1.1.3 集合之间的关系（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）

沪教版（2020） 必修第一册 第一章 集合与逻辑 1.1.3集合之间的关系 引入：实数有相等、大小关系，如3＝3，2＜8，6＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？ 复习：元素与集合的关系—属于与不属于的关系. 填空：(1)1____N；(2) ____Q；(3)－2.6____R. ∈ ∈ ∉ 问题引入 考察以下四组集合： (1) C是春申中学高一(1)班的全体学生组成的集合，D是春 申中学全体学生组成的集合； (2) C是一平面上所有矩形组成的集合，D 是该平面上所有 平行四边形组成的集合； (3) C= {2 , 3}, D＝｛x｜x2 -5x+6=0}； (4) C＝｛x｜x=2k+1,k∈Z｝，D＝｛x｜x是奇数｝. 容易发现，在上述每组集合中，集合C中的每个元素都属于集合D．两个集合之间的这种关系是十分常见的. 交流思考 上述四组集合，集合C中的元素与集合D有什么关系？ 定义 对于两个集合A与B，如果集合A的每个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集(subset)。 记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）. 子集 例题1 ．判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)A={1, 2, 3} 与B={x ｜x 是6 的正因数}； (2)C={x ｜x = 3n, n ∈ Z} 与D={x｜ x = 6k, k ∈ Z} . 【答案】（1）A⊆B；D⊆C 上述四组集合中的每组都成立 C⊆D．但是第(1)(2)组与第 (3)(4)组是有区别的．在第(1)(2)组中，集合 D 中有些元素不属于集合C，即D不是C的子集．而在第(3)(4)组中，集合 D 中的每个元素都属于集合C，即成立D⊆C. 由C⊆D，且D⊆C ⇒ C=D. 对于两个集合A与B，如果 A⊆B且B⊇A，即A的每个元 素都是B的元素，B的每个元素也是A的元素，那么与B 的元素是完全相同的．所以A＝B. 集合相等是子集的一种特例. 由此，对第(3 )(4 )组集合，成立 C＝D;而对第(1 )(2)组集合， 就不成立C＝D. 为此，我们引入真子集的概念. 定义 对于两个集合A与B，如果 A⊆B，且B中至少有一个元素不属于A（即B不是A的子集），那么称集合A是B的真子集，记作A⊂B（或B⊃A），读作“A真包含于B”（或“B 真包含A”）. 在有 些 资 料 中 ，集合A是B的真子 集也被记作A B（或B A）. 真子集 例题2．判断下列每对集合之间的关系： (1) A = {x ｜x = 2k, k ∈ N} ，B = {y ｜y = 4m, m ∈ N} ； (2)C = {1, 2, 3, 4} ，D = {x ｜x 是12 的约数}； (3) E = {x｜ x - 3 < 2, x ∈ N+ } ，F = {1, 2, 3, 4, 5} . 【答案】 (1)B⊂ A （B A） (2)C⊂ D（C D） (3)E⊂ F （E F） 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为; 并规定：空集是任何集合的子集. 例如:方程x2+1=0没有实数根,所以方程x2+1=0的实数根组成的集合为 你还能举几个空集的例子吗？ 注：空集是任何非空集合的真子集，即⫋A. 空集 回忆 空集的概念是什么？ 思考 包含关系{a}⊆A与属于关系a∈A有什么区别？试结合实例作出解释？ 包含关系是集合与集合之间的关系，用“⊆”表示； 属于关系是元素与集合之间的关系，用“∈”表示. 二者不可混淆，用符号之前要搞清楚是元素与集合还是集合与集合的关系. 用适当的符号填空： (1) a___{a,b,c}； (2) 0___{x|x2=0}； (3) ∅___{x∈R|x2+1=0}； (4) {0,1}___N； (5) {0}___{x|x2=x}； (6) {2,1}___{x|x2-3x+2=0}； ∈ ∈ = = 0，{0}与,{}四者有什么区别与联系? 思考 {0}是含有一个元素0的集合； 是不含任何元素的集合，是{0}的一个子集； {}是含有一个元素的集合（它不是空集）。 例题3．下列四个说法中，正确的有 ( ) ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若 ，则 ； ④任何集合至少有两个子集. A ．0 个 B ．1 个 C ．2 个 D ．3 个 变式．下列四个关系式中正确的个数是( ) （1） {0} （2） （3） （4） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 A B 我们常用文氏图来直观表示集合以及集合之间的关系．基本想法就是用一个简单的、通常以圆、椭圆或矩形等为边界的平面图形来表示一个集合．图 1-1-3 是A⊆B 的文氏图. 图1-1-3 韦恩 ( J. Venn ,1834—1923), 英国逻辑学家、哲学家，以首创文氏图用以形象化地表示集合闻名．文氏图除了在集合论中被使用之外，还在如逻辑、概率统计、计算机科学中被使用.（有些资料也称为Venn图） 文氏图表示集合之间的关系 例题4．若集合 ， 则图中阴影部分表示的集合中的元素个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 C 由集合之间的基本关系，可以得到以下结论： (1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A, B, C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C； (3)对于两个集合A, B，如果A⊆B，且B⊆A，那么A=B； (4)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 常用结论 （4）符号语言：⊆A； ⊂A（A是非空集合） 对于常用数集，我们有如下包含关系：N⊂Z⊂Q⊂R (1)分别写出下列集合的子集及其个数： ，{a}，{a，b}，{a，b，c}． (2)由(1)你发现集合A中含有n个元素，则集合A有多少个子集？ 子集的个数 (1)的子集是； {a}的子集是{a}，； {a，b}的子集是{a，b}，{a}，{b}，； {a，b，c}的子集是｛a，b，c｝，｛a，b｝，｛a，c｝，｛b，c｝，{a}，{b}，{c}，。 (2)由(1)可得：当n＝0时，集合A有1＝20个子集； 当n＝1时，集合A有2＝21个子集； 当n＝2时，集合A有4＝22个子集； 当n＝3时，集合A有8＝23个子集； 因此含有n个元素的集合A有2n个子集；有2n-1个真子集。 Ⅰ、当n=0，即集合A为，有一个子集是它本身，没有真子集； Ⅱ、 假设集合A中含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n－1)个；(3)A的真子集有(2n－1)个；(4)A的非空真子集有(2n－2)个． 例题5 ．已知集合A = {x | x - 6x - 7 = 0} ，则A的真子集的个数是 . 1 ．已知集合A = {2,3}，B = {x | 0 < x < 5，x ∈ N}，则满足 A ⊆ C ⊆ B 的集合 C 的个数为 ( ) A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 C 3 练一练 2．若集合P = {x∣- 2 ≤ x < m - m2 , x ∈ Z} ，当m = 时，集合P的非空真子集个数为 ( ) A ． 8 B ． 7 C ． 6 D ． 4 C 3 ．已知集合A = {x kx + 8x -16 = 0, k ∈ R , x ∈ R} . (1)若A 只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法 表示集合A ； (2)若A 至少有两个子集，试求实数k 的取值范围. 2 【答案】(1)k = 0 或k = -1 ，A = {2} 或A = {4} (2)k ≥ -1 4．已知集合A = {x| - 2 ≤ x ≤ 5} . (1)若B⊆ A ，B = {x| m +1 ≤ x ≤ 2m -1, m 为常数} ，求实数 m的取值范围. (2)若A⊆B ，B = {x |m +1 ≤ x ≤ 2m -1, m 为常数} ，求实数 m的取值范围. (3)若B = {x |m +1 ≤ x ≤ 2m -1, m 为常数} ，是否存在实数 m，使得A = B ？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 【答案】1){m | m ≤ 3} (2) (3)不存在，理由：假设存在满足题意的实数m．若A=B，则必有m+1=-2且2m-1=5，此时无解，即不存在使得A=B的实数m. 1.分析集合间的关系时，首先要分析、化简每个集合．2.借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．3.此类问题要注意对空集的讨论． 小结 1 ．集合A = {1, 2, 3, 4} 的非空子集的个数为__________ 15 课堂练习 2 ．满足关系{a, b}⊆A⊆ {a, b, c, e} 的集合A的个数为 . 4 3 ．已知集合A = {1, 2}, B = {1, a, 3} ，且 A ≤ B ，则 a = . 2 4．已知集合P = {x| -2 ≤ x ≤ 5} ，Q = {x| 1-k ≤ x ≤ 2k-1} ， 且P⊆ Q ．则实数k 的取值范围为 . k≥3 5 ．A = {x | x ≤ 1} ，那么下列结论错误的是 ( ) A . B ． C ．0 ∈ A D . A 6 ．给出下列关系式，其中正确的是 ( ) A ． B ． C ． B 7．已知集合 , B ⊆ A ， 则 m = ( ) A ． 0 或 B ． 0 或 3 C ．1 或 D ．1 或 3 B 8 ．非空集合 P 满足下列两个条件：（ 1）P ⊂ {1, 2, 3, 4, 5} ， （2）若元素a ∈ P ，则 6 - a ∈ P ，那么集合 P 的个数是 ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ． 8 B 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING $$