第五章一元函数的导数及其应用检测题-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用检测题 (时间：120分，满分：150分) 1． 选择题 (本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.已知f(x)=xlnx,若,则 x0等于( ). A.e² B.e C. D.In 2 2.已知函数y=f(x), 其导函数 y= 的图象如图所 示，则对于函数y=f(x)的描述正确的是( ). A.在(-,0)上单调递减 B. 在x=0 处取得最大值 C. 在(4,+)上单调递减 D.在x=2处取得最小值 3.函数 ,则( ).(第2题) A.f(a)=f(b) B. f(a)<f(b) C. f(a)>f(b) D.f(a),f(b)的大小关系不能确定 4.已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5.当时，函数取得最大值，则（ ） A. B. C. D. 1 6.设，若为函数的极大值点，则（ ） A． B． C． D． 7.函数f(x)＝lnx＋ax的图像存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B.(－∞，2) C.(2，＋∞) D.(0，＋∞) 8.已知函数是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设则不等式的解集为(　　) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e) D.(e，＋∞) 二．选择题（在每小题给出的四个选项中，至少有两个符合题目要求的。若全对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分） 9.下列结论正确的有（ ） A. f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率 B. 函数f(x)＝sin(－x)的导数f′(x)＝-cos x C. 求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0) D. 曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点 10.已知函数，则（ ） A. f(x)有两个极值点 B. f(x)有三个零点 C. 点（0,1）是曲线y=f(x)的对称中心 D. 直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 11.已知函数f(x)及其导函数的定义域均为，记，若均为偶函数，则（ ） A. B. C. f(-1)=f(4) D. g(-1)=g(2) 三、填空题 (本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填在对应题号的位置上.) 12.曲线在点(1,1)处的切线方程为_________ 13.已知函数 f(x) 的导函数为, 且满足则=_____________ 14.已知函数有两个不同的极值点x₁,x₂,且则实数a的取值范围为___________ 四.解答题 (本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15(13分）设曲线y=f(x)在点(1,f(1)) 处的切线与y 轴相交于点(0,6).求函数f(x)的极值. 16.（15分）已知函数 (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)在区间[0,2]上的最小值. 17. （15分）在研制飞机的自动着陆系统时，技术人员需 要分析飞机的降落曲线.如图，一架水平飞行的飞机着陆点 为原点O. 已知飞机开始降落时的飞行高度为6 km, 水平 飞行速度为360 km/h,且在整个降落过程中水平速度保 持不变.出于安全考虑，飞机垂直加速度的绝对值不得超(第17题) 过(此处g=9.8m/s²是重力加速度).若飞机在与着陆点 的水平距离是xcm 时开始下降，飞机的降落曲线是某三次多项式函数图象的一部分，飞机整个降落过程始终在同一个平面内飞行，且飞机开始降落和落地时降落曲线均与水平方向的直线相切，请解决以下问题： (1)确定飞机的降落曲线； (2)求开始下降点x。所能允许的最小值(精确到0.1 m). 18.(17分）已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． （1）若，求a； （2）求a的取值范围． 19.（17分）已知函数． （1）当时，求的最大值； （2）若恰有一个零点，求a的取值范围． 参考答案 1. B 2.C 3.C 4.C 5.B 6.D 7.B 8.B 9.ABD 10. AC 11.BC 12.4x-y-3=0 13. 14. 15.由f(x)=a(x—5)²+6得,令x=1, 则f(1)=16a,f'(1)=6-8a. 所以曲线y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6—8a)(x-1), 由点(0,6)在切线上，可得6—16a=8a-6, 解得, 所以 令f'(x)=0,解得x₁=2,x₂=3. 当O<x<2或x>3 时，f'(x)>0, 故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(3,+○); 当 2<x<3时,f'(x)<0,故 f(x)的单调递减区间是(2,3). 由此可知f(x)在x=2处取得极大值, 在x=3 处取得极小值f(3)=2+6ln 3. 16.(1)根据题意，. ①当a=0 时 ,则 f(x)在( -,+)上为增函数； ②当a>0 时，令>0, 解得x<-a或 x>0, 则 f(x) 的单调递增区间为 (-,—a)和(0,),单调递减区间为(-a,0); ③当a<0 时，令f'(x)=6x(x+a)>0, 解 得x<0或x>-a, 则 f(x) 的单调递增区间为 (-,0)和( -a,),单调递减区间为(0,—a). (2)由(1)可得，当x=0 或 x=-a 时 ，f'(x)=0. ①当 -a≤0,即 a≥0 时 ，f(x) 在[0,2]上单调递增，此时f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(0)=1; ②当 0< -a<2, 即 - 2<a<0 时 ，f(x) 在[ 0 , -a]上单调递减，在(-a,2) 上单调递增，此时 f(x)在区间[0,2]上的最小值为f(-a)=a³+1; ③当 -a≥2, 即 a≤-2 时 ，f(x) 在[0,2]上单调递减，此时 f(x) 在区间[0,2]上的最小 值为f(2)=17+12a. 综上可得：当a≥0 时 ，f(x) 的最小值为f(0)=1; 当 - 2<a<0时 ，f(x)的最小值为 f(-a)=a³+1; 当 a≤-2时 ，f(x)的最小值为f(2)=17+12a 17.(1)由于飞机着陆点为原点O, 故可设飞机的降落曲线为f(x)=ax³+bx²+cx. 由题设得： 所以飞机的降落曲线为 (2) 设飞机经过降落时间t后与着陆点的水平距离为x=xo-vot, 其中vo=360 km/h=10m/s. 因为飞机的垂直下降速度 V(t)是y 关于时间t 的导数y'，所以 所以垂直加速度是 v(t)关于时间t的 导数 因此，垂直加速度绝对值的最大值为 由设计要求知：所以得到 得到：xo≥19166.3(m) 即开始下降点x。所能允许的最小值为19166.3 m. 18.由题意知，，，，则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点，，则，解得，则，解得； （2），则在点处的切线方程为，整理得， 设该切线与切于点，，则，则切线方程为，整理得， 则，整理得， 令，则，令，解得或， 令，解得或，则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 则的值域为，故的取值范围为. 19.(1)当时，，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； (2)，则， 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以，此时函数无零点，不合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又，当x趋近正无穷大时，趋近于正无穷大， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当时，，在上，，单调递增； 在上，，单调递减；此时， 又，当n趋近正无穷大时，趋近负无穷， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为 学科网（北京）股份有限公司 $$