专题 与三角形高、中线、角平分线有关的计算问题（7大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

八年级上册数学《三角形的初步认识》 专题 与三角形高、中线、角平分线有关的计算问题 题型一 与三角形的高有关的计算 1．（2024春•成都校级期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝　　 ． 2．（2023秋•龙岗区校级期中）已知△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，则最长边上的高为 　 ． 3．（2022秋•越秀区期中）如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD＝6，CE＝5，AB＝12，则AC＝（　　） A．10 B． C． D．7 4．在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD的度数为　 　． 5．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DG⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、G、F． 求证：DE+DG＝BF． 6．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝6，CD＝3． （1）请画出AE，CD； （2）求△ABC的面积； （3）若AE＝4，求BC的长． 题型二 与中线有关的线段长或周长问题 1．（2024•海珠区一模）在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（　　） A．47 B．43 C．38 D．25 2．（2023秋•沧州期末）如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 3．（2023秋•柘城县月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长． 4．在△ABC中，BC＝8，AB＝1； （1）若AC是整数，求AC的长； （2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长． 5．（2023秋•太和县月考）如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线． （1）若DE＝2，求BC的长； （2）若△ABC的周长为35，BC＝11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长． 6．（2023秋•平山县校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4． （1）求AB，AC的长； （2）求△ABC周长的取值范围． 题型三 中线分割三角形的周长问题 1．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成差为3cm的两部分，求AB的长． 2．（2023秋•民权县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长． 3．在△ABC中，AC+AB＝14，（AC＞AB），AD为BC边上的中线，把△ABC的周长分为两部分，这两部分的差为2，求AB、AC的长． 4．如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成15和21两部分，求△ABC各边的长． 6．△ABC中，AB：AC＝3：2，BC＝AC+1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长． 题型四 与三角形中线有关的面积问题 1．（2024•兴宁区校级模拟）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 2．（2024春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，已知点D，E分别为BC，AD的中点，且△ABC的面积等于12cm2，则△AEC的面积等于（　　） A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2 3．（2024春•沙坪坝区期中）如图，△ABC中，D是BC中点，CE是△ACD的中线，S△CDE＝2，则S△ABC等于（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 4．（2024春•雁塔区校级期中）如图，D，E是△ABC边AB，BC上的点，AD＝BD，BE＝2CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若△ABC的面积为12，则S1﹣S2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 5．（2024春•汉阳区期中）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．（2024春•龙岗区期中）如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为64，则△BEF的面积是（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 7．（2023秋•临汾期末）如图，D，E，F分别是BC，AD，AC边上的中点．若阴影部分的面积为9，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．20 C．18 D．16 8．（2024春•福田区校级期中）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝2EC，CD与AE相交于点F，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 题型五 利用面积法求线段的长度 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD是AB边上的高，则CD的长是（　　） A．2.4 B．3.6 C．4 D．4.8 2．（2023秋•台江区期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为（　　） A．1 B． C．2 D．4 3．（2023春•顺庆区校级月考）如图，已知P是三角形ABC的边AB上一个边点，AB＝6，三角形ABC的面积为12，则CP的最小长度为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，三组互相垂直的线段，已知AD＝2，BC＝8，BF＝4，那么AC的长度等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2023•榆阳区校级二模）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC＝4，则BE的长为（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 6．（2023春•惠东县校级期中）如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长． 7．（2022秋•昭通期中）如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 题型六 与三角形的角平分线有关的问题 1．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝100°，则∠EAD的度数是（　　） A．25° B．45° C．50° D．75° 2．（2024春•海州区期中）如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，∠C＝80°，求∠AOB的度数． 3．（2024春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点C作CD∥AB，与∠ABC的平分线BD交于点D，此时∠D＝30°，求∠1的度数． 4．如图．AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN． 5．如图，过△ABC边BC上点D，作DE∥AC，DF∥AB，且∠ADE＝∠ADF，求证：AD是△ABC的角平分线． 6．已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥CA交AB于点E，EF∥AD交BC于点F，试判断EF是否为△BDE的角平分线，并证明． 7．如图，若AD是△ABC的角平分线，DE∥AB （1）若DF∥AC，EF交AD于点O．试问：DO是否为△EDF的角平分线？并说明理由； （2）若DO是∠EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由． 题型七 三角形的高、中线、角平分线的综合 1．（2024春•永兴县校级月考）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2cm，．求BC的长． 2．（2023秋•泸县期末）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°． （1）求AD的长度； （2）求△ABE的面积． 3．（2023春•兴化市期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点E是AD的中点，连接CE，EF⊥BC． （1）若∠DEF＝20°，∠BAD＝37°，求∠B的度数； （2）若△ABC的面积为24，CD＝4，求线段EF的长度． 4．（2023秋•庐阳区校级期中）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14． （1）求AB、AC的长； （2）若∠BAC＝90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积． 5．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．求： （1）△ABC的面积； （2）AD的长； （3）△ABE和△ACE的周长差． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上册数学《三角形的初步认识》 专题 与三角形高、中线、角平分线有关的计算问题 题型一 与三角形的高有关的计算 1．（2024春•成都校级期中）如图，AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线，若∠B＝38°，∠C＝70°，则∠DAE＝　　 ． 【分析】由三角形内角和定理求得∠BAC，则根据角平分线的定义易求∠EAC，根据三角形外角定理，即可求得∠AED，在直角△AED中，利用直角三角形的两个锐角互余的性质求得∠EAD，即可作答． 【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝70°， 则∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝72°． ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠EAC∠BAC＝36°， ∴∠AED＝∠B+∠BAE＝38°+36°＝74°， ∵AD是△ABC的高线， ∴△AED为直角三角形， ∴∠DAE＝90°﹣∠AED＝90°﹣74°＝16°， 故答案为：16°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线、高和三角形外角，解题的关键是熟练掌握角的变换． 2．（2023秋•龙岗区校级期中）已知△ABC中，AB＝8，AC＝6，BC＝10，则最长边上的高为 　 ． 【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠A＝90°，再根据直角三角形的面积公式求出答案即可． 【解答】解：∵AB＝8，AC＝6，BC＝10， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠A＝90°， 设△ABC最长边（斜边BC）上的高是h， 则△ABC的面积S， ∴h， 解得：h＝4.8， 即最长边上的高是4.8， 故答案为：4.8． 【点评】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积，能求出∠A＝90°是解此题的关键． 3．（2022秋•越秀区期中）如图，已知△ABC中，BD、CE分别为它的两条高线，BD＝6，CE＝5，AB＝12，则AC＝（　　） A．10 B． C． D．7 【分析】利用三角形的面积公式列出等式即可求解． 【解答】解：∵AB×CEAC×BD， ∴AB•CE＝AC•BD． ∴12×5＝6AC， ∴AC＝10． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，利用三角形的面积公式列出等式是解题的关键． 4．在△ABC中，AD是高，∠BAD＝60°，∠CAD＝20°，AE平分∠BAC，则∠EAD的度数为　 　． 【分析】分∠C为锐角或钝角两种情况：①当∠C为锐角时，如图所示，∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE；②当∠C为钝角时，如下图所示，∠EAD＝∠DAC+∠EAC，分别求解即可． 【解答】解：①当∠C为锐角时，如下图所示， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝80°， AE平分∠BAC， ∴∠BAE80°＝40°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝20°， 故：答案是20°． ②当∠C为钝角时，如下图所示， ∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠CAE＝20°， 则：∠EAD＝∠DAC+∠EAC＝40°， 故：答案为20°或40°． 【点评】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键． 5．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DG⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、G、F． 求证：DE+DG＝BF． 【分析】连接AD，根据S△ABD+S△ACD＝S△ABC，即可证明DE+DG＝BF． 【解答】证明：连接AD，如图． ∵S△ABD+S△ACD＝S△ABC， ∴AB•DEAC•DGAC•BF， ∴AB•DE+AC•DG＝AC•BF， 又∵AB＝AC， ∴DE+DG＝BF． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，通过添加辅助线，利用面积法证明是解题的关键． 6．（2023春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，AE，CD是△ABC的两条高，AB＝6，CD＝3． （1）请画出AE，CD； （2）求△ABC的面积； （3）若AE＝4，求BC的长． 【分析】（1）画出AE，CD即可； （2）利用三角形面积公式即可求得； （3）根据三角形面积公式得到S△ABCAB•CD，即可得到BC×3＝4，从而求得BC． 【解答】解：（1）画出AE，CD如图： （2）∵AB＝6，CD＝3， ∴S△ABC； （3）∵S△ABCAB•CDBC•AE， ∴BC×4＝9， ∴BC＝4.5． 【点评】本题考查了三角形的高、三角形的面积，熟知三角形的面积公式是解题的关键． 题型二 与中线有关的线段长或周长问题 1．（2024•海珠区一模）在△ABC中，AB＝20，BC＝18，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为45，△BCD的周长是（　　） A．47 B．43 C．38 D．25 【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝AD，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：∵BD是AC边上的中线， ∴CD＝AD， ∵△ABD的周长为45， ∴AB+AD+BD＝45， ∵AB＝20， ∴20+CD+BD＝45， ∴CD+BD＝25， ∵BC＝18， ∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝18+25＝43， 故选：B． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形的周长公式，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解决问题的关键． 2．（2023秋•沧州期末）如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是△ABC的中线，则△ABD与△ADC的周长之差为（　　） A．14 B．1 C．2 D．7 【分析】由三角形中线的定义推知BD＝DC；然后根据三角形的周长的定义知△ABD与△ADC的周长之差为（AB﹣AC）． 【解答】解：∵如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD． ∵△ABD的周长＝AB+AD+BD，△ADC的周长＝AC+AD+CD＝AC+AD+BD， ∴△ABD与△ADC的周长之差为：AB﹣AC＝8﹣6＝2． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的中线的定义，三角形周长的计算．解题时，根据三角形的周长的计算方法得到：△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差． 3．（2023秋•柘城县月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长． 【分析】根据三角形的中线的概念得到CD＝BD，根据三角形的周长公式、结合题意计算，得到答案． 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴D为BC的中点， ∴CD＝BD， ∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm， ∴（AC+CD+AD）﹣（AB+CD+AD）＝3cm， ∴AC﹣AB＝3cm， ∵AB+AC＝11cm， ∴AB＝4cm，AC＝7cm，即AC的长度是7cm． 【点评】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 4．在△ABC中，BC＝8，AB＝1； （1）若AC是整数，求AC的长； （2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长． 【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可； （2）根据三角形的中线的定义得到AD＝CD，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：（1）由题意得：BC﹣AB＜AC＜BC+AB， ∴7＜AC＜9， ∵AC是整数， ∴AC＝8； （2）∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∵△ABD的周长为10， ∴AB+AD+BD＝10， ∵AB＝1， ∴AD+BD＝9， ∴△BCD的周长＝BC+BD+CD＝BC+AD+BD＝8+9＝17． 【点评】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 5．（2023秋•太和县月考）如图，在△ABC中（AB＞AC），AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线． （1）若DE＝2，求BC的长； （2）若△ABC的周长为35，BC＝11，且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长． 【分析】（1）根据三角形的中线的性质计算； （2）根据三角形的周长公式求出AB+AC和AB﹣AC，组成方程组，解方程组求出AC． 【解答】解：（1）∵AE是△ACD的中线，DE＝2， ∴CD＝2DE＝2×2＝4， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2CD＝2×4＝8； （2）∵△ABC的周长为35， ∴AB+AC+BC＝35， ∵BC＝11， ∴AB+AC＝24， ∵△ABD与△ACD的周长差为3， ∴（AB+BD+AD）﹣（AC+CD+AD）＝AB﹣AC＝3， 则， 解得， 答：AC的长为10.5． 【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 6．（2023秋•平山县校级月考）如图，在△ABC中，AD是中线，AB+AC＝14，△ABD的周长比△ACD的周长大4． （1）求AB，AC的长； （2）求△ABC周长的取值范围． 【分析】（1）由BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可； （2）根据三角形的三边关系即可得到结论． 【解答】解：（1）∵BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝4， 即AB﹣AC＝4①， 又AB+AC＝14②， ①+②得．2AB＝18， 解得AB＝9， ②﹣①得，2AC＝10， 解得AC＝5， ∴AB和AC的长分别为：AB＝9，AC＝5． （2）∵AB＝9，AC＝5， ∴AB﹣AC＜BC＜AB+AC， 即9﹣5＜BC＜9+5， ∴4＜BC＜14， ∴4+9+5＜AB+BC+AC＜14+9+5， ∴18＜△ABC周长＜28． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 题型三 中线分割三角形的周长问题 1．如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4cm，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成差为3cm的两部分，求AB的长． 【分析】本题有两种情况，当底比较长的时候和腰比较长的时候两种情况． 【解答】解：当底长时，腰为4﹣3＝1cm，三边为4cm，1cm，1cm，1+1＜4，不能构成三角形，这种情况不可以． 当腰长时；腰为4+3＝7cm，三边为4cm，7cm，7cm，4+7＞7，能构成三角形． 故腰长AB为7cm． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形有两边相等以三角形的三边关系． 2．（2023秋•民权县期末）如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成55和45两部分，求AC和AB的长． 【分析】根据三角形的中线的定义得到CD＝BD，根据三角形的周长公式列方程，解方程得到答案． 【解答】解：设BC＝2x，则AC＝4x， ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝BD＝x， 由题意得：x+4x＝55，AB+x＝45， 解得：x＝11，AB＝34， ∴AC＝4x＝44， ∵AB+BC＞AC， ∴AC的长为44，AB的长为34， 答：AC的长为44，AB的长为34． 【点评】本题考查的是三角形的中线、三角形的周长计算，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 3．在△ABC中，AC+AB＝14，（AC＞AB），AD为BC边上的中线，把△ABC的周长分为两部分，这两部分的差为2，求AB、AC的长． 【分析】设AB＝x，根据三角形的中线的定义可知BD＝CD，那么AC＝x+2，根据AC+AB＝14列出方程x+x+2＝14，解方程求出x的值即可． 【解答】解：设AB＝x，则AC＝x+2． ∵AC+AB＝14， ∴x+x+2＝14， 解得x＝6， ∴AB＝6，AC＝8． 【点评】本题考查了三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．熟记概念并求出本题中AD把△ABC周长分为的两部分的差等于AC﹣AB（AC＞AB）是解题的关键． 4．如图，在△ABC中（AB＞BC），AB＝2AC，AC边上中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分，求AB和BC的长． 【分析】设AC＝x，根据题意用x表示出AB，根据中点的性质得到AD＝DCx，根据三角形周长公式计算即可． 【解答】解：设AC＝x，则AB＝2x， ∵BD是中线， ∴AD＝DCx， 由题意得，2xx＝30， 解得，x＝12， 则AC＝12，AB＝24， ∴BC＝2012＝14． 答：AB＝24，BC＝14． 【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高的概念，掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，腰AC上的中线BD把△ABC的周长分成15和21两部分，求△ABC各边的长． 【分析】本题由题意可知有两种情况，AB+AD＝15或AB+AD＝21．从而根据等腰三角形的性质及三角形三边关系可求出△ABC各边的长． 【解答】解：∵BD是等腰△ABC的中线，可设AD＝CD＝x，则AB＝AC＝2x， 又知BD将三角形周长分为15和21两部分， ∴可知分为两种情况 ①AB+AD＝15，即3x＝15，解得x＝5，BC＝21﹣x＝21﹣5＝16，此时等腰△ABC的三边分别为10，10，16； ②AB+AD＝21，即3x＝21，解得x＝7；此时等腰△ABC的三边分别为14，14，8． 经验证，这两种情况都是成立的． ∴△ABC各边的长是10，10，16或14，14，8． 【点评】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；注意：求出的结果一定要检验时符合三角形三边性质．分类讨论是正确解答本题的关键． 6．△ABC中，AB：AC＝3：2，BC＝AC+1，若△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7，求边AB，AC的长． 【分析】首先设AB＝3x，AC＝2x，则BC＝2x+1，根据△ABC的中线BD把△ABC的周长分成两部分的比是8：7可得①AB+AD＝周长；②AB+AD＝周长，分两种情况进行计算即可． 【解答】解：设AB＝3x，AC＝2x，则BC＝2x+1，由题意得： ①3x+x＝（3x+2x+2x+1）， 解得：x＝2， 则：AB＝6，AC＝4； ②3x+x＝（3x+2x+2x+1）， 解得：x， 则：AB，AC， 答：①边AB长为6，AC的长为4；②边AB长为，AC的长为． 【点评】此题主要考查了三角形的中线，关键是掌握三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． 题型四 与三角形中线有关的面积问题 1．（2024•兴宁区校级模拟）如图，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E是线段AD的中点，若S△ABC＝12，则阴影部分的面积为（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答． 【解答】解：∵点E是AD的中点， ∴S△BDES△ABD，S△ACES△ADC， ∴S△BDE+S△ACES△ABC12＝6， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等． 2．（2024春•碑林区校级期中）如图，在△ABC中，已知点D，E分别为BC，AD的中点，且△ABC的面积等于12cm2，则△AEC的面积等于（　　） A．4cm2 B．3cm2 C．2cm2 D．1cm2 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形求出△ACD的面积，即可求出△AEC的面积． 【解答】解：∵点D为BC的中点，且△ABC的面积等于12cm2， ∴S△ACDS△ABC12＝6（cm2）， ∵E为AD的中点， ∴S△AECS△ACD6＝3（cm2）， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 3．（2024春•沙坪坝区期中）如图，△ABC中，D是BC中点，CE是△ACD的中线，S△CDE＝2，则S△ABC等于（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【分析】根据三角形中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出，S△ABC＝2S△ACD，即可求出△ABC的面积． 【解答】解：∵CE是△ACD的中线， ∴， ∵S△CDE＝2， ∴S△ACD＝4， ∵D是BC中点， ∴S△ABC＝2S△ACD＝8， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，熟知三角形中线的性质是解题的关键． 4．（2024春•雁塔区校级期中）如图，D，E是△ABC边AB，BC上的点，AD＝BD，BE＝2CE，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，若△ABC的面积为12，则S1﹣S2的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．不能确定 【分析】根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△ABE的面积，再根据等底等高的三角形的面积相等求出△BCD的面积，然后根据S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+S四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF计算即可得解． 【解答】解：∵BE＝2CE，BE+CE＝BC， ∴BEBC， ∵S△ABC＝12， ∴S△ABES△ABC12＝8． ∵AD＝BD，S△ABC＝12， ∴S△BCDS△ABC＝6， ∵S△ABE﹣S△BCD＝（S△ADF+S四边形BEFD）﹣（S△CEF+S四边形BEFD）＝S△ADF﹣S△CEF， ∴S△ADF﹣S△CEF＝S△ABE﹣S△BCD＝8﹣6＝2， 即S1﹣S2的值为2， 故选：B． 【点评】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差． 5．（2024春•汉阳区期中）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形可解决问题． 【解答】解：因为G点为△ABC三条中线的交点， 所以点D为BC边的中点， 所以， 同理可得，． 所以． 所以阴影部分的面积为：6． 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，正确的将阴影部分的面积进行转化是解题的关键． 6．（2024春•龙岗区期中）如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为64，则△BEF的面积是（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【分析】根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个小三角形得出S△AEB＝S△DEB，S△AEC＝S△DEC，S△DEB＝S△DEC，再根据△ABC的面积即可求出△BEC的面积，从而求出△BEF的面积． 【解答】解：∵点E是AD的中点， ∴S△AEB＝S△DEB，S△AEC＝S△DEC， ∵点D是BC的中点， ∴S△DEB＝S△DEC， ∴S△AEB＝S△DEB＝S△AEC＝S△DEC， ∵△ABC的面积为64， ∴S△AEB＝S△DEB＝S△AEC＝S△DEC＝16， ∴S△BEC＝S△DEB+S△DEC＝32， ∵点F是CE的中点， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 7．（2023秋•临汾期末）如图，D，E，F分别是BC，AD，AC边上的中点．若阴影部分的面积为9，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．20 C．18 D．16 【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，，，，再得到，，所以． 【解答】解：∵D为BC的中点， ∴， ∵E，F分别是边AD，AC上的中点， ∴，，， ∴，，， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 8．（2024春•福田区校级期中）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是BC上的一点，且BE＝2EC，CD与AE相交于点F，若△CEF的面积为1，则△ABC的面积为（　　） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】由BE＝2EC得出S△BEF＝2S△CEF，，由D是AB的中点得出S△ADF＝S△BDF＝m，S△ABC＝2S△BCD，设S△BDF＝m，用含m的式子表示△BCD、△ABE的面积，即可求出m的值，从而求出△ABC的面积． 【解答】解：如图，连接BF， ∵BE＝2EC， ∴S△BEF＝2S△CEF，， ∵△CEF的面积为1， ∴S△BEF＝2， 设S△BDF＝m， ∴S△BCD＝S△CEF+S△BEF+S△BDF＝1+2+m＝3+m， ∵D是AB的中点， ∴S△ADF＝S△BDF＝m，S△ABC＝2S△BCD， ∴S△ABE＝S△ADF+S△BDF+S△BEF＝m+m+2＝2m+2， ∴， ∴2（3+m）， 解得m＝3， ∴S△BCD＝3+3＝6， ∴S△ABC＝2×6＝12， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的中线，根据高相同，底之间的关系得出三角形面积之间的关系是解题的关键． 题型五 利用面积法求线段的长度 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，CD是AB边上的高，则CD的长是（　　） A．2.4 B．3.6 C．4 D．4.8 【分析】由直角三角形的面积的计算方法即可求出斜边上的高CD的长． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高， ∵S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD4.8， 故选：D． 【点评】本题考查了直角三角形面积的计算方法，熟练掌握直角三角形面积的计算方法并能进行推理计算是解决问题的关键． 2．（2023秋•台江区期末）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为（　　） A．1 B． C．2 D．4 【分析】利用三角形的面积公式可求出BC＝4，然后再利用三角形的中线定义即可解答． 【解答】解：∵AD⊥BC，AD＝3，S△ABC＝6， ∴BC•AD＝6， ∴BC•3＝6， ∴BC＝4， ∵AE是BC边上的中线， ∴BEBC＝2， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 3．（2023春•顺庆区校级月考）如图，已知P是三角形ABC的边AB上一个边点，AB＝6，三角形ABC的面积为12，则CP的最小长度为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由题意可得，当CP⊥AB时，CP最小．再根据三角形面积公式，可求CP的长度． 【解答】解：由题意可得，当CP⊥AB时，CP最小． ∵三角形ABC的面积为12， ∴， 解得：CP＝4， 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的面积，垂线段最短，关键是找出当CP⊥AB时，CP最小，再根据面积公式求得CP的值． 4．如图，三组互相垂直的线段，已知AD＝2，BC＝8，BF＝4，那么AC的长度等于（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：∵AD⊥BC，BF⊥AC， ∴S△ABCAC•BFCB•AD， ∴4AC＝8×2， ∴AC＝4， 故选：C． 【点评】本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． 5．（2023•榆阳区校级二模）如图，AD，BE分别为△ABC的中线和高线，△ABD的面积为5，AC＝4，则BE的长为（　　） A．5 B．3 C．4 D．6 【分析】首先利用中线的性质可以求出△ABC的面积，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：∵AD为△ABC的中线， ∴S△ABD＝S△ACD， ∵△ABD的面积为5， ∴S△ABC＝2S△ABD＝10， ∵BE为△ABC的高线，AC＝4， ∴S△ABCAC×BE4×BE＝10， ∴BE＝5． 故选：A． 【点评】此题主要考查了三角形的面积，同时也利用了三角形的中线的性质，有一定的综合性． 6．（2023春•惠东县校级期中）如图，AD，BE分别是△ABC的高，AC＝5，BC＝12，BE＝9，求AD的长． 【分析】根据S△ABC，将AC＝5，BC＝12，BE＝9代入计算即可求解． 【解答】解：∵AD，BE分别是△ABC的高， ∴S△ABC， ∴BC•AD＝AC•BE， ∵AC＝5，BC＝12，BE＝9， ∴12AD＝5×9， ∴AD． 【点评】本题主要考查三角形的面积，熟练掌握三角形的面积公式是解题关键． 7．（2022秋•昭通期中）如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm． （1）求△ABC的面积； （2）求AD的长． 【分析】（1）利用三角形的面积公式即可求得△ABC的面积； （2）利用三角形的面积公式即可求得高AD的长． 【解答】解：（1）S△ABCAB•CE6×9＝27（cm2）； （2）∵S△ABCBC•AD，S△ABC＝27cm2，BC＝12cm， ∴2712AD， 解得AD＝4.5（cm）． 【点评】本题考查了三角形的高和面积，熟记三角形的面积公式是解决问题的关键． 题型六 与三角形的角平分线有关的问题 1．如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABD的角平分线，若∠BAC＝100°，则∠EAD的度数是（　　） A．25° B．45° C．50° D．75° 【分析】先根据角平分线的定义求出∠DAC、∠DAB的度数；再根据角平分线的定义求出∠EAD的度数． 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线∠BAC＝100°， ∴∠DAC＝∠DAB＝50°， ∵AE是△ABD的角平分线， ∴∠EAD＝25°， 故选：A． 【点评】考查了三角形的角平分线．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 2．（2024春•海州区期中）如图，△ABC的角平分线AD、BE相交于点O，∠C＝80°，求∠AOB的度数． 【分析】在△ABC中根据三角形内角和定理求出∠CAB+∠CBA的度数，再根据角平分线的定义求出∠OAB+∠OBA的度数，在△AOB中根据三角形内角和定理求出∠AOB的度数即可． 【解答】解：∵∠C＝80°， ∴∠CAB+∠CBA＝180°﹣∠C＝180°﹣80°＝100°， ∵AD、BE是△ABC的角平分线， ∴∠OAB，∠OBA， ∴∠OAB+∠OBA50°， ∴∠AOB＝180°﹣（∠OAB+∠OBA）＝180°﹣50°＝130°． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知三角形三个内角的和是180°是解题的关键． 3．（2024春•历下区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，过点C作CD∥AB，与∠ABC的平分线BD交于点D，此时∠D＝30°，求∠1的度数． 【分析】根据平行线的性质得∠ABD＝∠D＝30°，再根据角平分线定义得∠ABC＝2∠ABD＝60°，然后根据三角形内角和定理可得出∠1的度数． 【解答】解：∵CD∥AB，∠D＝30°， ∴∠ABD＝∠D＝30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠ABD＝60°， ∵∠A＝90° ∴∠1＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°． 【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线定义，理解角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，平行线的性质是解决问题的关键． 4．如图．AD是△ABC的角平分线，点P为AD上一点，PM∥AC交AB于M，PN∥AB交AC于N，求证：PA平分∠MPN． 【分析】先根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，由PM∥AC，PN∥AB，根据两直线平行，内错角相等得到∠APM＝∠PAN，∠APN＝∠PAM，然后经过等量代换即可得到∠APM＝∠APN． 【解答】证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵PM∥AC，PN∥AB ∴∠APM＝∠PAN，∠APN＝∠PAM， ∴∠APM＝∠APN， ∴PA平分∠MPN． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高：三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高；三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线；三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．也考查了平行线的性质． 5．如图，过△ABC边BC上点D，作DE∥AC，DF∥AB，且∠ADE＝∠ADF，求证：AD是△ABC的角平分线． 【分析】根据平行线的性质，由DE∥AC得∠ADE＝∠DAF，由DF∥AB得∠ADF＝∠DAE，加上∠ADE＝∠ADF，所以∠DAF＝∠DAE，于是可判断AD是△ABC的角平分线． 【解答】证明：∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAF， ∵DF∥AB， ∴∠ADF＝∠DAE， 而∠ADE＝∠ADF， ∴∠DAF＝∠DAE， ∴AD是△ABC的角平分线． 【点评】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 6．已知在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥CA交AB于点E，EF∥AD交BC于点F，试判断EF是否为△BDE的角平分线，并证明． 【分析】根据角平分线定义求出∠CAD＝∠BAD，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠BAD，∠DEF＝∠EDA，∠EDA＝∠CAD，推出∠BEF＝∠DEF，即可得出答案． 【解答】答：EF为△BDE的角平分线， 证明：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵DE∥CA，EF∥AD， ∴∠BEF＝∠BAD，∠DEF＝∠EDA，∠EDA＝∠CAD， ∴∠BEF＝∠DEF， ∴EF为△BDE的角平分线． 【点评】本题考查了平行线的性质，角平分线定义的应用，主要考查学生的推理能力． 7．如图，若AD是△ABC的角平分线，DE∥AB （1）若DF∥AC，EF交AD于点O．试问：DO是否为△EDF的角平分线？并说明理由； （2）若DO是∠EDF的角平分线，试探索DF与AC的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠1＝∠2，∠3＝∠2，∠1＝∠4，则由等量代换得到∠3＝∠4； （2）DF∥AC．由角平分线的定义得到∠1＝∠2，∠3＝∠4．再根据DE∥AB的性质得到∠2＝∠3，所以内错角∠1＝∠4，故DF∥AC． 【解答】解：（1）DO是△EDF的角平分线．理由如下： 如图，连接DF． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． 又∵DE∥AB， ∴∠3＝∠2． ∵DF∥AC， ∴∠1＝∠4， ∴∠3＝∠4，即DO是∠EDF的角平分线， ∴DO是△EDF的角平分线； （2）DF∥AC．理由如下： ∵如图，连接DF． ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1＝∠2． 又∵DE∥AB， ∴∠3＝∠2． 又∵DO是∠EDF的角平分线， ∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠4， ∴DF∥AC． 【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 题型七 三角形的高、中线、角平分线的综合 1．（2024春•永兴县校级月考）如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE＝2cm，．求BC的长． 【分析】先根据三角形面积计算公式求出BD＝8cm，再由三角形中线的定义即可得到BC＝2BD＝16cm． 【解答】解：∵AE是△ABC的高， ∴AE⊥BC， ∴， ∵AE＝2cm，， ∴BD＝8cm， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2BD＝16cm． 【点评】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形高的定义，解题的关键是掌握三角形的中线，高的定义． 2．（2023秋•泸县期末）如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝9cm，AC＝12cm，BC＝15cm，∠BAC＝90°． （1）求AD的长度； （2）求△ABE的面积． 【分析】（1）利用面积法求AD的长； （2）根据三角形面积公式，利用S△ABES△ABC进行计算． 【解答】解；（1）∵∠BAC＝90°，AD为BC边上的高， ∴S△ABCAD•BCAB•AC， ∴AD（cm）； （2）∵AE为BC边上的中线， ∴S△ABES△ABC9×12＝27（cm2）． 【点评】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S底×高． 3．（2023春•兴化市期中）如图，在△ABC中，AD是BC上的中线，点E是AD的中点，连接CE，EF⊥BC． （1）若∠DEF＝20°，∠BAD＝37°，求∠B的度数； （2）若△ABC的面积为24，CD＝4，求线段EF的长度． 【分析】（1）利用三角形内角和定理即可求得∠B的度数； （2）根据三角形中线把三角形分成面积相等的两部分即可求得•CD•EF＝S△CDE＝6，进而即可求得ED＝3． 【解答】解：（1）∵EF⊥BC， ∴∠DEF+∠EDF＝90°， ∵∠DEF＝20°， ∴∠EDF＝70°， ∴∠B+∠BAD+∠EDF＝180°， ∴∠B＝73°； （2）∵AD是△ABC的中线， ∴， ∵CE是△ACD的中线， ∴， ∵•CD•EF＝S△CDE， ∴6， ∴EF＝3． 【点评】本题考查了三角形的面积，三角形内角和定理，明确三角形中线把三角形分成面积相等的两部分是解决问题的关键． 4．（2023秋•庐阳区校级期中）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ABD和△ADC的周长之差为2，且AB与AC的和为14． （1）求AB、AC的长； （2）若∠BAC＝90°，E是AD的中点，如图2，直接写出△CDE的面积． 【分析】（1）根据三角形中线的定义，BD＝CD．所以△ABD和△ADC的周长之差也就是AB与AC的差，然后联立关于AB、AC的二元一次方程组，利用加减消元法求解即可． （2）先求得△ABC的面积，根据△CDE的面积△ACD的面积，△ACD的面积△ABC的面积计算即可． 【解答】解：（1）∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD的周长﹣△ADC的周长＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC＝2， 即AB﹣AC＝2①， 又AB+AC＝14②， ①+②得．2AB＝16， 解得AB＝8， ∴AC＝14﹣AB＝6， ∴AB和AC的长分别为：AB＝8，AC＝6； （2）∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴S△ABCAB•AC24， ∵AD是BC边上的中线，E为AD的中点， ∴S△ACDS△ABC，S△CDE， ∴S△CDES△ABC24＝6． 【点评】本题考查了三角形的中线定义，三角形的中线平分三角形面积，根据周长的差得出边AB与AC的差是解题的关键． 5．如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB＝8cm，AC＝6cm，BC＝10cm，∠CAB＝90°．求： （1）△ABC的面积； （2）AD的长； （3）△ABE和△ACE的周长差． 【分析】（1）由∠BAC＝90°，可知△ABC是直角三角形，根据直角三角形的面积公式S△ABCAB•AC计算即可； （2）根据S△ABCBC•AD，求出线段AD的长度即可； （3）由AE是中线，可知BE＝CE，故△ABE的周长﹣△ACE的周长＝（AB+AE+BE）﹣（AC+CE+AE），化简并求值即可． 【解答】解：（1）∵△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm， ∴S△ABCAB•AC8×6＝24（cm2）； （2）∵S△ABCBC•AD＝24， ∴AD4.8（cm）， 即AD的长度为4.8cm； （3）∵AE是边BC的中线， ∴BE＝EC， ∴△ABE和△ACE的周长差＝（AB+AE+BE）﹣（AC+CE+AE）＝AB﹣AC＝8﹣6＝2（cm）． 即△ABE和△ACE的周长的差是2cm． 【点评】本题考查了中线的定义、三角形周长的计算．解题的关键是利用三角形面积的两个表达式相等，求出AD． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$