光滑曲线连接这些点,形成图象. 二、函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”. 合作探究·释疑解惑 分析:先列表,再描点,最后连线形成图象. 探究一 用“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象 (2)描点画图: 反思感悟 1.用“五点法”画图时,可先令ωx+φ分别为 ,解出x,从而确定这五点. 2.画y=Asin(ωx+φ)在给定区间上的图象时,若x∈[m,n],则应先求出ωx+φ的相应范围.在求出的范围内先确定关键点,再确定x,y的值,最后描点、连线形成图象. 描点、连线得图象如图所示. 探究二 由函数y=Asin(ωx+φ)的图象求其解析式 【例2】 已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,求函数y=f(x)的解析式. 分析:可以根据函数的图象逐一确定解析式中的参数值,从而得出函数的解析式;也可根据“五点法”画图原理,确定图中所给的某点与“五点法”中的哪个点对应,将坐标代入求得函数的解析式. 反思感悟 在观察函数y=Asin(ωx+φ)图象的基础上,可按以下规律来确定参数:(1)由函数图象上点的纵坐标的最大值、最小值来确定A;(2)由函数图象与x轴的交点确定T,由 ,确定ω;(3)用代入法或“五点法”确定y=Asin(ωx+φ)中φ的值. 探究三 三角函数在实际问题中的应用 答案:ABD 反思感悟 用三角函数模型解决实际问题的关键是求出函数的解析式,利用函数的性质解决实际问题. 【变式训练3】 某摩天轮建筑的旋转半径为50米,最高点距离地面110米,运行一周大约需要21分钟.某人在最低点的位置坐上摩天轮,则第7分钟时他到地面的距离为(　　) A.75米 B.85米 C.100米 D.110米 答案:B 规 范 解 答 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 【典例】 设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),f(x)的图象的一条对称轴是直线 . (1)求函数y=f(x)的单调递增区间; (2)画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 审题策略:先利用直线 是函数图象的一条对称轴,得出φ的值,即得出函数f(x)的解析式.(1)通过整体代换求出单调递增区间;(2)利用“五点法”画出图象. 故函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象如图所示. 答题模板:第1步,利用已知条件求出函数f(x)的解析式; ↓ 第2步,运用整体思想求函数y=f(x)的单调增区间; ↓ 第3步,用“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象. 失误警示 造成失分的主要原因如下: (1)忽视φ的取值范围将函数f(x)的解析式求错; (2)整体法求单调递增区间时计算错误; (3)列表取点时,将[0,π]误认为 的范围,导致取点错误,进而画错图象. 【变式训练】 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, )一个周期的图象如图所示. (1)求函数f(x)的最小正周期T及最大值、最小值; (2)求函数f(x)的解析式及单调递增区间. 随 堂 练 习 答案:D 1.若函数y=Asin(ωx+φ)+k的图象如图所示,则A与最小正周期T分别是(　　) 答案:A 提示:依次为0,,π,,2π. 提示:用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)的简图,先令 t=ωx+φ,再由t取0,,π,,2π即可得到所取五个关键点的横 坐标依次为-,-,-,-,-. ωx+φ 0 π 2π x - y 0 A 0 -A 0 性质 定义域 R 值域 [-A,A] 周期性 T= 对称性 对称中心 (k∈Z) 对称轴 x=(k∈Z) 奇偶性 当φ=kπ(k∈Z)时y是奇函数; 当φ=kπ+(k∈Z)时y是偶函数 单调性 通过整体代换可求出其单调区间 (1)函数y=-2sin的最小值为-2.( √ ) (2)函数f(x)=sin图象的对称中心为(k∈Z). ( × ) (3)函数y=sin图象的对称轴方程是x=+kπ,k∈Z. ( √ ) 【例1】 已知函数f(x)=3sin+3(x∈R),用“五点法”画 出f(x)在一个周期内的图象. 解:(1)列表: x - 0 π 2π f(x) 3 6 3 0 3 0,,π,,2π 【变式训练1】 画出函数y=sin在x∈上的图象. 解:因为x∈,所以x-∈[0,2π].令X=x-,列表如下: X 0 π 2π x y 0 0 - 0 解:(方法一)由题中图象可知A=3, 又周期T==π,所以ω==2. 由题中图象可得最高点为, 故3sin=3,即+φ=+2kπ(k∈Z). 又|φ|<π,所以φ=. 故所求函数的解析式是y=3sin. (方法二)由题中图象可知A=3, 又图象过点,根据“五点法”作图原理, 得解得 故所求函数的解析式是y=3sin. T= 解析:由题中图象可知A=2. 又T=4×=2,∴ω==π. 又点在函数f(x)的图象上, ∴2sin=2,即+φ=+2kπ(k∈Z). 又|φ|<,∴φ=. ∴所求函数的解析式为f(x)=2sin. 答案:f(x)=2sin 【变式训练2】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<) 的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是　　　　　.  【例3】 (多选题)如图,有一半径为R的水车,一个水斗从点A(3,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时 60秒.经过t秒后,水斗旋转到点P.设点P的坐标为(x,y),其纵坐 标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)(t≥0,ω>0,|φ|<).则下列叙述正确的是 (　　) A.R=6,ω=,φ=- B.当t∈[35,55]时,点P到x轴的距离的最大值为6 C.当t∈[10,25]时,函数y=f(t)单调递减 D.当t=20时,水斗位于水车的最高点 解析:由题意可知水车的半径R==6. 又T=60=,可知ω=. 当t=0时,y=f(t)=-3, 代入可得-3=6sin φ.由|φ|<, 知φ=-.故选项A正确; 由f(t)=6sin, 当t∈[35,55]时,t-, 可知点P到x轴的距离的最大值为6,故选项B正确; 当t∈[10,25]时,t-,函数y=f(t)不单调, 故选项C不正确; 当t=20时,t-,点P的坐标为(0,6), 即此时水斗位于水车的最高点.故选项D正确. 解析:设某人与地面的高度f(t)与时间t的关系为 f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)). 由题意可知A=50,B=110-50=60, T==21,即ω=, 故f(t)=50sin+60. 又f(0)=110-100=10,即sin φ=-1, 可得φ=.所以f(t)=50sin+60. 故f(7)=50sin+60=85. x= x= 规范展示:解 (1)∵x=是函数y=f(x)的图象的对称轴, ∴sin=±1. ∴+φ=kπ+(k∈Z),φ=kπ+(k∈Z). ∵-π<φ<0, ∴φ=-. ∴y=sin. 由题意设2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), ∴kπ+≤x≤kπ+(k∈Z). 故函数y=sin的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z). (2)由x∈[0,π]知,2x-π∈.列表如下: x 0 π 2x- - - 0 π y - -1 0 1 0 - 2x- -<φ< 解:(1)由题图知T=, 故T=π,最大值为1,最小值为-1. (2)由(1)知ω==2. 由2×+φ=2kπ(k∈Z), 解得φ=2kπ+(k∈Z). 又-<φ<,所以φ=,A=1. 则f(x)=sin,由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z), 得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 故f(x)的单调递增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z). 解析: 由题图可知A=×(3-0)=. 由T=,得T=.故选D. A.A=3,T= B.A=3,T= C.A=,T= D.A=,T= 2.若函数f(x)=2sin是偶函数,则φ的值可以是(　　) A. B. C. D.- 解析:因为f(x)是偶函数,所以函数f(x)的图象关于y轴对称. 所以f(0)=±2.在四个选项中, 只有φ=时,才有f(0)=2sin=2.故选A. 3.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后 图象的对称轴为　 .  解析:将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度, 得到的图象对应的函数解析式为y=2sin. 由2x+=kπ+(k∈Z), 得平移后图象的对称轴为直线x=(k∈Z). 答案:x=(k∈Z) 4.已知函数f(x)=2sin,x∈R. (1)写出函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程、对称中 心的坐标; (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值. 解:(1)由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 解得其单调递增区间是(k∈Z); 由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 解得其单调递减区间是(k∈Z); 由2x-=kπ+(k∈Z), 解得f(x)图象的对称轴方程是x=(k∈Z); 由2x-=kπ(k∈Z), 解得其图象的对称中心是(k∈Z). (2)∵0≤x≤,∴-≤2x-. ∴当2x-=-,即x=0时,f(x)取得最小值-1; 当2x-,即x=时,f(x)取得最大值2. $$