2023-2024学年高一数学下学期苏教版2019期末模拟测试卷

2023-2024学年高一数学下学期苏教版2019期末模拟测试卷 考试范围：必修第二册 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数，则（    ） A． B．5 C． D． 2．“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是：“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和.”若我们将16拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（    ） A． B． C． D． 3．对某批电子元件的使用寿命进行测试，从该批次的电子元件中随机抽取200个进行使用寿命试验，测得的使用寿命（单位：小时）结果如下表所示： 使用寿命（小时） 100 120 150 165 185 200 210 230 个数 8 32 45 35 23 26 19 12 估计这批电子元件使用寿命的第60百分位数为（    ） A．165 B．170 C．175 D．185 4．在△ABC中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．当时，恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．若函数的图象关于点对称，在定义域上单调递增，则不等式的解是（    ） A． B．， C．， D．， 8．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（    ） A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直 B．该“十字贯穿体”的表面积是 C．该“十字贯穿体”的体积是 D．一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机拋掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件“”，事件“”，事件“”，则（    ） A． B． C．互斥 D．独立 10．在平面直角坐标系中，已知点，，，则（    ） A． B．与的夹角为 C．在方向上的投影向量的坐标为 D．与垂直的单位向量的坐标为 11．已知圆台上、下底面的圆心分别为，，半径分别为2、4，高为，为上一点，则（    ） A．圆台的体积为 B．当圆锥的与圆锥的体积相等时， C．用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长的最大值为20 D．挖去以该圆台上底面为底，高为的圆柱后所得几何体的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知三个复数，，，且，，，所对应的向量，满足；则的最大值为 . 13．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则 ． 14．如图是一个正四棱台，已知正四棱台的上、下底面的边长分别为和，体积为，则此正四棱台的高为 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 16．如图，在平行四边形中，为的中点，为上一点且满足，，.    (1)试用向量，表示，； (2)若，，求向量，夹角的余弦值. 17．某部门为了对该城市共享单车加强监督管理，随机调查了1000名用户.根据这1000名用户对某品牌共享单车的评分（满分：100分），绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为 (1)试估计这1000名用户评分的平均分； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在内的用户中抽取5人进行调查，并从这5人中随机选取2人作为记录员，求选取的2名记录员中至少有1人的评分在内的概率. 18．如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 19．如图，在菱形中，的余弦值为为靠近的三等分点，将沿直线翻折成，连接和， (1)求证：平面平面； (2)判断线段的长是否为定值？若是，请求出线段的长，若不是，请说明理由； (3)求二面角的正切值的最大值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】由共轭复数的定义和复数的运算化简，再由复数的模长公式求解即可. 【详解】因为，所以， ， 所以. 故选：A. 2．C 【分析】列举法求出所有拆解情况，利用古典概型公式即可求得答案. 【详解】16可以拆成在加数都大于2的条件下 共有11种情况, 其中拆成的和式中加数全部为质数的有：共有4种情况. 所以拆成的和式中，在加数都大于2的条件下加数全部为素数的概率为. 故选：C. 3．C 【分析】根据百分位数的计算方法计算即可. 【详解】因为为整数，所以该组数据的第60百分位数是将这组数据从小到大排列后第120个数据和第121个数据的平均数，由表知，第120个数据为165，第121个数据为185，所以第60百分位数为. 故选：C. 4．A 【分析】利用正弦定理计算即可. 【详解】由正弦定理得，即，解得. 故选：A. 5．D 【分析】化简得到，再由，结合三角函数的图象与性质，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得，所以， 可得， 又因为， 所以 即， 因为， 因为，可得，所以， 则，则， 要使得不等式，即恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 6．B 【分析】设，由题可得、、三点共线，进而可得的最小值为到边上的高，根据几何关系求出，将化成，通过几何关系求出的最小值即可. 【详解】设，故，若， 由，则，，共线，故， 由图得，当时有最小值，又， ∴，即，即为等边三角形． 由余弦定理，， 设M为BC中点，， ∴当取最小值时，有最小值， ∵为边上任意一点， ∴当时，有最小值， 设，过点作于点，则， 又，为的中位线， ∴，即， ∴． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：、构造等边三角形且，，共线，设M为BC中点，由，（先求出），数形结合判断最小与相关线段位置关系. 7．C 【分析】利用函数的对称性可得，再变形不等式并借助单调性脱去法则，最后解三角不等式即得. 【详解】由函数的图象关于点对称，得，即， 则， 又在定义域上单调递增，因此，即， 则，解得，即， 所以不等式的解是，. 故选：C 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 8．C 【分析】 对于A：求出，看是否符合勾股定理即可；对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成，分别求出来即可；对于C：求出两个正四棱锥重叠部分为多面体的体积，然后求整个几何体的体积；对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，则线段的长即为所求. 【详解】 依题意，不妨设该几何体中心对称， 对于A：在梯形中，，， 则，所以， 即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂直，A错误； 对于B：该“十字贯穿体”由个正方形和个与梯形全等的梯形组成， 故表面积，B错误； 对于C：如图两个正四棱锥重叠部分为多面体，取的中点， 则多面体可以分成个全等的三棱锥， 又， 所以该“十字贯穿体”的体积是，C正确； 对于D：将面，面，面绕着面与面之间的交线旋转到与面共面，如图： 则，所以为钝角， 连接，则线段的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长，根据对称性可得， 因为，所以， 又， 所以， 所以，又， 所以， 则，D错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：对于几何体表面距离和问题，一般通过将各面旋转转化为共面问题，然后距离最小问题可以转化为两点之间线段最短或者垂线段最短的问题来解答. 9．ABD 【分析】根据事件的运算及包含关系即可判断AB；根据互斥事件的定义即可判断C；根据相互独立事件概率的乘法公式即可判断D. 【详解】“且”， 事件的基本事件有， 共个， 所以，故A正确； “且”“且”， 所以，故B正确； 对于C，当且时，事件同时发生， 所以不互斥，故C错误； 对于D，， 而“且”，则， 所以，所以独立，故D正确. 故选：ABD. 10．BC 【分析】求出即可判断A选项，设与的夹角为，求出即可判断B选项，设与同向的单位向量为，求出，根据在方向上的投影向量的坐标为即可判断C选项，设与垂直的单位向量为，解即可判断D选项． 【详解】对A，因为点，，， 所以，，所以， 所以，故A选项错误； 对B，设与的夹角为，所以， 所以与的夹角为，故B选项正确； 对C，设与同向的单位向量为，， 所以在方向上的投影向量的坐标为，故C选项正确； 对D，因为，设与垂直的单位向量为， 则，解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或，故D选项错误. 故选：BC. 11．ACD 【分析】对于A：利用台体的体积公式求解；对于B：利用锥体的体积公式求解；对于C ：通过轴截面的周长最大来求解；对于D：利用圆台、圆柱的侧面积公式求表面积. 【详解】由题意可知：圆台的上、下底面半径分别为2、4，高为，母线长为， 对于A：圆台的体积为，故A正确； 对于B：若圆锥的与圆锥的体积相等，则，解得，故B错误； 对于C：用过任意两条母线的平面截该圆台所得截面周长，其中轴截面的周长最大， 所以其最大周长为，故C正确； 对于D：由题意可知：所得几何体的表面有：圆台的侧面和上、下底面以及圆柱的侧面， 其表面积为，故D正确. 故选：ACD. 12． 【分析】依题意设，，，即可表示出，再由复数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得. 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为且，所对应的向量，满足，即， 不妨令，，则，， 又，设，即 则， 所以 ， 所以当时取得最大值，即. 故答案为： 13． 【分析】利用正弦定理进行角换边，再利用余弦定理和同角三角函数关系即可得到答案. 【详解】由正弦定理知，所以， 则，又，所以. 故答案为：. 14． 【分析】设此正四棱台的高为，根据棱台的体积公式计算可得. 【详解】设此正四棱台的高为，又正四棱台的上、下底面的边长分别为和， 由正四棱台的体积，解得. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角关系可得，即可得，再利用两角和差公式运算求解； （2）根据同角三角关系可得，再利用两角和差公式运算求解. 【详解】（1）由题意可得：，解得或， 且，则，可得， 则，所以. （2）由题意可得，解得或， 且，则，可得， 所以. 16．(1)，； (2) 【分析】（1）利用平面向量线性运算法则计算出答案； （2）解法一：在（1）基础上，得到，，得到； 解法二：建立平面直角坐标系，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， ；    （2）解法一：基底法 因为，. ， ， ， 所以. 解法二：建系坐标法， 如图建系，则，，，，.   ，， 故， ，， 所以. 17．(1)76.2分 (2) 【分析】（1）先由概率之和等于1，得出a=0.006，再由频率分布直方图中求平均数的公式得出平均数. （2）先由分层抽样得出中抽2人，抽3人，再由古典概型即可得出要求的概率. 【详解】（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10=1，解得a=0.006， 则平均评分分数为=（45×0.004+55×0.006+65×0.022+75×0.028+85×0.022+95×0.018）×10=76.2，所以估计这1000名用户评分的平均分为76.2分. （2）由频率分布直方图可知，评分在[40，50），[50，60）内的人数分别为40，60. 若采用分层随机抽样的方法从评分在[40，50），[50，60）内的用户中抽取5人，则 [40，50）中选：（人），分别记作A，B； [50，60）中选：（人），分别记作a，b，c. 从这5人中任选2人的所有情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c），共10种情况. 其中至少有1人的评分在[40，50）内的情况有：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），共7种情况. 故所求概率 18．(1)1小时 (2)3小时 【分析】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 19．(1)证明见解析 (2)是； (3) 【分析】（1）先证，得，推出平面即得； （2）通过取,连接证，求出，由余弦定理求得. （3）作于，作于，证平面，得二面角的平面角，由中，，只需使最大，利用动点的轨迹，分析即得的最大值. 【详解】（1）在菱形中，，， 由余弦定理得，， 即，又由，故， 由翻折性质知，又因为平面 ，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 如图1所示，在上取点，使，连接因， 则有，又，且则有， 因和的两边方向相同，由等角定理得， 由（1）知平面，平面，故可得 ， 在中，由余弦定理可得， ，故. （3） 如图2所示，由（1）得平面平面， 在平面内，过作于， 在平面内，过作，垂足为， 因为平面平面， 平面平面平面，所以平面， 平面. 即为二面角的平面角，， 在菱形中，易得，故，由平面 知，点在以为圆心的圆弧上， 所以当时，取得最大值1， 此时，因为为锐角，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查面面垂直的判定和二面角的范围，属于难题. 解决的关键在于利用面面垂直找到二面角的平面角并证明，将二面角正切值的最大值问题转化成线段的最值问题，结合图形分析计算即得. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$