专题10 充分条件与必要条件 （五大题型）-2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题10 充分条件与必要条件 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 【典例例题】 题型一：充分条件与必要条件的判断 【典例1-1】（2024·高一·全国·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·高一·上海杨浦·开学考试）已知，若，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【变式1-3】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 题型二：根据充分条件求参数取值范围 【典例2-1】（2024·高二·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【变式2-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【变式2-2】（2024·高一·湖北·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 题型三：根据必要条件求参数取值范围 【典例3-1】（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式3-1】（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【变式3-2】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）若“x>1或x<-2”是“x<a”的必要条件，则a的最大值是（　　） A．2 B．-2 C．-1 D．1 题型四：根据充要条件求参数取值范围 【典例4-1】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【典例4-2】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【变式4-1】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）若集合，，其中为实数. （1）若是的充要条件，则 . （2）若是的充分不必要条件，则取值范围是 . 【变式4-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【变式4-3】（2024·高一·黑龙江鸡西·阶段练习）一元二次方程有实数根的充要条件是 . 题型五：充要条件的证明 【典例5-1】（2024·高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 【典例5-2】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求证：是的充要条件. （2）已知，，，求证： 【变式5-1】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【变式5-2】（2024·高一·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·浙江温州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·高一·四川遂宁·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 4．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高一·河北石家庄·期中）“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高一·广东肇庆·期中）若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（2024·高一·全国·专题练习）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（ ） A．“”的充要条件是“" B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 8．（2024·高一·浙江台州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．已知a，，则的充要条件是 C．“”是“”的必要不充分条件 D．的充要条件是 9．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 10．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 12．（2024·高一·上海虹口·期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 13．（2024·高一·全国·单元测试）已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 14．（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 15．（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 16．（2024·高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 17．（2024·高一·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 18．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）方程至少有一个负实根的充要条件是 ． 19．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）请写出“”的一个必要不充分条件： ． 20．（2024·高一·四川成都·期中）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 . 四、解答题 21．（2024·高一·安徽阜阳·期中）已知是实数，且满足，证明下列命题: (1)“”是“”的充要条件； (2)“”是“”的充分条件. 22．（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 23．（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 24．（2024·高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 充分条件与必要条件 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：充分条件与必要条件充要条件的概念 符号与的含义 “若，则”为真命题，记作：； “若，则”为假命题，记作：． 充分条件、必要条件与充要条件 ①若，称是的充分条件，是的必要条件． ②如果既有，又有，就记作，这时是的充分必要条件，称是的充要条件． 知识点诠释：对的理解：指当成立时，一定成立，即由通过推理可以得到． ①“若，则”为真命题； ②是的充分条件； ③是的必要条件 以上三种形式均为“”这一逻辑关系的表达． 知识点二：充分条件、必要条件与充要条件的判断 从逻辑推理关系看 命题“若，则”，其条件p与结论q之间的逻辑关系 ①若，但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件； ②若，但，则是的必要不充分条件，是的充分不必要条件； ③若，且，即，则、互为充要条件； ④若，且，则是的既不充分也不必要条件． 从集合与集合间的关系看 若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，则是的充分条件，是的必要条件； ②若A是B的真子集，则是的充分不必要条件； ③若A=B，则、互为充要条件； ④若A不是B的子集且B不是A的子集，则是的既不充分也不必要条件． 知识点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件．判断方法通常按以下步骤进行： ①确定哪是条件，哪是结论； ②尝试用条件推结论， ③再尝试用结论推条件， ④最后判断条件是结论的什么条件． 知识点三：充要条件的证明 要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立） 知识点诠释：对于命题“若，则” ①如果是的充分条件，则原命题“若，则”与其逆否命题“若，则”为真命题； ②如果是的必要条件，则其逆命题“若，则”与其否命题“若，则”为真命题； ③如果是的充要条件，则四种命题均为真命题． 【典例例题】 题型一：充分条件与必要条件的判断 【典例1-1】（2024·高一·全国·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由等价于， 由等价于， 由推不出，由可以推出， 则“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高一·新疆·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由，可得或， 所以是的充分不必要条件. 故选：C 【变式1-1】（2024·高三·全国·专题练习）设是两个实数，命题“中至少有一个数大于1”的充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，当时，满足，但命题不成立； 对于C，D，当时，满足，，但命题不成立. 故选：B. 【变式1-2】（2024·高一·上海杨浦·开学考试）已知，若，则是的（    ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【解析】时，有，满足，则是的充分条件； 时，有或，不能得到，则不是的必要条件. 所以是的充分非必要条件. 故选：A 【变式1-3】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）已知是的充分条件，是的充分不必要条件，是的必要条件，是的必要条件，现有下列命题：①是的必要不充分条件；②是的充分不必要条件；③是的充分不必要条件；④是的充要条件.正确的命题序号是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【解析】因为是的的充分条件，所以.因为是的充分不必要条件，所以，， 因为是的必要条件，所以.因为是的必要条件，所以， 所以由，，可得， 则是的充要条件，命题①错误； 则是的充要条件，命题②错误； 因为，，所以，，故是的充分不必要条件，命题③正确； 易得，，所以是的必要不充分条件，命题④错误， 故选：C. 题型二：根据充分条件求参数取值范围 【典例2-1】（2024·高二·山东青岛·期中）若关于的不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：， 因为成立的充分条件是， 所以，即， 解得， 故选：D 【典例2-2】（2024·高一·陕西西安·开学考试）已知命题，命题或，其中．若是成立的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】令，或， 因为是的充分不必要条件，所以真包含于， 所以或，解得或， 故的取值范围为或． 法二：由真包含于，可得如下两种情况， 结合数轴得或， 解得或， 故的取值范围为或． 【变式2-1】（2024·高一·陕西榆林·阶段练习）已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，所以，又或， 所以或； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以或， 所以或． 【变式2-2】（2024·高一·湖北·期末）设集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围． 【解析】（1）由知，解得， 当时，， 故{或}， ∴； （2）∵“”是“”的充分不必要条件， ∴B是A的真子集， ∴当时，，解得，显然成立； 当时，，且及中等号不能同时取得， 解得， 综上，m的取值范围是{或}． 题型三：根据必要条件求参数取值范围 【典例3-1】（2024·高一·广西南宁·阶段练习）已知：，：，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 因为是的必要不充分条件，所以， 所以，解得， 当时，，成立， 所以. 故选：A. 【典例3-2】（2024·高一·甘肃武威·阶段练习）已知或． (1)若是的充分条件，求实数的取值范围； (2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为p：，所以p：，即 因为p是q的充分条件，所以或， 解得或，即实数的取值范围是； （2）依题意，：，由（1）知p：， 又p是的必要不充分条件，所以 解得，即实数m的取值范围是． 【变式3-1】（2024·高一·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 【变式3-2】（2024·高二·陕西榆林·阶段练习）若“x>1或x<-2”是“x<a”的必要条件，则a的最大值是（　　） A．2 B．-2 C．-1 D．1 【答案】B 【解析】∵“x>1或x<-2”是“x<a”的必要不充分条件， ∴x<a⇒x>1或x<-2， 但x>1或x<-2x<a. 如图所示， ∴， ∴a的最大值为-2. 故选：B 题型四：根据充要条件求参数取值范围 【典例4-1】（2024·高一·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【解析】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 【典例4-2】（2024·高一·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【解析】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 【变式4-1】（2024·高一·福建莆田·阶段练习）若集合，，其中为实数. （1）若是的充要条件，则 . （2）若是的充分不必要条件，则取值范围是 . 【答案】 / 【解析】（1）当是的充要条件时，则，即为方程的根，且， 所以，，解得； （2）因为是的充分不必要条件，则. 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，因为，则，即，解得； 当时，，此时，不可能是集合的真子集. 综上所述，. 故答案为：（1）；（2）. 【变式4-2】（2024·高一·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【解析】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 【变式4-3】（2024·高一·黑龙江鸡西·阶段练习）一元二次方程有实数根的充要条件是 . 【答案】且 【解析】若一元二次方程有实数根， 则， 故答案为：且. 题型五：充要条件的证明 【典例5-1】（2024·高一·全国·专题练习）设a，b，c分别是△ABC的三条边，且．则△ABC为直角三角形的充要条件是．试用边长a，b，c探究△ABC为锐角三角形的一个充要条件，并证明． 【解析】设a，b，c分别是△ABC的三条边，且，△ABC为锐角三角形的充要条件是． 充分性：在△ABC中，若，则不是直角， 假设为钝角，如图①，作，交BC延长线于点D， 则由勾股定理得， ， 即，与“”矛盾， 故为锐角，即△ABC为锐角三角形，故充分性成立； 必要性：在△ABC，是锐角，作，D为垂足，如图②， 则由勾股定理得， ， 即，故必要性成立． 故△ABC为锐角三角形的充要条件为． 【典例5-2】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）（1）已知，求证：是的充要条件. （2）已知，，，求证： 【解析】（1）证明：∵ ∴. 充分性证明即. ∵，即， ∴， 充分性得证； 必要性证明即. 又∵ ∴， ∵， ∴， ∴，即， 必要性得证. 故是的充要条件. （2）证明：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，即 故. 【变式5-1】（2024·高一·江苏南京·阶段练习）求证：“关于x的方程有一个根为2”的充要条件是“”． 【解析】必要性：若有一个根为2，则满足方程，即， 充分性：若，则，即满足方程， 则关于x的方程有一个根为2； 综上命题得证． 【变式5-2】（2024·高一·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【解析】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·浙江温州·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 2．（2024·高一·四川遂宁·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】因为所表示的范围要小于所表示的范围， 所以，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（2024·高一·上海浦东新·阶段练习）已知是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，现有下列命题：①s是q的充要条件；②是q的充分不必要条件；③r是q的必要不充分条件；④r是s的充分不必要条件.正确的命题序号是（    ） A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】B 【解析】因为是的的充分不必要条件，所以，推不出， 因为是的的充分条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为是的必要条件，所以， 因为，，所以，又，，所以是的充要条件，命题①正确， 因为，，，所以， 推不出，故是的充分不必要条件，②正确； 因为，，所以，是的充分条件，命题③错误； 因为，，所以，又， 所以是的充要条件，命题④错误； 故选：B. 4．（2024·山东济南·二模）已知，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为“”是“”的充分不必要条件，所以，所以. 故选：D. 5．（2024·高一·河北石家庄·期中）“”的一个必要而不充分条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】“”的一个必要而不充分条件需要满足是所求范围的一个真子集， 由于， 故选：B 6．（2024·高一·广东肇庆·期中）若“函数的图象与轴正半轴相交”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由的图象与轴正半轴相交，则，即， 所以是的必要不充分条件，则. 故选：D 二、多选题 7．（2024·高一·全国·专题练习）有限集合S中元素的个数记作，设A，B都为有限集合，下列命题中是假命题的是（ ） A．“”的充要条件是“" B．“”的充要条件是“” C．“”的必要不充分条件是“” D．“”的充要条件是“” 【答案】BCD 【解析】由，则中元素个数为集合A，B的元素之和，即，充分性成立； 由，即中元素个数为集合A，B的元素之和，则，必要性成立，A对； 由，若，但不成立，必要性不成立，B错； 由，若，此时，故不是的必要条件，C错； 由，若，但不成立，D错. 故选：BCD 8．（2024·高一·浙江台州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．已知a，，则的充要条件是 C．“”是“”的必要不充分条件 D．的充要条件是 【答案】CD 【解析】A. “ ，解得或，故“”是“”的必要不充分条件，故错误； B. 当时，，故成立， 当时，，故成立， 当时，也成立， 所以的充分不必要条件是，故错误； C. 当时， ，当 时， ，故不充分， 若，则 即可得，故必要，故正确； D. 等价于等价于，等价于，故的充要条件是，故正确； 故选：CD 9．（2024·高一·广东深圳·阶段练习）若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【解析】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 10．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知全集为，下列选项中，“”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于选项A，若，则有，又当，有，所以选项A正确； 对于选项B，若，则有，又当，有，所以选项B正确； 对于选项C，若，则，可得到，但，得不出，即得不出，所以选项B不正确； 对于选项D，，则有，得不出，所以选项D不正确； 故选：AB. 三、填空题 11．（2024·高一·江苏宿迁·阶段练习）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】由，得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以集合是集合的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（2024·高一·上海虹口·期末）已知，，若是的充分条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由可得，则，解得， 即， 若是的充分条件，则是的子集， 可得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．（2024·高一·全国·单元测试）已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由已知得，. 设,， 若是的充分不必要条件，则，， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 14．（2024·高一·海南省直辖县级单位·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 【答案】 【解析】由已知，即， ，即， 又是的充分不必要条件， 所以， 解得， 故答案为：. 15．（2024·高三·全国·专题练习）已知命题，若是的充要条件，则 ． 【答案】-1 【解析】由题意得，，得， 设，，由是的充要条件，得， 即，得． 故答案为：-1 16．（2024·高一·全国·专题练习）设，一元二次方程有实数根的充要条件是 ． 【答案】或或或 【解析】一元二次方程有实数根, ，解得， 又，. 故答案为：或或或． 17．（2024·高一·广西钦州·期末）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】0 【解析】， 则{x|}＝{x|}， 即. 故答案为：0. 18．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）方程至少有一个负实根的充要条件是 ． 【答案】a≤1 【解析】当时，原方程可化为：，解得：符合题意； 当时，方程显然没有根等于0， 若方程有异号根，则由根与系数的关系可得：； 若方程有两个负根，则由根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述：方程至少有一个负实根的充要条件是a≤1. 故答案为：a≤1 19．（2024·高一·河北沧州·阶段练习）请写出“”的一个必要不充分条件： ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】对于，两边平方可得，即“”是“”的必要条件； 对于，两边开平方可得；即“”不是“”的充分条件， 所以“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：（答案不唯一）. 20．（2024·高一·四川成都·期中）若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】等价于， 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 21．（2024·高一·安徽阜阳·期中）已知是实数，且满足，证明下列命题: (1)“”是“”的充要条件； (2)“”是“”的充分条件. 【解析】（1）∵， 充分性:∵，， ∴充分性可得; 必要性:∵，又， ∴， 可得. ∴是的充要条件. （2）由，且，则， ∵，，当且仅当时等号成立， 所以，，， 可得，解得， ∴是的充分条件. 22．（2024·高一·广西南宁·期中）求证：是是等边三角形的充要条件.（这里，，是的三边边长）. 【解析】先证明充分性： 由， 得， 整理得，， 所以，即是等边三角形. 然后证明必要性： 由是等边三角形，则， 所以. 综上所述，是是等边三角形的充要条件. 23．（2024·高一·重庆沙坪坝·期中）已知的三边长为，其中.求证：为等边三角形的充要条件是． 【解析】证明：充分性： 当时，多项式可化为， 即，所以， 则，所以， 即，为等边三角形，即充分性成立； 必要性：由为等边三角形，且，所以， 则，，所以，即必要性成立． 故为等边三角形的充要条件是． 24．（2024·高二·福建福州·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为. 【解析】充分性： ，， 代入方程得，即． 关于的方程有一个根为； 必要性：方程有一个根为， 满足方程， ，即． 故关于的方程有一个根是的充要条件为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$