专题 用勾股定理解决最短路径问题（五大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

八年级上册数学《第1章 勾股定理》 专题 用勾股定理解决最短路径问题 题型一 用计算法求平面中的最短问题 1．（2024春•确山县期中）如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝15米，CD＝8米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走____米，踏之何忍”（　　） A．5 B．6 C．4 D．7 【分析】由矩形的性质得∠C＝90°，再由勾股定理得出BD的长，即可解决问题． 【解答】解：∵四边形BCFG是矩形， ∴∠C＝90°， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD17（（米）， ∴BC+CD﹣BD＝15+8﹣17＝6（米）， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理的应用以及矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，由勾股定理求出BD的长是解题的关键． 2．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长． 【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，再利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，则线段CD为新建公路． ∵AC＝6km，BC＝8km，AB＝10km ∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． ∵S△ABC•AC•BCAB•CD， ∴6×810×CD，∴CD＝4.8km ∴新建路的长为4.8km． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用直角三角形的性质是解题关键． 3．如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有 两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形； （2）由△ABC的面积求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出结果． 【解答】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； （2）甲方案所修的水渠较短；理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积AB•CHAC•BC， ∴CH96（m）， ∵CH⊥AB， ∴∠AHC＝90°， ∴AH128（m）， ∴BH＝AB﹣AH＝72m， ∵AC+BC＝160m+120m＝280m，CH+AH+BH＝96m+200m＝296m， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短． 【点评】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形是解决问题的关键． 4．（2023春•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，． （1）求AB的长度； （2）已知D是AB上一点，连接CD，当CD的长度最短时，求AD的长度． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）当CD⊥AB时，CD的长度最短，利用面积相等即可求出答案． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，，， ∴在Rt△ABC中， 根据勾股定理可得； （2）当CD⊥AB时，CD的长度最短， ∵，， 由（1）得：AB＝5， ∴利用面积可得， 即：， ∴CD＝2， 在Rt△ACD中， 根据勾股定理可得：． 【点评】本题考查了勾股定理和垂线段最短，灵活运用所学知识是解题关键． 5．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题： （1）求A、C之间的距离；（参考数据：4.6） （2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间） 【分析】（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点，利用勾股定理求得AC的长即可； （2）分别求得乘车时间，然后比较即可得到答案． 【解答】解：（1）过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E点， ∵∠ABC＝120°，BC＝20， ∴BE＝10， 在△ACE中， ∵AC2＝8100+300， ∴； （2）乘客车需时间（小时）； 乘列车需时间（小时）； ∴选择城际列车． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形． 6．（2023秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16． （1）求证：BD⊥AC； （2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理解决问题即可． （2）根据垂线段最短解决问题即可． 【解答】解：（1）∵AC＝21，AD＝16， ∴CD＝AC﹣AD＝5， ∵BD2+CD2＝122+52＝169＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴BD⊥AC． （2）当DE⊥AB时，DE最短， ∵AB20， ∵•AD•DB•AB•DE， ∴DE9.6， ∴线段DE使的最小值为9.6． 【点评】本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2023春•肇源县期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为125m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为60m，BM的长为75m． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）求喷泉B到小路AC的最短距离． 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）根据勾股定理的逆定理和垂线段解答即可． 【解答】解：（1）在Rt△MNB中，BN45（m）， ∴AN＝AB﹣BN＝125﹣45＝80（m）， 在Rt△AMN中，AM100（m）， ∴供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长＝100+75＝175（m）； （2）∵AB＝125m，AM＝100m，BM＝75m， ∴AB2＝BM2+AM2， ∴△ABM是直角三角形， ∴BM⊥AC， ∴喷泉B到小路AC的最短距离是BM＝75m． 【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理、逆定理和垂线段解答． 8．（2024春•安丘市月考）如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米． （1）求爆破点C处到公路l的距离． （2）已知爆破点C周围750米之外为安全范围．在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理逆定理判定△ABC是直角三角形，利用三角形的面积公式即可求得CD＝720米； （2）根据720米＜750米可以判断有危险，根据勾股定理求出DE，进而求出EF． 【解答】解：（1）在△ABC中，AB＝1500米，AC＝900米，BC＝1200米， ∴AB2＝2250000，AC2+BC2＝9002+12002＝2250000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形， 如图1，过C作CD⊥AB于D． ∵， ∴720（米）． 答：爆破点C处到公路l的距离为720米； （2）公路AB有危险而需要封锁．理由如下： 如图2，以点C为圆心，750米为半径画弧，交AB于点E，F，连接CE，CF， 由于720米＜750米，故有危险， 因此AB段公路需要封锁． ∴EC＝FC＝750米， ∴210（米）， 故EF＝420米， 则需要封锁的路段长度为420米． 【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 题型二 用平移法求平面中的最短问题 1．如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 【分析】如图，连接AB，构造直角△ABH．利用勾股定理解决问题即可． 【解答】解：如图，连接AB，构造直角△ABH． 由题意AH＝1+2+2＝5，BH＝4+4+4＝12， ∴AB13． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 2．（2024春•重庆期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（　　） A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm 【分析】首先根据题意画出台阶的侧面展开图，分别得到两直角的长；然后根据勾股定理求出AB的长即可得到小蚂蚁沿着台阶面从A到B最短爬行路程． 【解答】解：如图：展开图中AB的距离即为蚂蚁爬行的最短路程，且∠AOB＝90°． ∵每级台阶长、宽、高分别为60cm，30cm，10cm， ∴OA＝30+10+30+10＝80（cm），OB＝60cm． ∵∠AOB＝90°，OA＝80cm，OB＝60cm， ∴AB100（cm）． 故最短爬行路程是100cm． 故选：C． 【点评】本题主要考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 3．（2024春•萨尔图区校级期中）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（　　） A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm 【分析】根据题意画出台阶的平面展开图，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【解答】解：如图所示， ∵它的每一级的长宽高分别为24dm，3dm，3dm， ∴MN30（dm）， 即：蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程是30dm， 故选：C． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路线问题，解答本题的关键要明确：平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 4．（2023春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 【分析】过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G，根据题意求出AG、FG，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】解：过点F作FG⊥AB交AB的延长线于点G， 则AG＝AB+CD+EF＝8，FG＝BC+DE＝6， 由勾股定理得，AF10， 故选：D． 【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 5．如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB． 【分析】直接构造直角三角形进而利用勾股定理得出答案． 【解答】解：如图所示：过点A作AC⊥CB于C， 则在Rt△ABC中，AC＝40+40＝80（米）， BC＝70﹣20+10＝60（米）， 故终止点与原出发点的距离AB100（米）， 答：终止点B与原出发点A的距离AB为100m． 【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确构造直角三角形是解题关键． 6．（2023春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？ 【分析】首先把楼梯展开得到平面几何图，根据“两点之间，线段最短”得到蚂蚁所走的最短路线为AB，则问题是求AB的长，根据已知数据得出AC、BC的长，再利用勾股定理求出AB的长，即可完成解答． 【解答】解：如图所示，将这个台阶展开成一个平面图形，则蚂蚁爬行的最短路程就是线段AB的长． 在Rt△ABC中，BC＝55cm，AC＝10+6+10+6+10+6＝48（cm）． 由勾股定理，得AB2＝AC2+BC2＝5329． 所以AB＝73（cm）． 因此，蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是73cm． 【点评】此题考查勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 题型三 用对称法求平面的最短问题 1．（2023秋•龙口市期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（　　） A．8km B．10km C．12km D．14km 【分析】根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置，进而结合勾股定理得出即可． 【解答】解：如图所示：作A点关于直线MN的对称点A'，再连接A'B，交直线MN于点P. 则此时AP+PB最小，过点B作BE⊥CA延长线于点E， ∵AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km， ∴AA'＝4km，则A′E＝6km， 在Rt△A'EB中， A′B10（km）， 则AP+PB的最小值为：10km． 故选：B． 【点评】本题主要考查最短路径、解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 2．（2023春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程． 【分析】如图，延长BD到B′，使得BD＝DB′，连接AB′交CD于点P，连接BP，此时AP+PB的值最小，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E，利用勾股定理求出AB′即可． 【解答】解：如图，延长BD到B′，使得BD＝DB′，连接AB′交CD于点P，连接BP，此时AP+PB的值最小，过点B′作B′E⊥AC交AC的延长线于点E， ∵∠CDB′＝∠DCE＝∠E＝90°， ∴四边形CDB′E是矩形， ∴CD＝EB′＝400m，DB′＝EC＝BD＝100m， ∴AE＝AC＝ce＝200+100＝300（m）， ∴AB′500（m）， ∴PA+PB的最小值为500m． 【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称﹣最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 3．（2022春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km. （1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明． （2）求这个最短距离． 【分析】（1）根据题意画出图形，再利用轴对称求最短路径的方法得出P点位置； （2）结合勾股定理得出即可． 【解答】解：（1）如图，作点B关于MN的对称点C，连接AC交MN于点P，则点P即为所建出口， 此时A、B两城镇到出口P的距离之和最小，最短距离为AC的长． （2）作AD⊥BB′于点D，在Rt△ADC中，AD=A′B′=8 km,DC=6 km. ∴AC==10 km, ∴这个最短距离为10 km. 【点评】此题主要考查了应用与设计作图，两点之间线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题． 4．（2023秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）． 【分析】先作A关于MN的对称点，连接A′B，构建直角三角形，利用勾股定理即可得出答案． 【解答】解：如图，作出A点关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P， 则从A延AP到P再延PB到B， 此时AP+BP＝A′B， 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得 A′B15km， 答：他要完成这件事情所走的最短路程是15km． 【点评】本题考查的是勾股定理和轴对称在实际生活中的运用，需要同学们联系实际，题目是一道比较典型的题目，难度适中． 5．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值． 【分析】过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC；连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小；再根据勾股定理求出DC′即可． 【解答】解：如图所示：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC； 连接DC′，交AB于E，连接CE，此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小； 连接BC′，由轴对称的性质得：∠C′BE=∠CBE=45°， ∴∠CBC′=90°， ∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°， ∴BC=BC′=2， ∵D是BC边的中点， ∴BD=1， 根据勾股定理得：DC′=； ∴DE+CE的最小值为． 题型四 用展开图求长方体中的最短问题 1．（2024春•呼兰区月考）如图，一只蚂蚁沿棱长为6的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（　　） A． B． C．36 D．12 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知． 【解答】解：如图所示：将正方体展开，连接A、B， 根据两点之间线段最短，． 故选：A． 【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键． 2．（2024春•绥江县月考）如图，正方体盒子的棱长为4，AB中点为M，一只蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点C′，蚂蚁爬行的最短距离是（　　） A．10 B． C． D． 【分析】根据题意，将正方体以不同方式展开，根据两点之间线段最短，应用勾股定理，即可求解， 【解答】解：∵AB中点为M， ∴， 当沿前面和上面爬行时，将正方体展开，连接MC′， BC′＝BC+CC′＝4+4＝8， 在Rt△MBC′中，， 当沿前面和右面爬行时，将正方体展开，连接MC′， MC＝MB+BC＝2+4＝6， 在Rt△MCC′中，， ， 故选：B． 【点评】本题考查了，勾股定理的应用最短路径，解题的关键是：熟练掌握立方体的不同展开方式． 3．（2024春•源汇区校级月考）如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm，3.5cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 　 　cm． 【分析】分两种情况，一是沿长方体正面、右侧面爬行，二是沿长方体底面、后侧面爬行，将长方体展开，连接AB，用勾股定理求出AB，比较大小即可得到最短路程． 【解答】解：分两种情况： ①如图，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ABM中，由勾股定理得：； ②如图，展开后连接AB，则AB就是在表面上从A到B的最短距离， 在Rt△ABN中，由勾股定理得：； ∵， ∴爬行的最短路程是25cm， 故答案为：25． 【点评】本题考查勾股定理的实际应用，正确作出图形是解决此题的关键． 4．（2024•建邺区二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C．3 D．4 【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求出线段AB的长即可． 【解答】解：如图1， ∴AB， 如图2， ， AB， ∵， ∴最短路径的长是， 故选：A． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，正确地画出展开图，确定两点之间，线段最短是解题的关键． 5．（2024春•西城区校级期中）如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A． B． C． D． 【分析】正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长． 【解答】解：如图， 它运动的最短路程AB（cm）． 故选：C． 【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出答案． 6．（2023秋•甘州区校级期末）如图是一个长方体包装盒，高为5cm，底面是正方形，边长为6cm，现需用绳子装饰，绳子从A出发，沿长方体表面绕到C处，则绳子的最短长度是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【分析】把长方体右边的表面展开，连接AC，则AC就是绳子的最短时经过的路径，然后根据勾股定理求解，利用两点之间线段最短的性质即可解答． 【解答】解：如图， 将长方体右边的表面翻折90°（展开），连接AC，显然两点之间线段最短，AC为点A到点C的最短距离，由勾股定理知： ， ∴AC＝13cm，即绳子最短为13cm， 故选：D． 【点评】此题考查了平面展开——最短路径问题，把长方体右边的表面展开，利用两点之间线段最短的性质，将长方体右边的表面展开是解题的关键． 7．（2024春•西山区校级期中）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA米，AB＝2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（　　）米． A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】可将教室的墙面ADEF与地面ABCD展开，连接PB，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB， 此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵米，AB＝2米，点P到AF的距离是4米， ∴PG＝4米， ∴（米）， ∴BG＝GA+AB＝1+2＝3（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是5米． 故选：C． 【点评】本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 8．（2023秋•叙州区期末）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6m，AB＝4m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 【分析】将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【解答】解：如图，将木块展开，AC即为所求， 则AP＝4+2+2＝8（米），BC＝AD＝6米， ∴最短路径为：AC10（米）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路线问题，两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力． 9．（2023秋•姜堰区期末）如图，有一长方体容器，AB＝5，BC＝3，AA'＝6，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点C'的最短爬行路程是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【分析】分三种情况，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：如图1，A′C， 如图2，A′C10， 如图3，A′C， ∵10， ∴点A爬到点C'的最短爬行路程是10． 故选：C． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题，我们将此类复杂题目转化为用勾股定理解答的题目就很好理解了． 10．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长． 【分析】将长方体展成平面图形，根据两点之间线段最短即可确定蚂蚁爬行的最短路线为AB，利用勾股定理求出AB的长度即可． 【解答】解：情形1：平面展开图所示， AB13（分米）． 情形2：平面展开图如图所示： AB（分米）， ∵13， 答：它需要爬行的最短路径的长是分米． 【点评】本题考查的是平面展开路径问题，勾股定理等知识，解题的关键是明确蚂蚁爬行的不同路线． 题型五 用展开图求圆柱体的最短问题 1．（2024春•五华区校级期中）如图是底面周长为24，高为5的圆柱体．一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　） A．7 B．10 C．13 D．21 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方形，根据两点之间线段最短找出最短距离，然后根据勾股定理可求得结果． 【解答】 解：如图所示： 由于圆柱体的底面周长为24， 则AC＝2412， 又因为BC＝5， 所以AB13， 故蚂蚁爬行的最短距离是13． 故选：C． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是把立体图形转换成平面图形，运用勾股定理来解． 2．（2024春•中阳县期中）如图，圆柱底面的周长为16dm，圆柱高为8dm，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（　　） A．20dm B．10dm C．24dm D．16dm 【分析】沿AB剪开，展开圆柱的侧面，这只蚂蚁爬行的最小长度为AC+A'C＝2AC，再利用勾股定理求出AC即可解决问题． 【解答】解：沿AB剪开，展开圆柱的侧面，如图，这只蚂蚁爬行的最小长度为AC+A'C， 由题意，知AC＝A'C，AB＝8dm，BC＝8dm，∠B＝90°， 由勾股定理，得AC（dm）， ∴A'C（dm）， ∴这只蚂蚁爬行的最小长度为dm， 故选：D． 【点评】本题考查平面展开最短路线问题，勾股定理，两点之间线段最短，理解题意，能将立体图形展开成平面图形，利用勾股定理解答是解题的关键． 3．（2024春•江夏区校级月考）如图，圆柱底面半径为，高为24cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B．26cm C．30cm D． 【分析】根据题意，把圆柱展开，将长方向平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短，即AD+DE+EB，运用勾股定理即可求解． 【解答】解：如图所示，圆柱的展开图中，将长方向平均分为3个小长方形，沿着对角线运动路径最短， 最短路线为AD+DE+EB， ∵圆柱的半径为，圆柱的高为24cm， ∴，， ∴在Rt△ACD中，， ∴， 故选：D． 【点评】本题主要考查圆柱中两点之间的最短距离，勾股定理的运用，掌握圆柱的基础知识，勾股定理求线段是解题的关键． 4．（2024春•安次区月考）如图，一个圆柱的底面半径为，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS，利用勾股定理即可得出AS的长． 【解答】解：如图所示， ∵在圆柱中，底面半径为，BC＝12， ∴展开图中，，， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理的应用． 5．（2024•武威二模）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　） A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 【解答】解：如图： 将杯子侧面展开， 作A关于EF的对称点A′， 则AF+BF为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离，即A′B的长度， ∵A′B17（cm）， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为17cm， 故选：B． 【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 6．（2023秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　 　丈． 【分析】根据题意画出图形，在Rt△ABC中，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：如图所示：AB表示葛藤的最短长度， 由题意可知：BC＝3（丈），AC＝8×5÷10＝4（丈）， 在Rt△ABC中，（丈）． 故答案为：5． 【点评】本题考查了平面展开—最短路径问题，能够根据题意画出图形，构造直角三角形是解题的关键． 7．（2024春•湖北期中）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 　 ． 【分析】先“化曲面为平面”，把圆柱的侧面展开成矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长．再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【解答】解：如图， 根据题意，AB＝CD＝5，AC＝BD， ∵P点位于圆周顶面处， ∴，PD＝BD﹣BP＝6， ∴小虫爬行的最短路程． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平面展开图最短路径问题，解答本题的关键要明确求平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题． 8．（2023秋•峡江县期末）一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干横截面的周长为20cm，A，B两点的距离为15cm．若螳螂想吃掉在点B的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 【分析】把这段树干看作圆柱，根据题意画出沿高展开图形，进而得出最短路径即可． 【解答】解：把这段树干看成用纸卷成的圆柱，从AB处将它展开如下： 则AB即为所求的最短距离． 其中BC＝15cm，AC＝20cm， 在RT△ACB中，AB25（cm）． 答：螳螂绕行的最短路程是25cm． 【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题，画出圆柱的平面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键． 9．（2024春•赣州期中）如图①，圆柱的底面直径为6cm，高12cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点A爬到点B的最短路径长多少厘米． （1）图②是将圆柱侧面沿AC裁剪后展开形成的四边形AA′C′C，点B在线段CC′上，求CC′的长（π取3）； （2）在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【分析】（1）计算出圆柱的底面周长，即为CC'的长； （2）蚂蚁爬行的最短路径就是图②中线段AB的长，因此连接AB，即为蚂蚁爬行的最短路径；再利用勾股定理求出AB即可． 【解答】解：（1）CC′＝6×3＝18（cm）， 答：CC′的长为18cm； （2）蚂蚁爬行的最短路径为线段AB，如图， 由题意，知AC＝12cm，BCCC'＝9cm，∠C＝90°， 由勾股定理，得AB15（cm）， 答：最短路径的长度为15cm． 【点评】本题考查平面展开﹣最短路径问题，勾股定理，弄清立体图形与展开图形中的各线段关系是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《第1章 勾股定理》 专题 用勾股定理解决最短路径问题 题型一 用计算法求平面中的最短问题 1．（2024春•确山县期中）如图，长方形BCFG是一块草地，折线ABCDE是一条人行道，BC＝15米，CD＝8米，为了避免行人穿过草地（走虚线BD），践踏绿草，管理部门分别在B、D处各挂了一块牌子，牌子上写着“少走____米，踏之何忍”（　　） A．5 B．6 C．4 D．7 2．如图，某工厂C前面有一条笔直的公路，原来有两条路AC，BC可以从工厂C到达公路，经测量AC＝6千米，BC＝8千米，AB＝10千米，现需要修建一条路，使工厂C到公路的路程最短．请你帮工厂C设计一种方案，并求出新建路的长． 3．如图所示，A、B两块试验田相距200米，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有 两种方案修筑水渠． 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑． （1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； （2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明． 4．（2023春•东莞市校级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，，． （1）求AB的长度； （2）已知D是AB上一点，连接CD，当CD的长度最短时，求AD的长度． 5．小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°．请你帮助小明解决以下问题： （1）求A、C之间的距离；（参考数据：4.6） （2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间） 6．（2023秋•大名县期末）如图，在△ABC中，AC＝21，BC＝13，D是AC边上一点，BD＝12，AD＝16． （1）求证：BD⊥AC； （2）若E是边AB上的动点，求线段DE的最小值． 7．（2023春•肇源县期末）如图，某小区有两个喷泉A，B，两个喷泉的距离长为125m．现要为喷泉铺设供水管道AM，BM，供水点M在小路AC上，供水点M到AB的距离MN的长为60m，BM的长为75m． （1）求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； （2）求喷泉B到小路AC的最短距离． 8．（2024春•安丘市月考）如图，A村和B村相距1500米，经过A村和B村（将A，B村看成直线l上的点）的笔直公路l旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破．C处与B村的距离为1200米，C处与A村相距900米． （1）求爆破点C处到公路l的距离． （2）已知爆破点C周围750米之外为安全范围．在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由． 题型二 用平移法求平面中的最短问题 1．如图，相邻的两边互相垂直，则从点B到点A的最短距离为（　　） A．13 B．12 C．8 D．5 2．（2024春•重庆期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm．A和B是台阶两个相对的端点，在B点有一只蚂蚁，想到A点去觅食，那么它爬行的最短路程是（　　） A．60cm B．80cm C．100cm D．140cm 3．（2024春•萨尔图区校级期中）如图，学校实验楼前一个三级台阶，它的每—级的长、宽、高分别为24dm，3dm，3dm，点M和点N是这个台阶上两个相对的端点，M点有一只蚂蚁，想到N点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点N的最短路程（　　） A．10dm B．20dm C．30dm D．36dm 4．（2023春•梁山县期中）如图，已知∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝90°，且AB＝CD＝3，BC＝4，DE＝EF＝2，则A，F两点间的距离是（　　） A．14 B．6 C．8 D．10 5．如图，某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器人，在平坦的操场上进行走展示．输入指令后，机器人从出发点A先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米到达终止点B．求终止点B与原出发点A的距离AB． 6．（2023春•肥乡区月考）如图所示，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55cm，10cm，6cm，点A和点B是这个台阶的两个相对的端点，A点处有一只蚂蚁，那么这只蚂蚁从点A爬到点B的最短路程是多少？ 题型三 用对称法求平面的最短问题 1．（2023秋•龙口市期末）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AC＝2km，BD＝4km，CD＝8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（　　） A．8km B．10km C．12km D．14km 2．（2023春•苍溪县期末）如图，亮亮在A处看护羊群吃草，其家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC＝200m，BD＝100m，CD＝400m，亮亮从A处把羊群赶到河边饮水后回家，作图说明亮亮如何行走路程最短，并求出亮亮走的最短路程． 3．（2022春•雄县期末）如图，高速公路的同一侧有A、B两城镇，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA′=2km, BB′=4km , 且A′B′=8km. （1）要在高速公路上A′、B′之间建一个出口P，使A、B两城镇到P的距离之和最小．请在图中画出P的位置，并作简单说明． （2）求这个最短距离． 4．（2023秋•新吴区期中）如图，牧童在离河边3km的A处牧马，小屋位于他南6km东9km的B处，他想把他的马牵到河边饮水，然后回小屋．他要完成此过程所走的最短路程是多少？并在图中画出饮水C所在在位置（保留作图痕迹）． 5．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC的中点，E是AB上的一动点，且不与A，B重合，是否存在一个位置，使DE+CE的值最小？若不存在，说明理由；若存在，试求出最小值． 题型四 用展开图求长方体中的最短问题 1．（2024春•呼兰区月考）如图，一只蚂蚁沿棱长为6的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为（　　） A． B． C．36 D．12 2．（2024春•绥江县月考）如图，正方体盒子的棱长为4，AB中点为M，一只蚂蚁从点M沿正方体的表面爬到点C′，蚂蚁爬行的最短距离是（　　） A．10 B． C． D． 3．（2024春•源汇区校级月考）如图，一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为3.5cm，3.5cm，24cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，则它爬行的最短路程是 　 　cm． 4．（2024•建邺区二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点A到点B的所有路径中，最短路径的长是（　　） A． B． C．3 D．4 5．（2024春•西城区校级期中）如图，在桌面上放置一个正方体，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点．蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（　　） A． B． C． D． 6．（2023秋•甘州区校级期末）如图是一个长方体包装盒，高为5cm，底面是正方形，边长为6cm，现需用绳子装饰，绳子从A出发，沿长方体表面绕到C处，则绳子的最短长度是（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 7．（2024春•西山区校级期中）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA米，AB＝2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（　　）米． A．3 B．4 C．5 D．6 8．（2023秋•叙州区期末）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝6m，AB＝4m，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（　　） A．8m B．10m C．m D．m 9．（2023秋•姜堰区期末）如图，有一长方体容器，AB＝5，BC＝3，AA'＝6，一只蚂蚁沿长方体的表面，从点A爬到点C'的最短爬行路程是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 10．在一个长为8分米，宽为5分米，高为7分米的长方体上，截去一个长为6分米，宽为5分米，深为2分米的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点A处，沿着几何体的表面到几何体上和A相对的顶点B处吃食物，求它需要爬行的最短路径的长． 题型五 用展开图求圆柱体的最短问题 1．（2024春•五华区校级期中）如图是底面周长为24，高为5的圆柱体．一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（　　） A．7 B．10 C．13 D．21 2．（2024春•中阳县期中）如图，圆柱底面的周长为16dm，圆柱高为8dm，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点A爬到点C，再从点C爬回点A，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最小长度为（　　） A．20dm B．10dm C．24dm D．16dm 3．（2024春•江夏区校级月考）如图，圆柱底面半径为，高为24cm，点A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A，B在同一条竖直直线上，用一根棉线从A点顺着圆柱侧面绕3圈到B点，则这根棉线的长度最短为（　　） A． B．26cm C．30cm D． 4．（2024春•安次区月考）如图，一个圆柱的底面半径为，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 5．（2024•武威二模）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm，底面周长为30cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（　　） A．12cm B．17cm C．20cm D．25cm 6．（2023秋•烟台期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高三丈，周八尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为3丈，底面周长为8尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 　 　丈． 7．（2024春•湖北期中）如图所示，已知圆柱的底面周长为36，高AB＝5，P点位于圆周顶面处，小虫在圆柱侧面爬行，从A点爬到P点，然后再爬回C点，则小虫爬行的最短路程为 　 ． 8．（2023秋•峡江县期末）一只螳螂在一圆柱形松树树干的点A处，发现它的正上方点B处有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干横截面的周长为20cm，A，B两点的距离为15cm．若螳螂想吃掉在点B的小虫子，求螳螂绕行的最短路程． 9．（2024春•赣州期中）如图①，圆柱的底面直径为6cm，高12cm，蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点A爬到点B的最短路径长多少厘米． （1）图②是将圆柱侧面沿AC裁剪后展开形成的四边形AA′C′C，点B在线段CC′上，求CC′的长（π取3）； （2）在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$