第五单元 认识方程（讲义）-2023-2024学年四年级下册数学北师大版

第五单元 认识方程 必考点1：代数式的书写格式。 例1：用简便方法表示下列各式。 3.8×x= m×n= a+a= 4×b×b= a×5= a×a= 3.4×a×b= 4+b+b= 4×b×b= 【分析】根据字母表示数的规则进行改写化简。 【解答】3.8x；mn；2a；4b2；5a；a2；3.4ab；4+2b； 4b2 知识提要 用字母表示数的书写： 1.字母与字母相乘 中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如： A×B可写成A·B 或 AB 2.数字与字母相乘 把数字放到字母前，中间的乘号可用“.”表示或省略不写，例如： 3×B可写成3·B或 3B。 3. 两个字母相乘 需要写成平方的形式，例如： B×B 可写成 B2 。 · 必考点2：用字母表示式子。 例1：东东的爸爸今年m岁，东东今年a岁，5年后爸爸比东东大（ ）岁。 A.5 B.m-a C.m-a+5 【分析】根据年龄差不变的特点可知，5年后爸爸比东东大的年龄等于今年爸爸比东东大的年龄，据此解答即可。东东的爸爸今年m岁，东东今年a岁，5年后爸爸比东东大 (m - a)岁，故选B。 【解答】B 例2：用含有字母的式子表示。 （1） 我今年体重是 38 千克，比去年增加 a 千克，去年体重是 _____千克。（2）一辆汽车每小时行60km，行驶 xkm需要_____小时；y小时行驶_____ km。 （3） 公鸡有m只，母鸡的只数比公鸡的2倍多15只，母鸡和公鸡一共有_____只；母鸡比公鸡多_____只。 （4） 把两个边长都是acm的正方形拼成一个长方形，长方形的周长是_____________cm。 【分析】根据字母表示数的规则进行改写化简。 【解答】（1）（38-x） （2）x÷60；60y （3）(2m+15)；(m+15) （4）6a 例3：用棋子摆图形，按照下图的规律摆下去，摆第6个图形需要( )枚棋子，摆第n个图形需要( )枚棋子。 【分析】观察图形可知，第一个图形有4枚棋子，第二个图形有8枚棋子，第三个图形有12枚棋子，则第个图形棋子的枚数=第n个图形×4，即第n个图形需要4n枚棋子；据此进行计算即可。 第6个图形需要棋子的枚数：4n=4×6=24则按照下图的规律摆下去，摆第6个图形需要24枚棋子，摆第n个图形需要4枚棋子。 【解答】24；4n 知识提要 用字母或者含字母的式子表示数时，先分析关系再列式子。 · 必考点3：含有字母式子的化简与求值。 例1：已知a=3，b=4.5，c=5，那么4a-b=（ ），3c+2b =（ ）。 【分析】将a=3，b=4.5，c=5，分别代入4a-b和3c+2b中进行计算即可。 由分析可得： 将a=3，b=4.5代入4a-b，得：4×3-4.5=12-4.5=7.5； 将b=4.5，c=5代入3c +2b，得：3×5+2×4.5=15+9=24； 综上所述： 已知a=3，b=4.5，c=5，那么4a-b=7.5，3c+2b=24。 【解答】7.5；24 例2：王阿姨家平均每月的伙食费是a元，平均每月的水电费是b元。 （1） 用含有字母的式子表示王阿姨家上半年的伙食费和水电费，一共是多少元? （2）当a=1600，b=100时，王阿姨家上半年的这两项开支一共多少元? 【分析】（1）先用a+b求出平均每月的伙食费和水电费的和；上半年有6个月，再用平均每月的伙食费和水电费的和乘6，可表示出上半年伙食费和水电费一共是6 (a+b) 元或 (6a + 6b) 元； （2） 把a = 1600，b= 100代入6 (a +b) 计算，即可求出上半年的这两项开支的总钱数。 当a= 1600，b= 100时， 6(a+b) =6×(1600 +100) =6×1700 =10200 (元) 【解答】（1）6 (a+b) 元或 (6a + 6b) 元 （2）10200元 知识提要 1.用字母可以表示数，用含有字母的式子可以表示数量关系。 2.当字母的值确定时，含有字母的式子的值也就随之确定，把字母的值代入含有字母的式子里，通过计算就可以求出含有字母的式子的值。 · 必考点4：等量关系式。 例1：找出下列各题中的等量关系式。 （1） 小巧和小亚年龄和是25岁。 （2）乐乐植树28棵，比花花植树棵数的2倍少4棵。 【分析】（1）两个人年龄相加和是25，即小巧的年龄+小亚的年龄=25岁； （2）根据题意可知，花花植树棵数乘2，再减4等于乐乐植树棵数：或者乐乐植树棵数+4，再除以2，即等于花花植树棵数；据此即可解答。花花×2-4=乐乐或（乐乐+4）÷2=花花。 【解答】（1）小巧的年龄+小亚的年龄=25岁 （2）花花×2-4=乐乐或（乐乐+4）÷2=花花 知识提要 根据情景找等量关系时，要注意题目中数学信息间的一一对应关系和相互之间的联系。 · 必考点5：方程的意义。 例1：在①x + 7.9 <16，②0.23m = 4.6，③55> m÷0.4，④15×2.4 =36，⑤66-x=38等式有（ ），方程有（ ）。(填号) 【分析】①0x +7.9<16，含有未知数，但不是等式，所以不是方程；②0.23m=4.6，含有未知数且是等式，所以是方程，③55>m÷0.4，含有末知数，但不是等式，所以不是方程，④15×2.4=36，是等式，但不含有未知数，所以不是方程，⑤66-x=38，含有末知数且是等式，所以是方程；则等式有②④⑤，方程有②⑤。【解答】②④⑤；有②⑤ 知识提要 含有未知数的等式叫方程，方程是特殊的等式，所有的方程都是等式，但等式不一定是方程。 · 必考点6：列简易方程。 例1：福州西湖公园至今有一千百多年的历史，是福州迄今为止保留最完整的一座古典园林，被称为“福建园林明珠”，现占地面积为42.51公项，其中陆地面积是12.21公顷，水面面积是x公顷。根据其中的数量关系，下列方程正确的是 A.x+12.21= 42.51 C.x-12.21=12.21 B.x-42.51=12.21 D.x-42.51=42.51 【分析】根据题意，可知陆地面积+水面面积=占地面积，据此列出方程为x+12.21=2.51。据此选择即可。 【解答】A 例2：凌云小学组织学生观看“神舟十三号”返回地球的直播。五、六年级一共去了282人，六年级去的人数是五年级的2倍。五年级去了多少人？设五年级去了x人。列出正确的方程________________________________。 【分析】根据题意，设五年级去了x人，六年级去的人数是五年级的2倍，则六年级有2x人，可列等量关系：五年级人数+六年级人数=总人数，列方程解答即可。 【解答】2x+x=282 例3：根据下图列出化简后的方程：____________________________________。 【分析】天平的左边是2个x克的物品、一个10克和一个20克的物品，与右边100克的物品相等，据此列出方程即可解答。 【解答】2x + 30 =100 知识提要 列方程的关键是理解题意，先找出题中的等量关系，然后根据等量关系列方程。 · 必考点7：解方程（一）。 例1：解方程。 x+4=40 x-4=40 4y=2000 y÷12=4 【分析】在等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立。等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。利用等式的性质解方程即可。 【解答】 x+4=40 x-4=40 解：x+4-4=40-4 解：x-4+4=40+4 x=36 x=44 4y=2000 y÷12=4 解：4y÷4=2000÷4 解：y÷12×12=4×12 y=500 y= 48 例2：把方程和它的解用线连起来。 【分析】利用等式的性质求出方程的解即可。 【解答】 知识提要 使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。求方程的解的过程叫做解方程。 利用等式的性质解方程： 1、 等式的性质（一）： 等式的两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立。 2、 等式的性质（二）： 等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立。 · 必考点8：解方程（二）。 例1：解方程，并检验。 （1）3x+6=21 （2）4x-30=10 【分析】（1）方程的两边先同时减去6，再同时除以3；（2）方程的两边先同时加上30，再同时除以4。 【解答】 （1）3x+6=21 （2）4x-30=10 解： 3x+6-6=21-6 解： 4x-30+30=10+30 3x=15 4x=40 3x÷3=15÷3 4x÷4=40÷4 x=5 x=10 检验：把x=5代入原方程。 检验：把x=10代入原方程。 方程左边=3×5+6 方程左边=4×10-30 =21 =10 =方程右边 =方程右边 说明x=5是方程3x+6=21的解 说明x=10是方程4x-30=10的解 知识提要 在解上述方程时，可以将乘法部分看做一个整体，先利用等式的性质（一）求出该整体的值，再利用等式的性质（二）求出x的值，最后注意检验。 · 必考点9：列方程解应用题。 例1：猜数游戏： 淘气：我心里想了一个数 智慧老人：请把你心里想的数乘2，加30等于几？ 淘气：80 智慧老人：我知道你心里想的数是几了。淘气心里想的数是多少? （用方程解决） 【分析】淘淘心里想的数乘2等于80，列出方程求解即可。 【解答】解：设淘气心里想的数是x。 2x + 30 = 80 2x + 30 - 30 =80 - 30 2x=50 2x÷2 =50÷2 x=25 答：淘气心里想的数是25。 例2：某公司准备引进一批智能机器人代替工人，已知一台智合机器人1天加工280个零件，比一名工人5天加工的零件少40，一名工人平均每天加工多少个零件? (用方程解) 【分析】此题的等量关系式是一名工人5天加工的零件个数 -40个=一台智能机器人1天加工零件个数，据此列出方程并解方程。 【解答】解：设一名工人平均每天加工x个零件 5x - 40 =280 5x- 40 +40=280+40 5x =320 5x÷5=320÷5 x=64 答：一名工人平均每天加工64个零件。 例2：雨燕是长距离飞行最快的鸟，每时可飞行170千米，它的速度比信鸽飞行速度的2倍还多22千米。信鸽每小时飞行多少千米? （列方程解答） 【分析】根据题意，雨燕的飞行速度比信鸽飞行速度的2倍还多22千米，确定等量关系为：雨燕的飞行速度=信鸽的飞行速度×2+22，已知雨 燕飞行速度为170千米，信鸽的飞行速度是未知量，我们可以设信鸽的飞行速度是x千米，根据等量关系列方程即可。 【解答】解：设信鸽每小时飞行x千米。 2x + 22 = 170 2x + 22 - 22 =170 - 22 2x=148 2x÷2 =148÷2 X=74 答：信鸽每小时飞行74千米。 知识提要 列方程解决实际问题，首先要用字母表示未知数，然后根据题目中数量之间的相互关系，列出一个含有未知数的等式，再解出未知数的值，最后检验，写出答句。 学科网（北京）股份有限公司 $$